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Vorlesung: 4stündig Mittwoch + Donnerstag 10.15 – 11.45 Uhr 1½ Stunden mit ca. 5 Minuten Pause gegen 11.00 Uhr Prof. Dr. Bruno Meyer Ergänzungsvorlesung:Freitags.

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2 Vorlesung: 4stündig Mittwoch + Donnerstag – Uhr 1½ Stunden mit ca. 5 Minuten Pause gegen Uhr Prof. Dr. Bruno Meyer Ergänzungsvorlesung:Freitags – Uhr 14tägig beginnend diesen Freitag Priv.-Doz. Dr. Detlev Hofmann Übungen:14tägig abwechselnd zur Ergänzungsvorlesung, Rechenübungen unter Aufsicht und Anleitung; Präsenzpflicht Dr. Albrecht Hofstaetter Termine: , 9.11., , , 11.1., 25.1., 8.2. Team für Experimente:PTA Anna Zagan Dr. Albrecht Hofstaetter Vorlesungsvertretung:Dr. Detlev Hofmann Prof. emeritus Dr. Arthur Scharmann

3 Stil der Vorlesung: Experimente, Ableitung der physikalischen Gesetzmäßigkeiten z.B. freier Falla) In welcher Zeit fällt Kugel welche Strecke Weg – Zeit - Diagramm b) Herleitung auf rein mathematischem Weg v = ds / dt, a = dv / dt = d 2 s / dt 2 v = a dt = a t, s = v dt = a t dt = ½ a t 2 c) Voraussetzung: konstante Masse bei allen Experimenten (nicht immer gegeben, z.B. Rakete: dm / dt !) Konsequenz: Viele physikalische Gesetzmäßigkeiten werden hergeleitet oder anschaulich gemacht über mathematische Rechenregeln: Integration, Differentialrechnung,Vektoralgebra. Wenn nötig, im Kurs gebracht, so genannte Trockenstunden (Kreidephysik)

4 Kurs:Dreisemestrig (I, II, III) zu I gleich II :Optik, Elektromagnetismus III:Atom, Molekül, Kern, Elementarteilchenphysik, Festkörperphysik, Relativitätstheorie I und II:Klassische Physik, III: Moderne Physik Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik I 0. Einführung 1. Physikalische Größen Teil 1: Mechanik 2.Bewegung in einer Dimension 3. Bewegung in zwei und drei Dimensionen 4.Die Newton'schen Axiome I 5. Die Newton'schen Axiome II: Anwendungen, Scheinkräfte 6.Arbeit und Energie

5 7.Teilchensysteme und Impulserhaltung 8.Drehbewegungen 9.Statisches Gleichgewicht starrer Körper 10. Gravitation 11.Mechanik deformierbarer Körper Teil 2: Schwingungen und Wellen 12.Schwingungen 13.Mechanische Wellen 14.Akustik Teil 3: Thermodynamik 15.Temperatur 16.Wärme und der 1. Hauptsatz der Wärmelehre 17.Verfügbarkeit der Energie

6 Literaturverzeichnis: Bergmann, L., Lehrbuch der Experimentalphysik. Band I: Mechanik, Relativität, Wärme; Walter de Gruyter Verlag Berlin New York 1998; 176 DM (insgesamt 8 Bände) Demtröder, W., Experimentalphysik. I: Mechanik und Wärme. Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1998; 79,90 DM (insgesamt 4 Bände) Feynman, R., Vorlesungen über Physik. Band I: Mechanik, Strahlung, Wärme; R. Oldenbourg Verlag München Wien 2001; 107,18 DM (insgesamt 3 Bände) Gerthsen, Ch., Physik. Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2002; 139,90 DM Hänsel, H., Neumann, W., Physik. (Mechanik und Wärmelehre), Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, Berlin, Oxford 1993; 49,90 DM (insgesamt 4 Bände) Hering, E., Physik für Ingenieure. VDI Verlag Düsseldorf VDI Springer 79,90 DM Kohlrausch, F., Praktische Physik Band I: Mechanik, Akustik, Wärme, Optik; B.G. Teubner Verlag Stuttgart 1996; 330,00 DM (insgesamt 3 Bände) Orear, J., Physik. Hanser Verlag München Wien 1991; 69,80 DM Paus, H., Physik in Experimenten und Beispielen. Hanser Verlag München Wien 1995; 99,80 DM Tipler, P.A., Physik. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford 2000; 139,90 DM

7 0.1. Was ist Physik Griechich: = Ursprung, Naturordnung, das Geschaffene Physik ist die Naturwissenschaft, die sich mit den Grundbausteinen der uns umgebenden Welt und deren gegenseitigen Wechselwirkungen beschäftigt. Ziel der physikalischen Forschung ist ein grundlegendes Verständnis auch komplexer Naturvorgänge und ihre Zurückführung auf einfache Gesetzmäßigkeit Quantifizierbarkeit Voraussagbarkeit Physik sucht in der Vielfalt der Naturerscheinungen nach Gesetzmäßigkeiten und Zusammenhängen, um die beobachteten Phänomene durch wenige Grundprinzipien zu beschreiben Die Bedeutung des Experiments Wir arbeiten heute in der Regel nicht mehr an vom Beobachter unbeeinflußbaren Naturerscheinungen (sehen wir ab von Astronomie etc.), sondern an kontrollierbaren, wiederholbaren, überprüfbaren Vorgängen, wie Galileis Untersuchung des freien Falles. Die Wichtigkeit eines physikalischen Experiments liegt darin, daß der Experimentator die Bedingungen, unter denen der Versuch abläuft, weitgehend bestimmen kann. Es ist also die "gezielte Frage an die Natur, eine eindeutige Antwort bei geeigneter experimenteller Anordnung zu erhalten". Wir versuchen, daraus eine Gesetzmäßigkeit aufzustellen, ein physikalisches Gesetz, das meßbare Größen und Begriffe miteinander verknüpft. Die Schreibweise ist üblicherweise eine mathematische Gleichung.

8 0.3. Regelkreis der physikalischen Erkenntnis a) Experiment Im ersten Schritt werden die Merkmale des untersuchten Phänomens, d.h. die physikalischen Größen gesucht. Zur präziseren Beschreibung müssen diese Merkmale auch durch physikalische Definitionen festgelegt werden, z.B. Kraft, Beschleunigung etc.. Im Experiment werden durch Messungen zwei oder mehr physikalische Größen miteinander verglichen und die dabei aufgestellten Zusammenhänge aufgeschrieben, z.B. in einem Weg-Zeit- Diagramm. Es ist dabei gelungen, die physikalischen Erscheinungen auf höchstens sieben physikalische Grundgrößen zurückzuführen: Zeit, Masse, Länge, Temperatur, Stromstärke, Lichtstärke, Stoffmenge. b) Induktionsschluss Werden physikalische Zusammenhänge immer wieder experimentell bestätigt, dann kann gefolgert werden, dass sie zu jeder Zeit und an jedem Ort gültig sind. Diese Verallgemeinerung wird in der Mathematik Induktionsschluss genannt, d.h. von n n+1. Eine solche Verallgemeinerung ist nur gültig, wenn sich die physikalischen Konstanten nicht ändern. Die Forderung nach der Konstanz der Naturereignisse (Freier Fall Erdbeschleunigung) äußert sich in der Physik in der Existenz von Naturkonstanten, z.B. Lichtgeschwindigkeit, Elementarladung, Planck'sches Wirkungsquantum etc.

