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Adaptive Approximationsverfahren für multikriterielle Optimierungsprobleme Kathrin Klamroth Institut für Angewandte Mathematik Universität Erlangen-Nürnberg.

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Präsentation zum Thema: "Adaptive Approximationsverfahren für multikriterielle Optimierungsprobleme Kathrin Klamroth Institut für Angewandte Mathematik Universität Erlangen-Nürnberg."—  Präsentation transkript:

1 Adaptive Approximationsverfahren für multikriterielle Optimierungsprobleme Kathrin Klamroth Institut für Angewandte Mathematik Universität Erlangen-Nürnberg B. Schandl & M.M. Wiecek Clemson University, USA J. Tind Universität Kopenhagen

2 Gliederung Multikriterielle Optimierung –Problemformulierung und Notation –Ansatz: Nutzenfunktionen Approximationsverfahren –Approximation von Innen –Approximation von Außen –Nichtkonvexe und diskrete Probleme Anwendungsbeispiele –Engineering Design –Capital Budgeting –Portfolio Optimierung

3 Multikriterielle Optimierung

4 Capital Budgeting Problem Gegeben:- Projektanträge für die Einführung neuer Technologien - Budget an Haushaltsmitteln Gesucht:- Auswahl an Projekten so dass- das Budget nicht überschritten wird - der Netto Barwert der Investition maximiert wird - der duale Nutzen maximiert wird Projektpartner: ONR

5 Modellierung als bikriterielles Rucksackproblem max i=1 c 1i x i max i=1 c 2i x i s.t. i=1 a i x i b x i {0,1}, i = 1,...,m m m m c 1i NPV von Projekt i, i=1,...,m c 2i JA/DU von Projekt i, i=1,...,m a i Gesamtkosten von Projekt i, i=1,...,m b Budget

6 Multikriterielle Optimierung vminf(x) = [f 1 (x),...,f n (x)] T s.t.x X X m Lösungsraum f = [f 1,...,f n ] T n unvereinbare Zielfunktionen Y = f(X) n Entscheidungsraum, Zielfunktionsraum

7 Effiziente (Pareto optimale) Lösungen x e X heißt effizient, wenn keine Lösung x X mit f(x) f(x e ) existiert, d.h. i {1,...,n} f i (x) f i (x e ) i {1,...,n} s.t. f i (x) < f i (x e ) Effiziente Lösungen: E X Nichtdominierte Menge: N = f(E) Y

8 Eigentlich nichtdominierte Punkte f 1 (x) f 2 (x) y* Y e heißt eigentlich nichtdominiert, wenn eine Konstante M > 0 existiert, so dass für alle i = 1,...,n und y Y mit y i y j * und y i - y i * y j * - y j ______ M. y* nicht eigentlich nichtdominiert [Geoffrion 68]

9 Lösungsansatz: Nutzenfunktionen Jedem Lösungsvektor f(x) wird ein Nutzen u(f(x)) zugeordnet, indem z.B. die gewichtete Summe der einzelnen Kriterien gebildet wird: min w i f i (x) s.t. x X w i = 1, w i 0, i=1,...,n i=1 n n f 2 (x) f 1 (x) y*

10 Schwierigkeiten: Bestimmung der Gewichte w i bzw. geeigneter Nutzenfunktionen u(f(x)) Es werden i.A. nur extremale nichtdominierte Lösungen gefunden Trade-off Informationen gehen verloren x x x nicht extremale Lösung f 2 (x) f 1 (x)

11 Extremale / nicht extremale Lösungen beim bikriteriellen Rucksackproblem [Visée, Teghem, Pirlot und Ulungu 98]

12 Approximationsverfahren

13 Approximationsproblem Gegeben:- Menge nichtdominierter Lösungen N - Gauge (oder andere Abstandsfunktion) Gesucht:Approximierendes (eingeschriebenes) Polyeder P k mit k nichtdominierten Extrempunkten so dass (N, (P k )) minimiert wird. y0y0 y0y0 NN

14 Ausgewählte Beiträge Konvexe bikriterielle Probleme: –Cohon 78, Polišč –Fruhwirth et al. 89, Yang & Goh 97 Nichtkonvexe bikriterielle Probleme: –Payne 93; Li et al. 98, Li 99 –Chen et al. 99, Zhang et al. 99 –Klamroth et.al. 00, 01a Multikriterielle Probleme: –Polak 76, Helbig 91, Jahn & Merkel 92 –Kaliszewski 94, Kostreva et al. 95 –Sobol´ & Levitan 97, Benson & Sayin 97, Das & Dennis 00 –Fonseca und Fleming 95, Czyzak und Jaszkiewicz 98, Ulungu et al. 99 –Fliege 01, 02 –Klamroth et.al. 01b, 02a, 02b, Klamroth et.al. 03 uk 79

