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Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A.

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Präsentation zum Thema: "Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A."—  Präsentation transkript:

1 Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur

2 Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A

3 Was ist Papierfalten? Nach dem Auffalten haben wir einen Streifen mit einem Knick es ist ein Talknick oder Linksknick Linkskurve

4 Was ist Papierfalten? Das Falten des Papierstreifens wird iteriert, d.h. wiederholt ausgeführt Der einmal gefaltete Streifen wird ein zweites Mal gefaltet A

5 Was ist Papierfalten? Nach dem Auffalten haben wir einen Streifen mit drei Knicken Linksknick, Linksknick, Rechtsknick Linkskurve Rechtskurve

6 Protokoll der ersten fünf Streifen 1.L 2.LLR 3.LLRLLRR 4.LLRLLRRLLLRRLRR 5.LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR Es drängen sich viele Fragen auf

7 Fragen Wie geht es mit den Buchstabenketten weiter? Wie lang sind die Ketten? Wie viele Rs und Ls gibt es jeweils? Kommt es zu Wiederholungen? 1.L 2.LLR 3.LLRLLRR 4.LLRLLRRLLLRRLRR 5.LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR

8 1.L 2.LLR 3.LLRLLRR 4.LLRLLRRLLLRRLRR 5.LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR Stufe12345n Anzahl der Rs Anzahl der Ls Anzahl aller Buchstaben Antworten

9 Antworten Wie werden die Zeichenketten gebildet? LL R LLR L LRR

10 Das Reflexionsgesetz Beim Papierfalten erhält man die nächste Knickfolge, indem man die letzte Knickfolge –abschreibt –ein L anhängt –den ersten Teil an dem L reflektiert

11 Das Reflexionsgesetz Beispiel: Von der 3. zur 4. Stufe 3. Stufe LLRLLRR LLRLLRR abschreiben L L anhängen LLRRLRR ersten Teil reflektieren

12 Erkenntnis Wenn man einen Streifen Papier rechts über links fortlaufend faltet und die Knicke mit einer LR-Folge notiert, so gilt für diese LR-Folgen das Reflexionsgesetz. Ist dieses eine mathematisch befriedigende Aussage?

13 Erkenntnis Es entspricht eher der naturwissen- schaftlichen Arbeitsweise denn Wir können das Reflexionsgesetz nicht für alle Papierstreifen beweisen. alle

14 Naturwissenschaftliche, induktive Erkenntnisgewinnung endlich viele Experimente Gesetzmäßigkeit mit Allgemeinheitsanspruch weitere Experimente Abstraktion Logik Vorhersage Induktion

15 Der mathematische Weg Definition 1 Es sei A = {L,R} ein Alphabet und A* die Menge aller Wörter über diesem Alphabet. Definition 2

16 Der mathematische Weg Definition 3 Es sei eine Funktion mit heißt Reflexionsoperator Definition 4

17 Der mathematische Weg Die Wörter w 1 = L w 2 = (w 1 ) = LLR w 3 = (w 2 ) = LLRLLRR,... erfüllen alle mit Sicherheit das Reflexionsgesetz, denn sie wurden per Definition so konstruiert. Es ist aber kein Beweis des Reflexionsgesetzes möglich.

18 Mathematische, deduktive Erkenntnis Beispiele in der realen Welt Gesetzmäßigkeit (per definitionem mit Allgemeinheitsanspruch) weitere Beispiele in der realen Welt Anwendung Deduktion Anwendung weitere Gesetzmäßigkeit (mit Allgemeinheits- anspruch per Beweis) Idee

19 Weitere Erkenntnisse Wo entstehen welche Knicke beim weiteren Falten?

20 Weitere Erkenntnisse LLRLLRRLLLRRLRR L R L R L R L R L R L R L R L L LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRL L L R L L R R L L L R R L R R

21 Das Inflationsgesetz Beim Papierfalten erhält man die nächste Knickfolge, indem man die letzte Knickfolge –auseinander zieht –vor, in die Lücken und hinter die Knickfolge abwechseln L und R einfügt