9 c) Physikalische Gesetze Mit der Verallgemeinerung durch den Induktionsschluss ist ein physikalisches Gesetz ermittelt. Beispiel: Man findet stets eine Proportionalität von Kraft zu Masse mal Beschleunigung. Es wird dann mathematisch formuliertF = m a, wobei durch Wahl des Einheitensystems die Proportionalitätskonstante zu 1 gewählt wird. Hier greift die Theorie ein, sie macht Vorhersagen, deren Überprüfung durch Experimente gewährleistet sein muss. d) Deduktion Aus den physikalischen Theorien oder Gesetzen können mit Hilfe der Logik spezielle, auf ein konkretes Problem bezogene Aussagen hergeleitet werden. Ein Beispiel: die Mondlandung wäre nicht möglich gewesen, wenn auf der Erde nicht alle Gesetzmäßigkeiten bekannt gewesen wären! So konnte der Flug auf der Erde simuliert werden. Der Erfolg der Mission zeigt, daß die physikalischen Theorien richtig und zuverlässig waren.

10 Regelkreis der physikalischen Erkenntnis bestehend aus a) Experiment b) Induktionsschluß c) Physikalisches Gesetz d) Deduktion Experiment (Beobachtung) Zusammenhang physikalischer Größen Verifikation Induktionsschluß (n n+1) Verallgemeinerung (Abstraktion) Physikalische Gesetze Systeme gesetzmäßiger Zusammenhänge Meßvorschrift Deduktion Ableiten konkreter Verhaltensweisen mittels der Logik

11 0.4. Ein historischer Rückblick Die geschichtliche Entwicklung der Physik lässt sich in drei große Perioden unterteilen: Antike Naturphilosophie Beobachtungen verknüpft mit philosophischen Betrachtungen, aber Entmythologisierung der Naturerscheinungen Aristoteles v.Chr. Thales von Milet v. Chr. Anaximander v. Chr. Pythagoras Vier Grundstoffe: Feuer, Wasser, Luft und Erde Klassische Physik Galilei ( ) als erster Physiker, der versuchte, physikalische Hypothesen durch gezielte Experimente zu untermauern. Isaac Newton ( ) brachte die Mathematik in die Physik. 18./19. Jahrhundert: Große Namen wie Boyle, Mariotte, Kelvin, Snellius, Huygens, Coulomb, Faraday, Maxwell, Hertz, Boltzmann, Röntgen Moderne Physik Seit Beginn des 20. Jahrhunderts neue Ära der Physik durch Planck über Einstein, Bohr, Schrö- dinger und Heisenberg. Vollkommen neues Bild der Atome, Kerne und Elementarteilchen.

12 0.5. Unser heutiges Weltbild Grobe Unterteilung der Physik in zwei Blöcke; Unterscheidung über Wirkung (Energie x Zeit) und Vergleich mit der Planckschen Konstanten: Wirkung >> h Makrophysik lichtmikrosko- pisch zugänglich Unmittelbar erfahrbar Zerlegbare Teile Kontinuierliche, stetige Abläufe Klassische Physik Anschaulich Streng deterministisch Genaue Messungen Wirkung h Mikrophysik atomar und subatomar Mittelbar erfahrbar Unzerlegbare Teile (Quanten) Diskontinuierliche, unstetige Abläufe Quantenphysik Unanschaulich, abstrakt Statistisch deterministisch Unschärferelationen

13 Teilgebiete der Physik

14 Aufbau der Materie BestandteileWechselwirkung, Kraft, DeutungPhysikalische Gebiete Quarks und Leptonen + Antiteilchen Schwache WW elektromagnetische WW Elementarteilchen Nukleonen, Mesonen Proton, Neutron Schwache WW elektromagnetische WW Elementarteilchen Atomkerne (d = m) Proton + Neutron Kohlenstoffkern (6n + 6p) Schwache WW Kernkraft Kernphysik Atome (d = m) Atomkern + Elektronen C: Kern + 6 Elektronen elektromagnetische WW Quantenmechanik Quantenelektrodynamik Atomphysik Moleküle Biomoleküle elektromagnetische WWMolekülphysik Biophysik Festkörper Kristalle, Halbleiter elektromagnetische WWFestkörperphysik

15 Beziehung der Physik zu Nachbarwissenschaften Chemie (Quantentheorie Periodensystem) Medizin (Kernresonanz Kernspintomograph) Biologie (Röntgenbeugung DNS-Struktur) Technik (Halbleiterphysik Transistor) Geologie (Thermodynamik Geysire)

16 1. Physikalische Größen Eine physikalische Größe stellt eine eindeutig definierte, meßbare Eigenschaft eines physikalischen Objekts, Zustands oder Vorgangs dar. Beispiele: Länge eines Tischs (Objekt) Stärke eines elektrischen Feldes (Zustand) Dauer einer Pendelschwingung (Vorgang) Die Definition einer physikalischen Grund- (Basis-)größe besteht wesentlich in der Angabe eines Meßverfahrens. Abgeleitete Größen werden durch Produkt- und Quotientenbildung aus den Basisgrößen definiert. 1.1 Grundgrößen und abgeleitete Größen Alle physikalischen Größen lassen sich auf sieben Grundgrößen zurückführen (bzw. sechs Grundgrößen und eine Naturkonstante): Länge, Zeit, Masse, Temperatur, Stromstärke, Lichtstärke, Stoffmenge (bzw. Zeit, Masse, Temperatur, Stromstärke, Lichtstärke, Stoffmenge, Lichtgeschwindigkeit) Die Dimension einer physikalischen Größe zeigt, wie die Größe von den Basisgrößen abhängt, unabhängig von den verwendeten Einheiten. So ist z.B. die Dimension der Geschwindigkeit immer Länge durch Zeit, abgekürzt V = L Z -1. (Dimensionsprüfung!)

17 Beispiele abgeleiteter Größen

18 1.2 Maßeinheiten und Maßsysteme Die Vereinbarung, nach der eine beobachtete physikalische Eigenschaft quantifiziert wird, ist die Maßeinheit der betreffenden physikalischen Größe. Die Messung einer physikalischen Größe erfolgt durch den Vergleich mit einer Einheit. Die Zahl, die angibt, wie oft die Einheit in der zu messenden Größe enthalten ist, wird als Zahlenwert der betreffenden physikalischen Größe bezeichnet. Physikalische Größe = Zahlenwert Einheit Die Basiseinheiten im SI (Système International d'Unites) - System

19 Daneben teilweise noch Sondereinheiten wie Å (Angström) in Gebrauch; 1 Å = m

20 1.3 Wichtige Naturkonstanten

21 1.4 Meßgenauigkeit und Meßfehler Ergänzungsvorlesung an diesem Freitag 2. Kinematik 2.1 Länge ( ) Einheit: Meter (m) Definition: 1 m ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während des Zeitintervalls von 1/ s durchläuft. Basis: Konstanz der Lichtgeschwindigkeit; c = m/s Versuch: Messung der Lichtgeschwindigkeit

22 Idee bei der Festlegung: 1 m der ste Teil des Erdumfangs Urmeter Später: Das ,73 fache der Wellenlänge der orangenfarbenen Spaktrallinie des Isotops 86 Kr

23 2.2 Zeit (t) Einheit: Sekunde (s) Definition: 1 s ist das fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklids 133 Cs entspre- chenden Strahlung. Zeitnormal der Physikalisch- Technischen Bundesanstalt (PTB) in Braunschweig Idee bei der Festlegung: 1 s der (= ) ste Teil eines Tages Sekundenpendel

