Kathrin Klamroth Institut für Angewandte Mathematik

Präsentation zum Thema: "Kathrin Klamroth Institut für Angewandte Mathematik"—  Präsentation transkript:

1 Adaptive Approximationsverfahren für multikriterielle Optimierungsprobleme
Kathrin Klamroth Institut für Angewandte Mathematik Universität Erlangen-Nürnberg B. Schandl & M.M. Wiecek Clemson University, USA J. Tind Universität Kopenhagen

2 Gliederung Multikriterielle Optimierung Approximationsverfahren
Problemformulierung und Notation Ansatz: Nutzenfunktionen Approximationsverfahren Approximation von Innen Approximation von Außen Nichtkonvexe und diskrete Probleme Anwendungsbeispiele Engineering Design Capital Budgeting Portfolio Optimierung

3 Multikriterielle Optimierung

4 Capital Budgeting Problem
Gegeben: - Projektanträge für die Einführung neuer Technologien - Budget an Haushaltsmitteln Gesucht: - Auswahl an Projekten so dass - das Budget nicht überschritten wird - der Netto Barwert der Investition maximiert wird - der duale Nutzen maximiert wird Projektpartner: ONR

5 Modellierung als bikriterielles Rucksackproblem
max i=1 c1ixi max i=1 c2ixi s.t. i=1 aixi  b xi  {0,1}, i = 1,...,m m m c1i NPV von Projekt i, i=1,...,m c2i JA/DU von Projekt i, i=1,...,m ai Gesamtkosten von Projekt i, i=1,...,m b Budget

6 Multikriterielle Optimierung
vmin f(x) = [f1(x),...,fn(x)]T s.t. x  X X  m Lösungsraum f = [f1,...,fn]T n unvereinbare Zielfunktionen Y = f(X)  n Entscheidungsraum, Zielfunktionsraum

7 Effiziente (Pareto optimale) Lösungen
xe  X heißt effizient, wenn keine Lösung x  X mit f(x)  f(xe) existiert, d.h.  i{1,...,n} fi(x)  fi(xe)  i{1,...,n} s.t. fi(x) < fi(xe) Effiziente Lösungen: E  X Nichtdominierte Menge: N = f(E)  Y

8 Eigentlich nichtdominierte Punkte
[Geoffrion 68] y*  Ye heißt eigentlich nichtdominiert, wenn eine Konstante M > 0 existiert, so dass für alle i = 1,...,n und y  Y mit yi < yi* ein Index j  i existiert, für den yj > yj* und f2(x) yi - yi* yj* - yj ______  M . y* nicht eigentlich nichtdominiert f1(x)

9 Lösungsansatz: Nutzenfunktionen
Jedem Lösungsvektor f(x) wird ein Nutzen u(f(x)) zugeordnet, indem z.B. die gewichtete Summe der einzelnen Kriterien gebildet wird: min  wi fi(x) s.t. x X  wi = 1, wi  0, i=1,...,n f2(x) n i=1 y* n i=1 f1(x)

10 Schwierigkeiten: Bestimmung der Gewichte wi bzw. geeigneter Nutzenfunktionen u(f(x)) Es werden i.A. nur extremale nichtdominierte Lösungen gefunden Trade-off Informationen gehen verloren f2(x) nicht extremale Lösung x x x f1(x)

11 Extremale / nicht extremale Lösungen beim bikriteriellen Rucksackproblem
[Visée, Teghem, Pirlot und Ulungu 98]

12 Approximationsverfahren

13 Approximationsproblem
Gegeben: - Menge nichtdominierter Lösungen N - Gauge  (oder andere Abstandsfunktion) Gesucht: Approximierendes (eingeschriebenes) Polyeder Pk mit k nichtdominierten Extrempunkten so dass (N, (Pk)) minimiert wird. y0 y0 N N

14 Ausgewählte Beiträge Konvexe bikriterielle Probleme:
Cohon 78, Polišč Fruhwirth et al. 89, Yang & Goh 97 Nichtkonvexe bikriterielle Probleme: Payne 93; Li et al. 98, Li 99 Chen et al. 99, Zhang et al. 99 Klamroth et.al. 00, 01a Multikriterielle Probleme: Polak 76, Helbig 91, Jahn & Merkel 92 Kaliszewski 94, Kostreva et al. 95 Sobol´ & Levitan 97, Benson & Sayin 97, Das & Dennis 00 Fonseca und Fleming 95, Czyzak und Jaszkiewicz 98, Ulungu et al. 99 Fliege 01, 02 Klamroth et.al. 01b, 02a, 02b, Klamroth et.al. 03 uk 79