15 Approximation von Innen 0 d 1 y 1 y* Idee: Die Approximation selbst definiert eine polyedrische Abstandsfunktion, mit Hilfe derer die nächste nichtdominierte Lösung bestimmt werden kann y 0 = 0 Referenzpunkt (z.B. Nadir Punkt) d 1,...,d s Normalen der Facetten von B n Annahme: B n = { y 0 : d i y 1, i=1,...,s } Y max (y) s.t. y Y n d 2 y 1

16 Disjunctive Programming Formulierung max s.t. i=1 ( d i y i, y i Y ) s Spezialfall: Y = { Cx : Ax b, x 0, x m }: max i=1 i s.t. i - d i Cx i 0 i=1,...,s A x i p i b i=1,...,s i=1 p i = 1 p i 0, x i 0 i=1,...,s i i=1,...,s s s max - d i Cx 0 s.t. A x b x 0 s i=1 () [Balas 85]

17 Dekomposition bzgl. Fundamentalkegeln 0 v i+1 y* Idee: Zerlegung des Problems in einfache Teilprobleme, formuliert auf den Fundamentalkegeln von B C 1,...,C s Fundamentalkegel von B n v 1,...,v t Fundamentalvektoren von B n I j Indexmenge der Fundamentalvektoren, die C j erzeugen, j {1,…,s} vivi max i s.t. i v i = y i 0 i I j y Y i I j

18 Konvexe Probleme Satz: Sei Y strikt n - konvex und sei C j ein Fundamentalkegel der Einheitskugel des approximierenden Gauges. Dann ist die Optimallösung von eigentlich nichtdominiert. max i s.t. i v i = y i 0 i I j y Y i I j

19 Innerer Approximationsalgorithmus y0=0y0=0 y2y2 y1y1 y3y3 y4y4

20 Eigenschaften des Verfahrens Komplexität: O([ k log(k) + k (n+1) 2 ] + kT) ; Beneath-Beyond Algorithmus: O(k log(k) + k (n+1) 2 ) Die Approximation wird immer dort verbessert, wo der Fehler am größten ist Das Verfahren ist skaleninvariant Die Approximation liefert einen problem- bezogenen Bewertungsmaßstab Der Approximationsfehler ist in jeder Iteration bekannt

21 Skaleninvarianz y0y0 y0y0 y* Skalierung 1Skalierung 2

22 Problembezogener Bewertungsmaßstab y0y0 y2y2 y1y1

23 Quadratische Konvergenz für bikriterielle Probleme Satz: Nach k Iterationen beträgt der Approximationsfehler höchstens r: Radius einer in B eingeschriebenen Kugel D: Umfang von Y D 2 r k 2 ______ | (y*) - 1| = O(1/ k 2 )

24 Approximation von Außen 0 v1v1 y* v2v2 Idee: Benutze geometrische Dualität bzgl. der Einheitskugel y 0 = 0 Referenzpunkt v 1,...,v t Fundamentalvektoren von B n Annahme: ( Y n ) { y 0 : y i=1 i v i, i=1 i = 1, 0 } t t max s.t. v i = y i i {1,…,t} 0 y i Y v3v3

25 Dekomposition bzgl. Fundamentalrichtungen 0 vjvj y* Idee: Zerlegung des Problems in einfache Teilprobleme, formuliert bzgl. der Fundamentalvektoren von B v j {v 1,...,v t }: Fundamentalvektor von B n max s.t. v j = y 0, y Y

26 Äußerer Approximationsalgorithmus y0=0y0=0y1y1 y2y2 y3y3 y4y4

27 Nichtkonvexe und diskrete Probleme NcNc N Y Gegeben: Y n, n - abgeschlossen, int Y, 0 Y = Y + n Notation: N c := { y Y : y´ Y s.t. y´ y }

28 Approximation von Innen 0 d1d1 y* d2d2 d3d3 v1v1 v2v2 v3v3 max (v) d i + i (v i -d i ) = v s.t. i 0, v y i y i Y s Idee: Benutze Ordnungskegel um eine stückweise lineare Approximation zu erzeugen y 0 = 0 Referenzpunkt d 1,...,d s n B := clos ( n \ (d i + n ) ) Annahme: { v n : v = i=1 i d i, 0 } = n s i=1,…,s i=1 ( )