24 2.3 Geschwindigkeit (v) Abgeleitete Größe: Geschwindigkeit ist Änderung des Ortes (Weg) durch Zeit Einheit: m/s 2.3.a Durchschnittsgeschwindigkeit Durchschnittsgeschwindigkeit = Beispiel: Gießen-Würzburg (170 km) in zwei Stunden: Durchschnittsgeschwindigkeit 85 km/h Wir wissen nichts über die Details der Reise, Stau, Pause, insbesondere nichts über Spitzengeschwin- digkeit, Geschwindigkeit zu einen gewissen Zeitpunkt der Reise. Im einfachen Bild der eindimensionalen Bewegung gibt es nur eine Koordinate x, den Ursprung und die Richtung positiv oder negativ. benötigt die Zeit t = t 1 (am Ort x 1 ) - t 2 (am Ort x 2 ): = Die Verschiebung eines Teilchens von x 1 nach x 2 um die Strecke x = x 1 - x 2 Versuch: Gleichförmige Bewegung x 1 = x 2 = x 3 = x 4, t 1 = t 2 = t 3 = t 4 : v = const. (= )

25 In diesem speziellen Fall ist die Durchschnittsgeschwindigkeit auch vom Zeitintervall abhängig, auf das man sich bezieht. So ist zum Beispiel zwischen P 1 und P 2 die Durchschnittsgeschwindigkeit kleiner als zwischen P 1 und P 2 '. Man kann sich das für beliebige Weg-Zeit-Diagramme klarmachen. Man betrachte die Punkte P 1 (x 1, t 1 ) und P 2 (x 2, t 2 ) dann ist die Durchschnittsgeschwindigkeit die Steigung der Geraden, die die P 1 und P 2 verbindet.

26 2.3.b Momentangeschwindigkeit Wir benutzen das gleiche Weg-Zeit-Diagramm wie vorher und gehen auf kleinere Zeitintervalle über. Zeitintervall: t 1, t 2, t 3 Für jedes Zeitintervall haben wir eine Durchschnittsgeschwindigkeit mit der Steigung der Geraden. Je kleiner das Zeitintervall, desto mehr nähert man sich der Tangente an die Kurve, d.h. die Momentangeschwindigkeit ist für einen bestimmen Zeitpunkt die Steigung der Tangenten an die x- t-Kurve in diesem Punkt.

27 Mathematisch: v =, in differentieller Schreibweise v = Um die Momentangeschwindigkeit zu bestimmen, hat man zwei Möglichkeiten: Liegt die x-t-Kurve nicht analytisch vor, so ist man gezwungen, an jedem interessierenden Punkt die Tangente, d.h. den Grenzwert zu berechnen Liegt sie analytisch vor, können wir die Rechenregeln der Mathematik über Differentation benutzen. Ist x eine einfache Potenzfunktionx = c t n,folgt v = Beispiel: Ein parabolischer Weg-Zeit-Graph: x(t) = c t 2 v = d.h. die Momentangeschwindigkeit wächst proportional (linear) mit der Zeit an, das Teilchen wird beschleunigt.

28 2.4 Beschleunigung Abgeleitete Größe: Beschleunigung ist Änderung der Geschwindigkeit durch Zeit Einheit: m/s 2 Analog zu vorher: Durchschnittsbeschleunigung = Momentanbeschleunigung a = Vorheriges Beispiel: x(t) = c t 2, v(t) = 2 c t : a = dv/dt = 2 c Wir werden später sehen, daß die Beschleunigung eines Teilchens proportional zur Kraft ist, die auf das Teilchen einwirkt. Beispiel: Ein Wagen prallt mit 100 km/h auf eine Betonwand, die sich nicht bewegt. Wie lange dauert es bis, der Wagen steht, und welche Beschleunigung hat er erfahren? a) Annahme: Bremsweg = 0,75 m (realistische Verformung) b) mittlere Geschwindigkeit von v 1 = 100 km/h nach v 2 = 0 km/h = 50 km/h = 14 m/s (1 km/h = 1000 m/3600 s = 0,278 m/s) c) Bremszeit:

29 d) Wagen wird von 100 km/h = 28 m/s auf 0 m/s abgebremst v = - 28 m/s, Beschleunigung (mehr als 50fache Erdbeschleunigung!) 2.5 Integration Wir haben gesehen, daß man aus der Kenntnis der Ortsfunktion x(t) über Ableitung zu v(t) und a(t) gelangen kann: Umgekehrt gelangen wir von der Beschleunigungsfunktion a(t) auch zu v(t) und x(t): Wir kennen a(t). Dann ist v(t) die zugehörige Stammfunktion. Nehmen wir wie vorher a als konstant an, d.h. Einmalige Integration: (v 0 Geschwindigkeit zur Zeit t = 0) Zweimalige Integration: (x 0 = x(t = 0))

30 Erinnerung Integration: Allgemeine Stammfunktion eines Polynoms: Beispiel: Graphische Integration einer v(t) – t – Kurve, Rechtecke für alle Zielintervalle

31 2.6 Bewegung mit konstanter Beschleunigung Bereits in Einführung gesehen: Körper nahe der Erdoberfläche fallen aufgrund der Gravitation mit konstanter Beschleunigung senkrecht nach unten. Versuch: Aufnahme der Ortskurve beim freien Fall mit einer stroboskopischen Kamera Resultat: Konstante Beschleunigung bedeutet Steigung im v - t - Diagramm konstant, Geschwindigkeit hängt linear von der Zeit ab: v = v 0 + a t Strecke: Durchschnittsgeschwindigkeit:

32 Voraussetzung: Reibungsfreie Bewegung (Luftreibung vernachlässigbar)! Versuch: Freier Fall in Luft und im Vakuum Beispiel für beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit: Ein Ball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 30 m/s senkrecht nach oben geworfen. Gleichzeitig erfährt er die Beschleunigung g ( 10 m/s 2 ) nach unten. a) Wie lange braucht er bis zu seinem höchsten Punkt? b) Welche Strecke legt er bis zu diesem Punkt nach oben zurück? c) Wie lange ist der Ball insgesamt in der Luft? : Anfangsort des Teilchens x 0, v 0 = 30 m/s; 2: höchster Punkt, v = 0; 3: x = x 0, v = - v 0

33 Lösung a) Wir suchen die Zeit, für die die Geschwindigkeit Null wird: v = v o + g t 0 = 30 m/s + (- 10m/s 2 ) t t = 3 s. b) Die Strecke, die der Ball in dieser Zeit zurücklegt, finden wir auf zwei Weisen: 1) Anfangsgeschwindigkeit 30 m/s, Erdgeschwindigkeit 0 m/s, Durchschnittsgeschwindigkeit 15 m/s: c) Wie lang ist der Ball insgesamt in der Luft? 1) Aus Symmetriegründen sollte er für die Aufwärtsbewegung die gleiche Zeit benötigen wie für die (gleich lange) Abwärtsbewegung t G = 2 3 s = 6 s 2) Berechnen die Zeit, wenn x = x - x 0 = 0 ist:

34 Zusammenfassung Kapitel 2 1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist das Verhältnis der Verschiebung x zur Länge des Zeitintervalls t: In die Verschiebung (und somit in die Geschwindigkeit) geht die Richtung der Bewegung mit ein. 2. Die Momentangeschwindigkeit v ist der Grenzwert dieses Verhältnisses, wenn das Zeitintervall gegen null geht. Dies entspricht der Ableitung von x nach t: Die Momentangeschwindigkeit kann graphisch als Steigung der Weg-Zeit-Kurve (x-t-Kurve) wie- dergegeben werden. Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit können sowohl positiv als auch negativ sein. 3. Die Durchschnittsbeschleunigung ist das Verhältnis der Änderung der Geschwindigkeit v zur Länge des Zeitintervalls t. 4. Die Momentanbeschleunigung a ist der Grenzwert dieses Verhältnisses, wenn das Zeitintervall gegen null geht. Dies ist die erste Ableitung von v nach t oder die zweite Ableitung von x nach t. Die Momentangeschwindigkeit ist graphisch durch die Steigung der Geschwindigkeit-Zeit-Kurve (v-t- Kurve) gegeben.