22 Zusammenhänge Reflexionsgesetz und Inflationsgesetz sind äquivalent d.h. die Knickfolge, die nach dem Reflexionsgesetz gebildet wird, stimmt in allen Symbolen mit der Knickfolge, die nach dem Inflationsgesetz gebildet wird, überein

23 Zusammenhänge naturwissenschaftliche, realitätsbezogene Begründung: beide Gesetze sind nur verschiedene Betrachtungsweisen desselben Prozesses, nämlich Papierfalten Die Begründung ist vernünftig, aber nicht für alle Wörter wirklich geprüft

24 Zusammenhänge formal deduktiver Beweis: –die Wörter, die mit dem Reflexionsgesetz definiert werden und –die Wörter, die mit dem Inflationsgesetz definiert werden sind an jeder Position im Wort gleich Der Beweis sichert diesen Zusammenhang für alle Wörter w n

25 Gesetzmäßigkeiten 1.L 2.LLR 3.LLRLLRR 4.LLRLLRRLLLRRLRR 5.LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR Welches Zeichen wird auf Position 92 stehen?

26 Gesetzmäßigkeiten 1.L 2.LLR 3.LLRLLRR 4.LLRLLRRLLLRRLRR 5.LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR EigenschaftPositionen Position ungerade, Zeichen ist L Position gerade, Zeichen ist L Position ungerade, Zeichen ist R Position gerade, Zeichen ist R

27 Gesetzmäßigkeiten 1.L 2.LLR 3.LLRLLRR 4.LLRLLRRLLLRRLRR 5.LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR EigenschaftPositionen Position ungerade, Zeichen ist L Position gerade, Zeichen ist L Position ungerade, Zeichen ist R Position gerade, Zeichen ist R

28 Gesetzmäßigkeiten Gesetz für die ungeraden Positionen: Dividiere die Platznummer mit Rest durch 4. Ist der Rest 1, so steht dort ein L, ist der Rest 3, so steht dort ein R. EigenschaftPositionen Position ungerade, Zeichen ist L Position gerade, Zeichen ist L Position ungerade, Zeichen ist R Position gerade, Zeichen ist R

29 Gesetzmäßigkeiten LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRRLLLRL… … / / / / / / / / / / / / / / / / / / /L/L/R/L/L/R/R/L/L/L/R/R/L/R/R/L/L/L Nach dem Streichen der ungeraden Positionen und Neunummerierung der verbleibenden Symbole erhält man wieder die Papierfaltungsfolge.

30 Gesetzmäßigkeiten Gesetz für die geraden Positionen: Dividiere die Platznummer durch 2 und wende auf die neue Platznummer die beiden Gesetze an. Beispiel: EigenschaftPositionen Position ungerade, Zeichen ist L Position gerade, Zeichen ist L Position ungerade, Zeichen ist R Position gerade, Zeichen ist R

31 Geometrische Interpretation Die gefalteten Streifen werden so weit aufgefaltet, dass die Abschnitte einen rechten Winkel formen. Die Figuren werden so ausgerichtet, dass der erste Streifenabschnitt nach oben und der zweite nach links weist.

32 1.Stufe 2.Stufe 3.Stufe 4.Stufe 5.Stufe

33 Geometrische Interpretation

34 Weiterfalten

35 Die Entfernung Anfang - Ende bleibt konstant Geometrische Interpretation

36

37

38 Forschungsaufgaben 1.Das Falten geschieht nicht nur mit rechts über links, sondern auch mit rechts unter links. Die Knickfolge muss natürlich protokolliert werden. A A

39 Forschungsaufgaben 2.Die Knickfolge wird nicht mit L (Linksknick) und R (Rechts- knick) protokolliert, sondern mit N (Nord), W (West), S (Süd), O (Ost) für die Abschnitte. Beispiel: (3. Stufe) NWSWSOSW

40 Forschungsaufgaben 3.Der Streifen wird in Drittel geknickt. linkes Drittel über die Mitte, rechtes Drittel über die Mitte A A A 1. Stufe: RR 2. Stufe: LLRRRRLL


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