Mathematische Begriffsbildung in den Anfangssemestern

Präsentation zum Thema: "Mathematische Begriffsbildung in den Anfangssemestern"—  Präsentation transkript:

1 Mathematische Begriffsbildung in den Anfangssemestern
Karlheinz Spindler Hochschule RheinMain Hochschule RheinMain Kurt-Schumacher-Ring 18 Arbeitsgruppe Mathematik Wiesbaden

2 Nichttriviale Anwendungen erfordern nichttriviale Methoden.

3 Nichttriviale Anwendungen erfordern nichttriviale Methoden.

4 Betonung allgemeiner Strukturen
Mengen, Abbildungen, Relationen Äquivalenzrelationen, Quotientenbildung Ordnungsrelationen Symmetrie Dualität

5 Nicht zurückscheuen vor „unbequemen“ Begriffen!
Infimum und Supremum Stetigkeit Integrabilität Basiswechsel Mannigfaltigkeit

6 Formulierung von Begriffen in ihrer wesentlichen Bedeutung
lineare Abbildungen statt Matrizen quadratische Formen statt Matrizen Abbildungen auf einem Vektorraum statt Abbildungen in mehreren Variablen

7 Genauigkeit im Denken Situation: Wir haben einen Stapel Karten, von denen jede auf einer Seite einen Buchstaben und auf der anderen eine Zahl hat. Behauptung: Wenn eine Karte auf einer Seite ein E hat, dann hat sie auf der anderen Seite eine 2. Frage: Welche dieser vier Karten müssen wir umdrehen, um die Behauptung zu überprüfen? Hervorragendes Training: Sudokus

8 Genauigkeit im Denken Beispiel: Aus zwei rechteckigen und zwei dreieckigen Brettern soll ein Trog mit dem Volumen V=500 l bei minimalem Materialverbrauch gebildet werden. Wie sind die Abmessungen zu wählen?

9 Unterscheidung zwischen Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen
Genauigkeit im Denken Unterscheidung zwischen Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen Beispiele: Primfaktorzerlegung Klassifikation quadratischer Formen Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen Beispiele: Extremwertaufgaben Extrema unter Nebenbedingungen

10 Hinterfragen von Definitionen
Beispiel: Ableitungsbegriff in einer Variablen Beispiel: Ableitungsbegriff in mehreren Variablen

11 Die Antwort ist jeweils nein.

12 Stärkung des Bewußtseins, daß selbst elementare Sachverhalte das Potential für neue Fragestellungen bergen. Beispiel: schwacher Ableitungsbegriff Beispiel: Formel von Faà di Bruno Beispiel: Optimierung analytischer Funktionen

13 Produktregel: Leibnizregel: Kettenregel: Formel von Faà di Bruno:

14 Zbl Spindler, Karlheinz A short proof of the formula of Faà di Bruno. (English) [J] Elem. Math. 60, No. 1, (2005). ISSN ; ISSN The paper gives a remarkably simple proof to the Faà di Bruno formula, which expresses higher derivatives of a composite function. The paper points out that a proof for composition of polynomials is sufficient, and then shows that the result for composition of polynomials is an easy consequence of the multinomial theorem. [László A. Székely (Columbia)]

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16 Förderung der Fähigkeit
zur Modellbildung

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18 Modellbildung erfordert begriffliches Verständnis:
Ableitungen als Änderungsraten Integrale als Aggregate von Einzelgrößen Mannigfaltigkeiten als Zustandsräume Differentialformen als Flüsse Integralsätze als Ausdruck von Bilanzgleichungen Gruppen als Ausdruck von Systemsymmetrien

19 Interdisziplinarität
Analogien zwischen mathematischen und physikalischen Überlegungen (Bsp.: Kovarianzmatrix in der Statistik = Trägheitsmomententensor in der Mechanik)

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21 Vorbereitung späterer Begriffsbildungen
bereits zu einem frühen Zeitpunkt Beispiel: Einfach-/Mehrfachintegrale

22 Vorbereitung späterer Begriffsbildungen
bereits zu einem frühen Zeitpunkt Beispiel: Riemannsches/Lebesguesches Integral

23 Heuristische Vorbereitung
späterer Resultate Beispiel: Lebesguesches Integrabilitätskriterium Anwendung: Beweis:

24 Heuristische Vorbereitung
späterer Resultate Beispiel: Transformationsregel für Integrale Beispiel: äußere Ableitung einer Differentialform

25 Betonung struktureller Eigenschaft gegenüber Rechenrezepten

26 Gute und schlechte Definitionen (1)
So? Oder so?

27 Gute und schlechte Definitionen (2)
So? Oder so?

28 Alternative Interpretation
Bahngeschwindigkeit eines Schaufelrades in der Strömung Bahngeschwindigkeit eines Schaufelrades in der Strömung Rotation als Winkelgeschwindigkeit eines infinitesimalen Rades

29 Aussagekräftige Bilder
Beispiel: Funktionen in mehreren Variablen

30 Aussage- kräftige Bilder
Beispiel: Lagrange- Multiplikatoren

31 Benutzung verallgemeinerungsfähiger Definitionen
von vornherein Berücksichtigung vektorwertiger Funktionen Riemannsche Summen vs. Ober- und Untersummen koordinatenunabhängige Definitionen Angabe verschiedener Charakterisierungen eines Begriffs

32 Schlüsselrolle der Linearen Algebra
wesentlich für die mehrdimensionale Analysis grundlegend für die Funktionalanalysis (Übergang zu unendlichdimensionalen Räumen) grundlegend für die Differentialgeometrie (Übergang zu nichtlinearen Räumen)

33 Beispiel: Extrema unter Nebenbedingungen

34 Hinreichende Bedingungen für Extrema unter Nebenbedingungen (1)

35 Hinreichende Bedingungen für Extrema unter Nebenbedingungen (2)

36 Mehr Zeit! „Man sollte eigentlich ein nulltes Semester für die Mathematik einführen.“ Wieviel Zeit wird verplempert, weil Anwendungen gebracht werden, bevor die benötigten mathematischen Begriffe und Methoden bereitstehen?

37 Rückbesinnung auf Inhalte
Noch so viel didaktischer Firlefanz kann nicht fehlende inhaltliche Substanz ersetzen. Man muß von hinten her denken: die Studienziele bestimmen, was am Anfang zu tun ist. Wer ein 20stöckiges Hochhaus bauen will, darf nicht an den Fundamenten sparen. Die Mathematik sollte gegenüber anderen Fächern und der Hochschulpolitik selbstbewußter auftreten.