35 5. Die Verschiebung x kann graphisch als Fläche unter der v-t-Kurve aufgefasst werden. Diese Fläche ist das Integral von v im Zeitintervall von der Anfangszeit t 1 bis zur Endzeit t 2, geschrieben als Entsprechend läßt sich die Änderung der Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitintervall als Fläche unter der Beschleunigungs-Zeit-Kurve (a-t-Kurve) darstellen. 6. Im Spezialfall einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung gelten die folgenden Formeln: Ein häufig verwendetes Beispiel für eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung ist der freie Fall eines Gegenstandes nahe der Erdoberfläche unter dem Einfluß der Schwerkraft. Dabei ist die Beschleunigung des Körpers nach unten gerichtet und hat einen Betrag von g = 9,81 m/s 2.

36 3. Bewegung in zwei und drei Dimensionen Wir betrachten nun die Bewegung eines Teilchens in zwei und drei Dimensionen: Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung werden jetzt als Größen aufgefaßt, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung im Raum haben. Solche Größen heißen Vektoren. Beispiele: Kraft, Impuls, elektrisches und magnetisches Feld Größen, die nur einen Betrag, aber keine Richtung haben, nennt man Skalare. Beispiele: Temperatur, Masse, Ladung Mit Vektoren spannen wir den dreidimensionalen Euklid'schen Raum auf. Wir können jeden Punkt in diesem System mit Vektoren erreichen. 3.1 Eigenschaften von Vektoren und Vektoraddition Gleichheit von Vektoren: Betrag und Richtung müssen übereinstimmen

37 Strecke im dreidimensionalen Raum: Ein Teilchen bewege sich von P 1 über P 2 nach P 3 Raum Verschiebungsvektor P 1 P 2 Verschiebungsvektor P 2 P 3 (hängen nicht vom Weg des Teilchens ab, sondern nur von Endpunkten P 1, P 2 bzw. P 2, P 3 ) Verschiebung resultierende Verschiebung P 1 P 3 ; (graphische Addition)(Vektoraddition, Reihenfolge egal) A + B = |C|, wenn in die gleiche Richtungzeigen Vektorsubtraktion Beispiel: Addition von Geschwindigkeiten (Wagen auf Rolltisch)

38 3.2. Vektoraddition in Komponentenschreibweise Da wir einen dreidimensionalen Raum haben und in ihm ein rechtwinkliges Koordinatensystem definieren, brauchen wir in der Regel nur 3 Ortskomponenten, d.h. drei Vektorkomponenten. Später (in der Relativitätstheorie) gehen wir auf einen 4-dimensionalen Raum über. Die 4. Komponente ist die Zeit, dies führt zu einem gekrümmten Koordinatensystem. Zweidimensionale Betrachtung: Addition erfolgt komponentenweise. Projektion auf y A y, Projektion auf x A x (immer rechtwinklig) A x = A cos A y = A sin Satz von Pythagoras: Addition: A x + B x = C x, A y + B y = C y

39 3.3 Einheitsvektoren und Multiplikation mit Skalaren Jeder Vektor kann mit einem Skalar s multipliziert werden,wobei s eine dimensionslose Zahl oder eine physikalische Größe (Zahl mit Maßeinheit) sein kann. Man kann einen Vektor zweckmäßigerweise durch seine Komponenten ausdrücken wenn man Einheitsvektoren einführt. Ein Einheitsvektor ist als ein dimensionsloser Vektor definiert, der den Betrag 1 besitzt und in eine festgelegte Richtung zeigt. In unserem rechtwinkligen, kartesischen Koordinatensystem zeigen die Einheitsvektoren in die x-, y-, und z-Richtung. Sie lauten dann und stehen senkrecht aufeinander. Wir betrachten nun einen beliebigen Vektor A und fragen nach seinen Komponenten: a) Der Vektor ist also das Produkt aus der Komponente A x, d.h. der Projektion auf die x-Achse, und dem Einheitsvektor in x-Richtung e x. b) A x hat den Betrag: A x e x = A x e x = A x 1 = A x c) Jeder Vektor A kann als Linearkombination von Einheitsvektoren geschrieben werden: A = A x e x + A y e y + A z e z = (A x, A y, A z )

40 Einschub: Andere Koordinatensysteme Zylinderkoordinaten: In der x-y- Ebene Polarkoordinaten, in z-Richtung kartesisch. Beziehungen: Einheitsvektoren: Flächenelement dA = d d, Volumenelement dV = d d dz Kugelkoordinaten (Polarkoordinaten). Beziehungen: Einheitsvektoren: Flächenelement dA = r dr d (in x-y-Ebene), Volumenelement dV = r 2 sin dr d d r2r2

41 d) Die Vektoraddition läßt sich dann schreiben zu: A + B = (A x e x + A y e y + A z e z ) + (B x e x + B y e y + B z e z ) = (A x + B x ) e x + (A y + B y )e y + (A z + B z )e z 3.4 Der Geschwindigkeitsvektor Ein Teilchen möge sich auf einer Bahnkurve im zweidimensionalen Raum bewegen. Wir kennen alle Punkte in diesem Koordinatensystem x, y. Folge der Punkte P i zu Zeiten t i : Bahnkurve oder Trajektorie. Ursprung: 0 Jeder Punkt wird über x- y- Koordinaten angegeben. Man kann den Ort des Teilchens als Verschiebung gegenüber dem Ursprung (Nullpunkt des Koordinaten- Systems) auffassen. Man nennt diesen Verschiebungsvektor Ortsvektor Der Vektor der Verschiebung von P 1 nach P 2 gibt die räumliche Änderung des Ortsvektors an. Vektor der mittleren Geschwindigkeit:

42 Momentangeschwindigkeit : Wir gehen zu kleineren Zeit-Intervallen über: Was ist die Ableitung ? Übergang zu Komponenten: oder 3.5 Der Beschleunigungsvektor Analog zur Geschwindigkeit geht man bei der Beschleunigung vor. Mittlere Beschleunigung: Vektor der Momentanbeschleunigung:Ebenso analog:

43 Nota bene: Der Geschwindigkeitsvektor kann seinen Betrag, seine Richtung oder auch beides verändern. Von Beschleunigung spricht man, wenn der Geschwindigkeitsvektor in irgendeiner Weise variiert. Wir kennen meist den Fall, daß der Betrag sich ändert. Geschwindigkeit kann aber auch vom Betrag her konstant sein, das Teilchen wird trotzdem beschleunigt, wenn die Richtung des Geschwindigkeitsvektors variiert. 3.6 Relativgeschwindigkeit Die Geschwindigkeit wird relativ zu einem Koordinatensystem gemessen. Es kann sich relativ zu einem anderen Koordinatensystem bewegen. Beispiel: Senkrechter Wurf auf gleichförmig bewegtem Wagen In einem Koordinatensystem, das sich in Ruhe befindet, z.B. die Erde (die Eigendrehung der Erde kann in vielen Fällen vernachlässigt werden), können wir die Relativgeschwindigkeit vernachlässigen. Wir nennen solche Systeme, die sich in Ruhe befinden, Inertialsysteme. Aber wir erinnern uns : in einem mit konstanter Geschwindigkeit ablaufenden System (Zug oder Auto mit v = konstant, a = dv/dt = 0) empfinden wir unseren eigenen Zustand als in Ruhe befindlich. dies gilt nicht für einen Beobachter, der uns von außen beobachtet, er sieht uns mit konstanter Geschwindigkeit davonfahren.

44 Physikalische Gesetze, d.h. Bewegungsabläufe, können deshalb vom Beobachtungszustand abhängen: Zwei Gesichtspunkte: Wie sieht a) Experimentator, wieb) Beobachter das Experiment? 3.7 Wurfbewegungen Wichtige Anwendung der Bewegung in zwei Dimensionen Wurf Projektil Wasserstrahl Dabei im folgenden Vernachlässigung von : Luftwiderstand, Rotation der Erde, Unregelmäßigkeiten in der Erdbeschleunigung

45 Objekt erfährt jeweils eine konstante, nach unten gerichtete Beschleunigung mit dem Betrag g = 9.81 m/s 2 Wichtigste Merkmale der Wurfbewegungen: Horizontale und vertikale Komponenten der Bewegung sind unabhängig voneinander. Gilt allgemein (Prinzip der ungestörten Superposition)! Grund: Komponente eines Vektors bezüglich dazu senkrechter Richtung identisch Null. Waagerechter Wurf / senkrechter Fall: Kugeln fallen gleich schnell Relativ zur Erde beschreibt der Ball – wie vorher gesehen - eine Parabel. (Charakteristische Bahn für die Wurfbewegung) Wurfbewegung mit horizontaler und vertikaler Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: Schräger (schiefer) Wurf Koordinaten wie üblich; Beschleunigung: a y = - g (Erde), a x = 0 Geschwindigkeitskomponenten beim Abwurf (bei y = x = 0, d.h. im Ursprung): v ox = v o cos (Ankathete),v oy = v o sin (Gegenkathete) Keine Beschleunigung in horizontaler Richtung (x), d.h.v x = v ox (1) y-Komponente der Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit: v y = v oy – g t(2)

46 bzw. die Ortskoordinaten (als Funktionen der Zeit) x = v ox t (3) y = v oy t – ½ g t 2 (4) Beispiel: Ball mit Anfangsgeschwindigkeit von 50 m/s (180 km/h) unter 37 o zum Horizont (g = 10 m/s 2 ) a) Wie lange ist der Ball in der Luft? b) Wann hat er seinen höchsten Punkt erreicht? c) Wie weit ist er geflogen? (Entfernung, die er in dieser Zeit in waagerechter Richtung zurückgelegt hat)? a)v 0x = 50 m/s cos 37° = 50 m/s 0,8 = 40 m/s v 0y = 50 m/s sin 37° = 50 m/s 0,6 = 30 m/s Flugzeit des Balles aus (4): y = v oy t – ½ g t 2 = t (v oy – ½ g t) = 0 2 Lösungen: t 1 = 0 (Anfangsbedingungen), t 2 = b) Höchster Punkt (d.h. v y = 0) v y = v oy –g t M = 0 (genauso lange rauf wie runter) c) x = v 0x t = 40 m/s 6 s = 240 m

47 Reichweite R) Allgemeine Gleichung für y(x) aus x = v ox t und y = v oy t – ½ g t 2 durch Eliminieren von t; x o = y o = 0: Dies ist eine Gleichung der Form y = ax + bx 2, d.h. eine Parabel, die durch den Ursprung geht. wichtige Größen für Wurfprobleme : Abwurfwinkel Reichweite R Geschwindigkeitsvektor in seinen Komponenten

48 Spezialfall: Anfangs- und Endhöhe identisch (symmetrische Wurfparabel!) Herleitung der Formel für die Reichweite in Abhängigkeit von der Anfangsgeschwindigkeit und dem Wurfwinkel: Wasserstrahl: Maximale Reichweite für = 45° (2 = 90°)! Gilt nur für die gleiche Höhe von Abschluss- und Auftreffpunkt! (Beim Kugelstoßen aus einer Höhe von 1, 8m z.B. maximale Reichweite für = 42 o) Allgemein:

49 Anwendung: Wohin muß ein Schütze zielen, der sieht, daß sich der Affe gerade fallen läßt?

50 3.8 Kreisbewegungen Erde um die Sonne, Mond um die Erde, Saturn-Ringe Satelliten Räder drehen sich im Kreis (Auto, Fahrrad) Kurvenfahrt (Kreisbogen) Hier Objekte, die sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegen, genauer mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit. Aber die Definition der Beschleunigung war die zeitliche Änderung des Geschwindigkeitsvektors! Winkel zwischen den Ortsvektoren und zwischen den Geschwindigkeitsvektoren identisch, da Für immer kleinere Intervalle t geht Verschiebungsvektor r in Bogen s über: (r = const., v = const.)

51 Die Beschleunigung a r heißt Zentripetalbeschleunigung. Sie ist immer zum Kreismittelpunkt hin gerichtet. Ohne solch eine Zentripetalbeschleunigung fliegen Teilchen tangential. Beispiel: Satellit in 200 km Höhe (Erdanziehung 6 % kleiner); v = ?, T = ? Satellit muß durch a r = 0,94 g = 0,94 9,81 m/s 2 = 9,22 m/s 2 auf Kreisbahn gehalten werden. Radius der Umlaufbahn: Erdradius (6370 km) km: r = 6570 km v 2 = r a = 6570 km 9,22 m/s 2 v = 7,78 km/s Abschluss: Zusammenhang zwischen Wurfbewegung und Kreisbewegung (Satellitenbewegung)

52 Zusammenfassung Kapitel 3: Bewegung in zwei und drei Dimensionen Größen, die einen Betrag und eine Richtung besitzen, sind Vektorgrößen. Vektoraddition: Zerlegung in Komponenten A x = A cos 1 A y = A sin 1 B x = B cos 2 B y = B sin 2 Addition der Komponenten: Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung des gewählten Koordinatensystems zum Ort des Teilchens. Im Zeitintervall t ändert er sich um Der Geschwindigkeitsvektor gibt die zeitliche Änderung des Ortsvektors. zeigt in Richtung der Bewegung, d.h. tangential zur Kurve, auf der sich das Teilchen bewegt. Momentangeschwindigkeit: Beschleunigungsvektor: Änderung des Geschwindigkeitsvektors pro Zeit

53 Momentanbeschleunigung: Ein Teilchen wird beschleunigt, wenn der Geschwindigkeitsvektor den Betrag oder die Richtung oder beides ändert. Relativgeschwindigkeit Relativgeschwindigkeit von System A gegen System B) Wurfbewegung: Horizontale und vertikale Bewegung sind voneinander unabhängig horizontale Komponente:v x = v ox = v o cos x = v ox t vertikale Komponentev y = v oy – g t = v o sin – g t y = v 0y t – ½ g t 2 Reichweite R = (v 0 ) 2 sin 2 / g (wenn Abwurf- gleich Auftreffhöhe) Kreisbewegung Zentripetalbeschleunigung a = v 2 / r

54 4. Die Newton'schen Axiome Bisher betrachtet: Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung Aussage: Wie bewegt sich der Körper (Kinematik)? Jetzt: Weshalb bewegt sich der Körper (Dynamik)? Zusätzliche Physikalische Größen Kraft (F) Masse (m) Alle Phänomene der klassischen Mechanik lassen sich dann mit Hilfe der 3 Newton'schen Axiome beschreiben Newton'sches Axiom Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter, wenn keine resultierende äußere Kraft auf ihn einwirkt. (die resultierende Kraft ist die Vektorsumme aller Kräfte, die an einem Körper angreifen: Die Eigenschaft eines Körpers, seinen Bewegungszustand beizubehalten, bezeichnet man als Trägheit: Kugel bleibt auf bewegtem Tisch am Anfangsort Reibungseffekte beeinflussen die Beobachtbarkeit. Gleiter auf Luftkissenbahn

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56 1. Newton'sches Axiom macht keinen Unterschied zwischen ruhendem oder gleichförmig bewegtem Körper. Frage, ob Körper ruht oder sich gleichförmig bewegt, hängt vom Koordinatensystem ab, in dem die Beobachtung erfolgt. Koordinatensysteme, in denen physikalische Größen bestimmt werden, heißen Bezugssysteme. Das erste Newtonsche Axiom gilt nicht in allen Bezugssystemen (beschleunigte!) Bezugssysteme, in denen das 1. Newtonsche Axiom gilt, heißen Inertialsysteme. Erde ist ein gutes Inertialsystem, da Erddrehung um die Achse + Drehung um die Sonne nur eine Beschleunigung von 0,01 m/s 2 verursachen Kraft, Masse und das zweite Newton'sche Axiom Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn einwirkt: Durch Wahl des Einheitensystems wird Proportionalitätskonstante 1.

57 Experiment: Beschleunigung verschiedener Massen mit unterschiedlichen Kräften. Definition der Masse: (träge Masse) Eine Kraft wirkt auf einen Körper m 1 und führt zur Beschleunigung a 1 : F = m 1 a 1 Dieselbe Kraft wirkt auf einen Körper m 2 und führt zu einer Beschleunigung a 2, also gilt: F = m 1 a 1 = m 2 a 2 oder

58 m 1 muss definiert werden:Primärnormal (Platin-Iridium-Zylinder in Paris) Idee bei Festlegung: 1 kg ist die Masse von 1 Liter Wasser (bei Normbedingungen) Sekundärnormale danach geeicht Einheit der Kraft ist das Newton (N) 1 N = 1 kgm/s 2 entspricht der Kraft, die benötigt wird, um einen Körper der Masse 1kg mit 1m/s 2 zu beschleunigen. Ebenfalls mit 2. Newton'schem Axiom verknüpft: Impuls p = m v (Kapitel 7): 2. Newton'sches Axiom erlaubt vollständige Bestimmung der Bewegungsgleichungen. Beispiel: Ein Teilchen (Masse 0,4 kg) sei zwei Kräften F 1 = 2 N e x - 4 N e y und F 2 = - 2,6 N e x + 5 N e y ausgesetzt. Wo ist es nach t = 1,6 s, und welche Geschwindigkeit hat es?

59 Start: t = 0, bei x = y = 0 mit v o = 0 resultierende Kraft (Vektorsumme): F = F 1 + F 2 = (2 N e x - 4 N e y ) + (- 2,6 N e x + 5 N e y ) = - 0,6 N e x + 1 N e y Ort? 4.3 Die Gewichtskraft Die hier auftretende Masse charakterisiert die Schwere eines Körpers und wird als schwere Masse bezeichnet. Sie hängt vom Gravitationsfeld der Erde ab. Schwere Masse auf dem Mond 1/6 derjenigen auf der Erde. Horizontale Bewegungen bleiben jedoch gleich und werden durch die träge Masse (Widerstand gegen Bewegungsänderung) bestimmt.

60 Auf der Erde sind die Massen so definiert, daß schwere Masse = träge Masse. Schwingungsdauer von Pendeln gleicher Länge, aber verschiedener Masse gleich 4.4 Das 3. Newton'sche Axiom (Reaktionsprinzip) Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn Körper A eine Kraft auf Körper B ausübt, so wirkt eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A. Zwei durch gespannte Federn verbundene Gleiter gleicher Masse führen nach Trennung Bewegung entgegengesetzter Richtung, Geschwindigkeit und Beschleunigung aus. Weitere Beispiele: Kraft einer Feder auf eine (gleichartige) andere; zwei Personen auf Rollwagen ziehen sich gegenseitig. 4.5 Kräfte in der Natur Zur Zeit kennt man 4 fundamentale Kräfte und Wechselwirkungen: WechselwirkungWirkungsbereich relative StärkeReichweite Starke WechselwirkungNukleonen 1kurz (fm) Elektromagnetische WWLadungen, Licht /r 2 Schwache WWLeptonen, Nukleonen10 -7 kurz GravitationMassen /r 2

61 Tägliches Leben: Kontaktkräfte Gegenkräfte zur Gravitationskraft sind häufig molekulare Kräfte, die aufgrund elektromagnetischer Wechselwirkung entstehen (Ladungen, Magnetfeld); im Detail sehr kompliziert, interessant (Chemie, Biologie) Attraktive WW zwischen Mann + Frau, Sex-Appeal! Hier sehr, sehr grobe Verallgemeinerung für die Mechanik, alle diese Kräfte resultieren im Hooke'schen Gesetz F = - k (x-x o ) = - k x (oder = F/A ~ = / ) D.h., wirkt auf einen Körper eine Kraft F, so dehnt oder streckt er sich proportional zur Konstante k. Die Auslenkung ist reversibel (im elastischen Bereich), die den ursprünglichen Zustand wieder herstellende Kraft heißt Rückstellkraft: Beispiel: Feder mit Federkonstante k = 300 N/m. Körper mit der Masse 4 kg hängt an der Feder, ohne sich zu bewegen. Wie groß ist die Auslenkung? Statisches Gleichgewicht: Da Körper sich nicht bewegt, muß resultierende Kraft, die auf ihn wirkt, Null sein. Es treten zwei Kräfte auf: F F und G Also: (F F + G) = 0 bzw. m g + (- k x) = 0

62 Klotz auf Tisch: Gewichtskraft auf Tisch, entgegengesetzte Kraft vom Tisch auf den Klotz. Hier interessiert nur die senkrechte oder Normal-Komponente F N, die Normalkraft. Kräfte parallel zur Oberfläche mit Parallelkomponenten sind Reibungskräfte. Da Kräfte (wie die Beschleunigung) Vektoren sind, können wir sie in Komponenten zerlegen bzw. mit Hilfe des Kräfteparallelogramms zu einer resultierenden Kraft addieren. Beispiel: Schiefe Ebene (idealisiert, ohne Reibung) F N und G wirken nicht entlang derselben Geraden. Kräfte heben sich nicht gegenseitig auf, also muß der Körper eine nach unten gerichtete Beschleunigung erfahren. Kraft-Zerlegung in Komponenten über geeignetes Koordinatensystem

63 G x = G sin = m g sin G y = - G cos = - m g cos (F N in y-Richtung, a x Beschleunigung in x - Richtung) resultierende Kraft in y- Richtung: F N - m g cos Mit 2. Newton'schem Axiom und unter Berücksichtigung a y = 0: Für x-Komponenten: = 0 90 o 0 o : Normalkraft gleicht Gewichtskraft aus: a x = 0 90 o : a x = g : freier Fall 2. Beispiel: Kugel an Faden der Läge mit konstanter Geschwindigkeit v auf Kreisbahn mit Radius r. Gesucht: Zugkraft des Seiles und Geschwindigkeit der Kugel.