15 Approximation von Innen
Idee: Die Approximation selbst definiert eine polyedrische Abstandsfunktion , mit Hilfe derer die nächste nichtdominierte Lösung bestimmt werden kann y0 = 0 Referenzpunkt (z.B. Nadir Punkt) d1,...,ds Normalen der Facetten von B n Annahme: B n = { y : diy 1, i=1,...,s }  Y       d1y1 max (y) s.t. y  Y  n d2y1   y*

16 Disjunctive Programming Formulierung
[Balas 85] max  s.t. i=1 ( di yi  , yiY )    s Spezialfall: Y = { Cx : Ax b, x 0, x m }: max i=1 i s.t. i - di Cxi  0  i=1,...,s A xi pi b  i=1,...,s i=1 pi = 1 pi  0, xi  i=1,...,s i    i=1,...,s s max   - di Cx  0 s.t.  A x b x 0     i=1 ( )   

17 Dekomposition bzgl. Fundamentalkegeln
Idee: Zerlegung des Problems in einfache Teilprobleme, formuliert auf den Fundamentalkegeln von B C1,...,Cs Fundamentalkegel von B n v1,...,vt Fundamentalvektoren von B n Ij Indexmenge der Fundamentalvektoren, die Cj erzeugen, j{1,…,s}     max  i s.t.  i vi = y i   iIj y  Y iIj vi y* vi+1

18 Konvexe Probleme Satz: Sei Y strikt n - konvex und sei Cj ein Fundamentalkegel der Einheitskugel des approximierenden Gauges . Dann ist die Optimallösung von eigentlich nichtdominiert.   max  i s.t.  i vi = y i   iIj y  Y iIj

19 Innerer Approximationsalgorithmus
y0=0 y1 y3 y2 y4

20 Eigenschaften des Verfahrens
Komplexität: O([ k log(k) + k(n+1)2 ] + kT) ; Beneath-Beyond Algorithmus: O(k log(k) + k(n+1)2) Die Approximation wird immer dort verbessert, wo der Fehler am größten ist Das Verfahren ist skaleninvariant Die Approximation liefert einen problem-bezogenen Bewertungsmaßstab Der Approximationsfehler ist in jeder Iteration bekannt

21 Skaleninvarianz y0 y0 y* y* Skalierung 1 Skalierung 2

22 Problembezogener Bewertungsmaßstab
y0 y1 y2

23 Quadratische Konvergenz für bikriterielle Probleme
Satz: Nach k Iterationen beträgt der Approximationsfehler höchstens r: Radius einer in B eingeschriebenen Kugel D: Umfang von Y  D 2 r k2 ______ |(y*) - 1|  = O(1/ k2)

24 Approximation von Außen
Idee: Benutze geometrische Dualität bzgl. der Einheitskugel y0 = 0 Referenzpunkt v1,...,vt Fundamentalvektoren von B n Annahme: (Yn)  { y : y i=1ivi, i=1i = 1,   0 }       t t   v1 max  s.t.  vi = yi  i{1,…,t}   0 yi  Y y* v3 v2

25 Dekomposition bzgl. Fundamentalrichtungen
Idee: Zerlegung des Problems in einfache Teilprobleme, formuliert bzgl. der Fundamentalvektoren von B vj  {v1,...,vt }: Fundamentalvektor von B n   max  s.t.  vj = y   0, yY y* vj

26 Äußerer Approximationsalgorithmus
y0=0 y1 y3 y2 y4

27 Nichtkonvexe und diskrete Probleme
Gegeben: Y  n, n - abgeschlossen, int Y   , 0 Y = Y + n Notation: Nc := { y Y :  y´Y s.t. y´  y }            N Y Nc

28 Approximation von Innen
Idee: Benutze Ordnungskegel um eine stückweise lineare Approximation zu erzeugen y0 = 0 Referenzpunkt d1,...,ds  n B := clos ( n \  (di + n ) ) Annahme: { vn : v = i=1 idi,  } = n       i=1,…,s s     d1 max (v) di + i(vi -di ) = v s.t.  i  0, v yi yiY d2 v1 ( ) y* s   d3 v2 i=1 v3