29 Dekomposition bzgl. Tchebycheff-Boxen Idee: Formulierung bzgl. lokaler Tchebycheff-Boxen ermöglicht die Zerlegung des Problems in einfache Teilprobleme (d j,v j ): Lokaler Nadir- und Utopia Punkt Lemma: (v*) = 1 + * max s.t. i=1 s d i + [(v i -d i ) ( (v i )-1)] y i y i Y ()

30 Innerer Approximationsalgorithmus y0=0y0=0 y1y1 y2y2 y3y3

31 Anwendungsbeispiele Approximations- ablauf Engineering Design Capital Budgeting Portfolio Optimierung

32 y0y0

33 Evaluation von Flugzeug-Technologien minf 1 (x) min- f 2 (x) s.t. g(x) x i 1, i=1,...,9 Projektpartner: Georgia Institute of Technology

34 Zielfunktionen f 1 (x) = x x x x x x x x x x x 1 x x x 1 x x 2 x x x 1 x x 2 x x 3 x x x 1 x x 2 x x 3 x x 4 x x x 1 x x 2 x x 3 x x 4 x x 5 x x x 3 x x 4 x x 6 x x x 1 x x 3 x x 4 x x 7 x x x 1 x x 3 x x 4 x x 5 x x 6 x x 7 x x 8 x x 9 2 f 2 (x) = x x x x x x x x 1 x x x 1 x x 2 x x x 1 x x 2 x x 3 x x x 1 x x 2 x x 3 x x 4 x x x 1 x x 2 x x 3 x x 4 x x 5 x x 6 2

35 Nebenbedingung g(x) = x x x x x x x x 1 x x x 1 x x 2 x x x 1 x x 2 x x 3 x x x 1 x x 2 x x 3 x x 4 x x x 2 x x 3 x x 4 x x 6 2

36 Approximation (20 Iterationen) y0y0

37 Zooming y0y0

38 Capital Budgeting Problem Gegeben:- Projektanträge für die Einführung neuer Technologien - Budget an Haushaltsmitteln Gesucht:- Auswahl an Projekten so dass- das Budget nicht überschritten wird - der Netto Barwert der Investition maximiert wird - der duale Nutzen maximiert wird Projektpartner: ONR

39 Projektdaten

40 Modellierung als bikriterielles Rucksackproblem max i=1 c 1i x i max i=1 c 2i x i s.t. i=1 a i x i b x i {0,1}, i = 1,...,24 24 c 1i NPV von Projekt i (in Millionen US $), i=1,...,24 c 2i JA/DU von Projekt i, i=1,...,24 a i Gesamtkosten von Projekt i (über 3 Jahre, in US $), i=1,...,24 b Budget (in US $)

41 Approximation (20 Iterationen) y0y0

42 Portfolio Optimierung Gegeben: –Aktienfonds in verschiedenen Marktsegmenten –Zu investierendes Kapital Gesucht: Portfolio von Aktienfonds, so dass –das vorhandene Kapital investiert wird, –der zu erwartende Gewinn maximiert wird, –das Risiko minimiert wird. Projektpartner: Standard & Poors (Hochheim, Taunus)

43 Projektdaten

44 Markowitz Kovarianz Modell Eine lineare und eine nichtlineare Zielfunktion Eine lineare Nebenbedingung max Gewinn = r 1 x 1 + ··· + r 40 x 40 min Risiko = i=1 j=1 x i x j ij s.t. x 1 + ··· + x 40 = 1 x i 0 i = 1,...,40 40 _____________

45 Approximation (20 Iterationen) y0y0

46 Zusammenfassung Norm-basierte Approximationsverfahren sind –skaleninvariant –unabhängig, d.h., es werden keine Gewichte, Nutzenfunktionen usw. benötigt –verfeinern die Approximation, wo es am Nötigsten ist Trade-off Information ist für die gesamte Alternativenmenge verfügbar Effizienz: –Dominiert durch den Beneath-Beyond Algorithmus –Quadratische Konvergenz für bikriterielle Probleme Zooming ermöglicht ein mehrstufiges Vorgehen bei der Bestimmung einer besten Lösung

47 Geplante Forschungsarbeiten Approximationsverfahren: –Übertragung der Approximationsverfahren auf konvexe und nichtkonvexe Mengen in der Ebene und im n –Effiziente Implementierung in höheren Dimensionen Generierung aller nichtdominierter Lösungen: –Dynamische Programmierung [KlaWie00]Dynamische Programmierung –Klassische Methoden (e-Constraint, Tchebycheff,...) Weitere Lösungsansätze: –Metaheuristiken [EhrKlaSchw]Metaheuristiken –Nutzenfunktionen, Abschätzungen und Dualität [KlaTiZu]

48 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit !


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