64 Skizze des Problems: Gewichtskraft G = m g nach unten, Zugkraft Z entlang dem Seil, Beschleunigung v 2 /r in Richtung des Kreismittelpunktes. Vertikalkomponente Z cos muss G ausgleichen, Horizontalkomponente ist die Zentripetalkraft m v 2 /r. Also: Z cos - m g = 0 oder Z cos = m g Z sin = m a = m v 2 /r 3. Beispiel: Fadenpendel Tangentiale Beschleunigung Kleine Auslenkungen (kleine ): sin, also

65 4. Beispiel: Person auf Waage im Aufzug Beobachtung: Wenn Aufzug mit a nach oben beschleunigt, zeigt Waage mehr an, wenn er mit a nach unten beschleunigt, weniger. 2. Newton'sches Axiom: Auf Mann wirken Kraft F N, die von der Waage ausgeht, sein Gewicht G = m g und m a. Fall 1: Resultierende Kraft m a zeigt nach oben, m a = F N – G bzw. F N = m g + m a Fall 2: Resultierende Kraft m a zeigt nach unten, m a = G – F N bzw. F N = m g - m a Lösung muß Funktion sein, deren 2. Ableitung (bis auf konstanten Faktor) das Negative der Funktion selber ist: = 0 cos t Periodischer Vorgang; Kreisfrequenz, Periode T = 2 /

66 Zusammenfassung Kapitel 4: Die Newton'schen Axiome 1. Newton'sches Axiom (Trägheitsprinzip): Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter, wenn keine resultierende äußere Kraft auf ihn einwirkt. 2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip): Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn einwirkt. 3. Newton'sches Axiom (Reaktionsprinzip) Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn Körper A eine Kraft auf Körper B ausübt, so wirkt eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A. Bezugssysteme, in denen die Newton'schen Axiome gelten, heißen Inertialsysteme. Ein Bezugssystem, das relativ zu einem Inertialsystem beschleunigt wird, ist kein Intertialsystem. Die Einheit der Kraft ist das Newton (N): 1 N = 1 kg m / s 2 Die Masse ist eine jedem Körper innewohnende Eigenschaft, die dessen Widerstand gegen eine Beschleunigung angibt. Messung durch gleiche Kraft auf zwei Körper: Die Masse hängt nicht davon ab, wo sich der Körper befindet.

67 Die Gewichtskraft G eines Körpers ist die Gravitationskraft zwischen dem Körper und der Erde. Sie ist keine körpereigene Eigenschaft Alle Kräfte, denen wir in der Natur begegnen, können durch vier grundlegende Wechselwirkungen beschrieben werden: Die Gravitationswechselwirkung Die elektromagnetische Wechselwirkung Die starke Wechselwirkung Die schwache Wechselwirkung Die meisten Kräfte des Alltags, wie die Kontaktkräfte, die von Federn, Seilen, Oberflächen auf Körper ausgeübt werden, sind letztendlich molekulare Kräfte, die auf der elektromagnetischen WW beruhen.

68 5. Anwendungen der Newton'schen Axiome: Reibungskräfte, Strömungswiderstände, Scheinkräfte 5.1 Reibung Haftreibung F H, Gleitreibung F G : wirken in entgegengesetzter Richtung zur äußeren Kraft Experiment: Reibungskräfte proportional zur Normalkraft pro Flächeneinheit Reibungskräfte hängen von Struktur, aber nicht von der Größe der Berührungsfläche der Körper ab; mikroskopische Berührungsfläche kleiner Teil der makroskopischen Berührungsfläche. maximale Haftreibungskraft F H, max = H F N ( H : Haftreibungszahl) Für den Haftreibungsbereich gilt:F H H F N Sonst tritt Gleitreibung ein:F g = g F N ( G : Gleitreibungszahl) G ist kleiner als H

69 G hängt von der Relativgeschwindigkeit der Oberflächen ab. Für v 1 cm/s m/s ist G konstant. Ungefähre Richtwerte von Reibungskoeffizienten Weitere Definition: Rollreibung Rollreibungszahl R ist definiert als das Verhältnis jener Kraft, die zur Aufrechterhaltung der Rollbewegung eines Rundkörpers mit konstanter Geschwindigkeit benötigt wird, zur Normalkraft (die die Unterlage auf den Rundkörper ausübt). Typische Werte für R : Gummireifen auf Beton: R = 0,01 bis 0,02; Stahlräder auf Stahl: R = 0,001 bis 0,002

70 Beispiel 1: Die Haftreibungszahl zwischen einem Autoreifen und der Straße betrage an einem bestimmten Tag 0,7. Wie groß ist der steilste Neigungswinkel einer Straße, auf der man das Auto parken kann, ohne daß es den Berg hinunterrutscht? Für den kritischen Winkel K wird F H = H F N,d.h. H = tan K oder K = arc tan 0,7 = 35° (unabhängig vom Körper) Beispiel 2: Ein Wagen fahre mit 30 m/s eine horizontale Straße entlang. Die Reibungszahlen zwischen der Straße und den Reifen seien H = 0.5 und G = 0.3. Wie weit fährt der Wagen noch, wenn er so stark abgebremst wird, daß a) die Reifen sich gerade noch drehen oder b) die Räder blockieren?

71 Keine vertikale Beschleunigung: a) Vor dem Bremsvorgang blockieren die Räder nicht, die Straße übt eine horizontale Haftreibungs- kraft aus. Gewichtskraft gleichmäßig auf die 4 Räder verteilt, alle Reifen werden gebremst. Beschleunigung konstant, d.h. (um von a auf x zu kommen) b) Blockierende Räder : Gleitreibung Beispiel 3: Ein Wagen fahre auf einer horizontalen Straße im Kreis, der Kreisradius betrag 30 m, die Haftrei- bungszahl sei H = 0.6. Wie schnell kann der Wagen fahren, ohne seitlich wegzurutschen?

72 Wenn ein Wagen auf einer horizontalen Straße durch die Kurve fährt, dann wird die Zentripetalkraft von der Reibungskraft aufgebracht. Es handelt sich um Haftreibung, solange der Wagen nicht seitlich rutscht. Die Normalkraft gleicht die Gewichtskraft aus. Horizontal wirkt die Reibungskraft F H,max = H m g. Sie entspricht der Zentripetalkraft

73 5.2 Strömungswiderstand Bewegung eines Körpers durch eine Flüssigkeit oder ein Gas. Strömungswiderstand hängt ab von: - Form des Körpers (wichtig!) - Eigenschaften des Mediums (Gas, Flüssigkeit) Anders als bei gewöhnlicher Reibung zwischen zwei Körpern wächst der Strömungswiderstand mit der Geschwindigkeit des Körpers. Strömungswiderstand (Widerstandskraft) = b v n (b, n empirische Konstanten) F = m g – b v n = m a: v wächst an, bis a = 0, d.h. b v n = m g; Endgeschwindigkeit Je größer b, desto kleiner v e (b bedingt durch Form des Körpers). Chemische Industrie: Kugelfall-Viskosimeter Autoindustrie: Luftwiderstand (c W -Wert) Fallschirmspringer: ohne Fallschirmmit Fallschirm v e = 60 m/s = 216 km/hca 20 km/h

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75 5.3 Bewegungsprobleme im Fall von mehreren miteinander verbundenen Körpern Bei vielen mechanischen Problemen sind mehrere Körper in Kontakt oder durch Federn und Seile miteinander verbunden. Lösung der Aufgabe: Für jeden Körper wird ein Kräftediagramm gezeichnet und das 2. Newton'sche Gesetz angewendet. Die Gleichungen werden für alle unbekannten Kräfte und Beschleunigungen gleichzeitig gelöst. Für ein System aus zwei Körpern muß nach dem 3. Newton'schen Gesetz die Kraft des ersten Körpers auf den zweiten vom Betrag gleich groß, aber entgegengesetzt sein zur Kraft des zweiten Körpers auf den ersten. Kraft auf Körper 1: Z = m 1 a 1 Z = Z 1 = Z 2 Zugkräfte im Seil identisch (Zugkraft im Seil) Kraft auf Körper 2: G 2 = m 2 g m 2 g – Z = m 2 a 2: Beide Körper bewegen sich betragsmäßig mit der gleichen Geschwindigkeit (aber nicht in gleiche Richtungen).Beträge der Beschleunigungen sind gleich: a 1 = a 2 = a

76 Z = m 1 a eingesetzt in m 2 g – Z = m 2 a m 2 g – m 1 a = m 2 a bzw. Entspricht einer Masse von m = m 1 + m 2, auf die die Kraft m 2 g wirkt. a) für m 1 << m 2 : a g Z 0, System fällt mit Erdbeschleunigung b) für m 1 >> m 2 : a (m 2 /m 1 ) g 0keine Beschleunigung, 5.4 Scheinkräfte Die Newton'schen Gesetze gelten nur in Inertialsystemen. Welche Ergebnisse erhält man in Systemen, die keine Inertialsysteme sind (z.B. beschleunigten Systemen)? Soll weiterhin F = m a angewendet werden, muß die Beschleunigung des Bezugssystems berücksichtigt werden. Dies geschieht durch sogenannte Scheinkräfte. Scheinkräfte: a) im mit linear beschleunigten Bezugssystem:

77 b) im rotierenden Bezugssystem: 1) Zentrifugalkraft: (nur Rotation des Bezugssystems) für Beobachtung aus einem Inertialsystem wird die Masse mit der Zentripetalbeschleunigung v 2 /r zum Kreismittelpunkt beschleunigt. (Sonst würde sie sich tangential (geradlinig) von der Scheibe bewegen) Die Zentripetalbeschleunigung wird durch das Seil (Zugkraft) verursacht.

78 Beobachterin im rotierenden System muß eine Scheinkraft vom Betrag mv 2 /r einführen, um die Bewegung der Masse zu beschreiben; dies ist die Zentrifugalkraft oder Fliehkraft. 2) Rotation des Bezugssystems und lineare Bewegung Bewegt sich in einem rotierenden Bezugssystem ein Körper radial nach innen oder außen (lineare Bewegung), so ändert sich seine Bahngeschwindigkeit, er erfährt somit eine Tangential- beschleunigung a C, deren Ursache Coriosliskraft heißt.

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80 Zusammenfassung Kapitel 5 Bei Berührung zweier Körper können diese Reibungskräfte aufeinander ausüben. Haftreibung, Gleitreibung und Rollreibung wirken parallel zur Oberfläche der Körper und sind proportional zur Normalkraft. Haftreibungszahl > Gleitreibungszahl > Rollreibungszahl Bewegt sich ein Körper durch ein Fluid, erfährt er einen Strömungswiderstand proportional zu v n. Konstante Endgeschwindigkeit hängt von Fluid und von Form des Körpers ab. Bei Anwendung der Newton'schen Gesetze auf Probleme mit mehreren Körpern kann F = m a auf jeden Körper einzeln angewendet werden. Die Newton'schen Gesetze gelten nicht in beschleunigten Bezugssystemen. Sie lassen sich aber trotzdem anwenden, wenn man Scheinkräfte einführt, die von der Beschleunigung des Bezugs- systems abhängen.

81 6. Arbeit und Energie 6.1 Arbeit Physik: Arbeit wird an einem Körper verrichtet, wenn sich der Angriffspunkt der Kraft durch die Krafteinwirkung um eine bestimmten Strecke r fortbewegt. Arbeit = Kraft in Richtung des Weges x Weg (Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft) SI-Einheit: 1 J (Joule) = 1 Nm = 1 kg m 2 / s 2 Bei konstanter Kraft: Graphisch: Fläche unter Kraft-Weg-Kurve Veranschaulichung des Skalarprodukts:

82 6.2 Arbeit und kinetische Energie Tangentialkomponente F s = Senkrechte Komponente ändert Bewegungsrichtung, aber nicht Geschwindigkeit: Trägt nicht zur Arbeit bei Beispiel:Skifahrer fährt ohne Reibung einen Hang hinunter; Startposition Höhe h, Hanglänge s. Welche Arbeit wird verrichtet? Welche Endgeschwindigkeit erreicht er? Unabhängig vom Neigungswinkel und der Masse (gleiches gilt z.B. für eine Buckelpiste der Höhe h).

83 6.3 Die potentielle Energie Merkmale: - gespeicherte Arbeit (Möglichkeit, Arbeit zu verrichten) - läßt sich in Form von kinetischer Energie zurückgewinnen - potentielle Energie eines Systems erhöht sich, wenn äußere Arbeit am System verrichtet wird. oder für infinitesimale Verschiebungen : Für konservative Kräfte (z.B. Gravitation) gilt: Die Gesamtarbeit entlang einem beliebigen geschlossenen Weg ist gleich Null. Beispiel: Lageenergie (im Gravitationsfeld der Erde): Nahe der Erdoberfläche (g = konstant) y x 0 h E pot = m g h

84 Beispiel: Feder Zusammendrücken um Strecke x gegen Federkraft F = - k x (konservative Kraft) erfordert Kraft F = k x. 6.4 Potentielle Energie und Gleichgewicht F, s, E hängen vom Ort ab. Bestimmung der Kraft aus der potentiellen Energie: partielle Ableitungen Umkehr der Integralgleichung (Gradient Nabla-Operator) Gleichgewichtslagen: Minimum der potentiellen Energie Teilchen ist im Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft = 0 ist. - Stabiles Gleichgewicht:Rückstellkraft in Richtung der Gleichgewichtslage

85 Instabiles GleichgewichtIndifferentes Gleichgewicht 6.5 Erhaltung der mechanischen Energie Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie bezeichnet man als mechanische Gesamtenergie E. E = E kin + E pot = konstant Energieerhaltungssatz der Mechanik (gilt nur für konservative Kräfte, gleichzeitig deren Definition) Beispiele: Pendel, Federschwingung, Reflektion eines fallenden Balles

86 6.6 Der verallgemeinerte Energiesatz der Mechanik Erweiterung auf nichtkonservative Kräfte.: Die von einer nichtkonservativen (nK) Kraft (z.B. Reibung) an einem Teilchen verrichtet Arbeit entspricht der Änderung der mechanischen Gesamtenergie des Systems Makroskopische Welt: Fast immer nichtkonservative Kräfte. Energieerhaltungssatz dann: Die Zu- oder Abnahme der Energie eines Systems läßt sich immer durch das Auftreten oder Verschwinden von Energie gleich welcher Art an irgendeiner Stelle des Systems erklären. 6.7 Leistung Leistung ist Arbeit pro Zeit. Sie gibt an, wie schnell Energie von einem System auf das andere übertragen wird. SI-Einheit: 1 J/s = 1 W (1 Watt) Strom/Gasrechnung: Kilowattstunden;1 kWh = 10 3 W 3600 s = 3,6 MJ; alt: Pferdestärke: 1 PS = 735 W

87 Zusammenfassung Kapitel 6 Mechanik: Kinetische Energie: Potentielle Energie: Energieerhaltung: E ges = E kin + E pot = konstant (Konservative Kräfte) Nichtkonservative Kräfte (dissipative Kräfte): vernichten oder erzeugen Energie Gleichgewichtslagen: Ein Teilchen ist im Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft 0 ist. Leistung: Stabiles, instabiles, indifferentes Gleichgewicht


Herunterladen ppt "Vorlesung: 4stündig Mittwoch + Donnerstag 10.15 – 11.45 Uhr 1½ Stunden mit ca. 5 Minuten Pause gegen 11.00 Uhr Prof. Dr. Bruno Meyer Ergänzungsvorlesung:Freitags."

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