29 Dekomposition bzgl. Tchebycheff-Boxen
Idee: Formulierung bzgl. lokaler Tchebycheff-Boxen ermöglicht die Zerlegung des Problems in einfache Teilprobleme (dj,vj): Lokaler Nadir- und Utopia Punkt max  s.t. i=1 s di + [(vi -di )  ((vi)-1)] yi yiY   ( ) Lemma: (v*) = 1 + *

30 Innerer Approximationsalgorithmus
y0=0 y1 y3 y2

31 Anwendungsbeispiele Approximations- ablauf Capital Budgeting
Engineering Design Portfolio Optimierung

32 y0

33 Evaluation von Flugzeug-Technologien
min f1(x) min - f2(x) s.t. g(x)  150 -1  xi  1, i=1,...,9 Projektpartner: Georgia Institute of Technology

34 Zielfunktionen f1(x) = x x x x4 x x x x x9 x x1x x x1x3 x2x x x1x x2x4 x3x x x1x x2x5 x3x x4x x x1x6 x2x x3x x4x x5x6 x x3x x4x x6x x72 x1x x3x x4x x7x8 x x1x x3x x4x x5x9 x6x x7x x8x x92 f2(x) = x x x x x5 x x x1x x x1x3 x2x x x1x x2x x3x4 x x1x x2x x3x x4x5 x x1x x2x x3x x4x6 x5x x62

35 Nebenbedingung g(x) = x x x x4 x x x x1x x22 x1x x2x x x1x x2x4 x3x x x1x x2x5 x3x x4x x x2x6 x3x x4x x62

36 Approximation (20 Iterationen)
y0

37 Zooming y0

38 Capital Budgeting Problem
Gegeben: - Projektanträge für die Einführung neuer Technologien - Budget an Haushaltsmitteln Gesucht: - Auswahl an Projekten so dass - das Budget nicht überschritten wird - der Netto Barwert der Investition maximiert wird - der duale Nutzen maximiert wird Projektpartner: ONR

39 Projektdaten

40 Modellierung als bikriterielles Rucksackproblem
24 max i=1 c1ixi max i=1 c2ixi s.t. i=1 aixi  b xi  {0,1}, i = 1,...,24 24 24 c1i NPV von Projekt i (in Millionen US $), i=1,...,24 c2i JA/DU von Projekt i, i=1,...,24 ai Gesamtkosten von Projekt i (über 3 Jahre, in US $), i=1,...,24 b Budget (in US $)

41 Approximation (20 Iterationen)
y0

42 Portfolio Optimierung
Gegeben: Aktienfonds in verschiedenen Marktsegmenten Zu investierendes Kapital Gesucht: Portfolio von Aktienfonds, so dass das vorhandene Kapital investiert wird, der zu erwartende Gewinn maximiert wird, das Risiko minimiert wird. Projektpartner: Standard & Poors (Hochheim, Taunus)

43 Projektdaten

44 Markowitz Kovarianz Modell
max Gewinn = r1 x1+ ··· + r40 x40 min Risiko =  i=1 j=1 xi xj ij s.t. x1+ ··· + x40 = 1 xi   i = 1,...,40 _____________ 40 40 Eine lineare und eine nichtlineare Zielfunktion Eine lineare Nebenbedingung

45 Approximation (20 Iterationen)
y0

46 Zusammenfassung Norm-basierte Approximationsverfahren sind
skaleninvariant unabhängig, d.h., es werden keine Gewichte, Nutzenfunktionen usw. benötigt verfeinern die Approximation, wo es am Nötigsten ist Trade-off Information ist für die gesamte Alternativenmenge verfügbar Effizienz: Dominiert durch den Beneath-Beyond Algorithmus Quadratische Konvergenz für bikriterielle Probleme Zooming ermöglicht ein mehrstufiges Vorgehen bei der Bestimmung einer „besten“ Lösung

47 Geplante Forschungsarbeiten
Approximationsverfahren: Übertragung der Approximationsverfahren auf konvexe und nichtkonvexe Mengen in der Ebene und im n Effiziente Implementierung in höheren Dimensionen Generierung aller nichtdominierter Lösungen: Dynamische Programmierung [KlaWie00] Klassische Methoden (e-Constraint, Tchebycheff,...) Weitere Lösungsansätze: Metaheuristiken [EhrKlaSchw] Nutzenfunktionen, Abschätzungen und Dualität [KlaTiZu]

48 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit !