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2. Wellenoptik 2.1. Kohärenz Kohärenz Interferenzfähigkeit (fast) monochromatischer Lichtwellen Maß der Phasenkorrelation Quantenmechanik Energieunschärfe.

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1 2. Wellenoptik 2.1. Kohärenz Kohärenz Interferenzfähigkeit (fast) monochromatischer Lichtwellen Maß der Phasenkorrelation Quantenmechanik Energieunschärfe Photon, = 2 atomare Übergänge Emission von Licht-Wellenpaketen (Photonen) E 1 Energieniveaus der Hüllenelektronen Zeitliche (bzw. longitudinale) Kohärenz E E0E0 Grundzustand: Lebensdauer E1E1 angeregter Zustand: Lebensdauer e

2 Emittierter Wellenzug (fester Ort): Fourier- Transformation unendlich scharfe Frequenzlinie unendlich langer Wellenzug unendlich kurzer Lichtpuls unendlich breites Frequenzspektrum t0t0 Unschärferelation 0

3 Mathematische Fassung des Kohärenzmaßes: Korrelationsfunktion: 0 Strahl 1Strahl 2 Anschauliche Formulierung: In Kohärenzzeit t K laufen Strahlen 1, 2 in der relativen Phase um 2 auseinander weitgehende Phasenmischung des Wellenpakets. Die Kohärenzlänge l ist der Gangunterschied (Abstand phasen- gleicher Punkte) zwischen Strahlen 1, 2, der in Kohärenzzeit auftritt. Länge des kohärenten Wellenzuges

4 Beispiele: E E0E0 Grundzustand: E1E1 metastabiler Zust. e e Spontane EmissionInduzierte Emission CO 2 -Laser: 10,6 m, 10 5 nm l 11 km 1)Weißes Licht: nm 550 nm 2)Quecksilberdampflampe, grüne Spektrallinie: 546 nm 0,025 nm 3)Laser (Light Amplification by Stimulated Emittion of Radiation)

5 Räumliche (bzw. laterale) Kohärenz ausgedehnte Lichtquelle phasenkorreliert, longitudinal kohärent Überlagerte, verwaschene Interferenzmuster interferenzfähige Strahlen Kohärenzfläche Fläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung mit relativen Phasenmischungen bzgl. Interferenzpunkt. Kohärenzvolumen Volumen mit lateraler und longitudinaler Phasenmischung bzgl. Interferenzpunkt. reale Quelle Beispiel: Sonne Beteigeuze (Orion) Kohärenz- fläche Kohärenz- flächen ideale ebene Welle ideale Kugelwelle 4 r 2

6 Beispiel: P1P1 P2P2 l ausgedehnte Lichtquelle B A Völlige Ausschmierung des Interferenzbildes in P: B: 0 maximale Helligkeit in P A: Auslöschung in P r s Schirm P, d.h., wobei Interferometer Kohärenzbreite: Kohärenzfläche: Raumwinkel der Lichtquelle vom Interferometer aus gesehen

7 Erzeugung kohärenter Wellen a)Phasenstarre Sender: b)Strahlteilung: L1L1 L2L2 Inter- ferenz b)Virtuelle Mehrfachbilder einer Quelle: L

8 2.2. Interferenz Zweistrahlinterferenz Voraussetzung: Interferenz von Strahlen aus einem Kohärenzvolumen Interferenzbild: zeitliches Mittel Tafelrechnung

9 Folgerungen: a)Nur Anteile gleicher Polarisation interferieren; b) c) Bemerkung: Überlagerung inkohärenter Strahlen

10 y I(y) 4 I04 I0 Beispiel 1: Youngscher Doppelspalt 2 punktförmige kohärente Lichtquellen l, enger Spalt Punktquelle Doppelspalt, l Spaltbreiten 2 Punktquellen Schirm x y.

11 Einschub Phasensprünge bei Reflexion B :Brewster-Winkel B R B R B R E E,x E,z n1n1 n 2 n 1 reflektierter Teilstrahl Strahlebene transmittierter Teilstrahl x z

12 Einschub B :Brewster-Winkel C :kritischer Winkel (Totalreflexion) Phasensprünge bei Reflexion B R C E B R C E,z B R C E,x n1n1 n 2 n 1 reflektierter Teilstrahl Strahlebene transmittierter Teilstrahl x z

13 Beispiel 3: Der Lloyd-Spiegel Schirm l, y s l Spiegel Punktquelle Spiegelbild: virtuelle Punktquelle I(y) Doppelspalt Phasensprung bei Reflexion (streifender Einfall) Beispiel 2: Das Michelson-Interferometer Siehe Relativitätstheorie

14 Beispiel 4: Das Fresnelsche Biprisma y n O l d Basislänges l Einsetzen in Doppelspalt-Formel I(y)

15 I3I3 Beispiel 5: Planparallele Platte Linse A B C D I0I0 I1I1 I2I2 d n n0 = 1n0 = 1 n0 = 1n0 = 1 Fresnel-Formeln Intensitätsreflexionskoeffizienten oft 1 zu vernachlässigen Zweistrahlinterferenz Tafelrechnung Gangunterschied relativer Phasensprung der Reflexionen in A und B Maxima: m Minima: (2m+1) m

16 Beispiel 6: Newtonsche Ringe R Glasscheibe sphärische Linse, Diapositiv … r Licht, d d relativer Phasensprung Tafelrechnung Gangunterschied Maxima: Minima: r I Transmission komplementäres Muster Reflexion: I 2 I 1 = R I 0 starker Kontrast Transmission: I 2 R 2 I 1 I 1 schwacher Kontrast

17 Vielstrahlinterferenz Gut reflektierende Grenzschichten Mehrfachreflexionen relevant Beispiel 1: Planparallele Platte (verspiegelt), d.h. R nicht 1 B1B1 B2B2 B3B3 C3C3 C2C2 C1C1 n A3A3 A0A0 A1A1 A2A2 d n0 = 1n0 = 1 n0 = 1n0 = 1 A4A4 D3D3 D2D2 D1D Beispiel 5 Gangunterschied benachbarter Strahlen ohne Phasensprünge Amplitudenbeträge: k

18 B1B1 B2B2 B3B3 C3C3 C2C2 C1C1 n A3A3 A0A0 A1A1 A2A2 d n0 = 1n0 = 1 n0 = 1n0 = 1 A4A4 D3D3 D2D2 D1D1 Phasensprünge: A 2 A 3 A 4 : je zusätzlich 2 identische Reflexionen R 0 Polarisation :A 0 A 1 : R A 0 A 2 : R 0 Polarisation und B : A 0 A 1 : R 0 / A 0 A 2 : R / 0 Polarisation und B : A 0 A 1 : R / 0A 0 A 2 : R 0 / Generelles Resultat: A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 R R 0

19 B1B1 B2B2 B3B3 C3C3 C2C2 C1C1 n A3A3 A0A0 A1A1 A2A2 d n0 = 1n0 = 1 n0 = 1n0 = 1 A4A4 D3D3 D2D2 D1D1 Tafelrechung Reflektierte Gesamtintensität: Airy-Formelnmit R 0R 1

20 Airy-Formeln 2m R 0.1 R 0.5 R 0.9 Halbwertsbreite der Transmissionsfenster:

21 Variante: Fabry-Perot-Interferometer (FPI) höchstauflösende Spektroskopie ( -Messung) d Quarz Antireflex-Beschichtung (Vergütung) 50 nm Ag-Schicht (aufgedampft) wie planparallele Platte mit n 1 (Luft-Platte)

22 Frequenzmessung bei punktförmiger Quelle: n d L1L1 L2L2 Quelle Detektor Transmissions-Maxima: Frequenzabstand zweier Maxima: (freier Spektralbereich) Halbwertsbreiten der Maxima: Frequenzauflösung: Finesse: Anschauliche Bedeutung: Zahl der interferierenden Teilwellen

23 Frequenzmessung bei ausgedehnter Quelle: FPI d L 1, f 1 L 2, f 2 Quelle Detektor f1f1 f2f2 Transmissions-Maxima: konzentrische Ringe mit Radius f 2 tan m (bei festem ) in Detektorebene DmDm

24 DmDm Ringnummerierung von innen: mit Exzess: 01234

25 Beispiel 2: Dielektrische Spiegel Metallspiegel starke Absorption von e.m.-Wellen in Metallen typische Werte: R 0,90 0,95 Dielektrische Spiegel: R 0,99995 erreichbar (für feste ) 1 m Glassubstrat n3n3 n1n1 n2n aufgedampfte Schichten, alternierende Brechungsindizes Schichtdicken Computer- optimiert für Wellenlänge reflektierte Strahlen kohärent und konstruktiv interferierend (nicht absorbierend)

26 Beispiel 3: Vergütung (Antireflexschicht) Ziel: Beseitigung von Reflexen bei Brillen, Objektiven, Elementen in komplexen optischen Aufbauten (Laborexperimente) Methode: Inverser dielektrischer Spiegel Vielschichtvergütung Reflexbeseitigung in breitem -Bereich (z.B. sichbares Licht) Einfachster Fall: Einschichtvergütung für feste Wellenlänge Glas n 2 n 1 n1n1 Auslöschung Verifikation Übung

27 2.3. Beugung Kirchhoffsche Beugungstheorie Voraussetzung: Interferenz von Strahlen aus einem Kohärenzvolumen z x y Blende bei z 0 S P Sender Empfänger D d Einlaufende Amplitude für eine Punktquelle Auslaufende Amplitude ( Überlagerung von Kugelwellen) (x,y) Durchlässigkeit der Blende; oft 1 Skalare Theorie ohne Polarisations- effekte

28 Einfallende ebene Welle ( unendlich weit entfernte Punktquelle): P z x y z 0 d Wellenfront Spezialfall: Senkrecht einfallende ebene Welle

29 Fraunhofer-Beugung: Quelle & Empfänger im Unendlichen mathematisch präzise: D Abstand Quelle / Blende d Abstand Blende / Detektor max. Blendendurchmesser Wellenlänge des Lichts Experimentelle Realisierung: L2L2 L1L1 Schirm / Detektor Quelle Blende Taylorentwicklung: Oft ist 0, 1

30 Fresnel-Beugung: Quelle oder Empfänger nahe an der Blende mathematisch: experimentell erzeugbar ohne Linsen b) Nahzone Quelle: zSzS Blende Beugungsbild im Unendlichen D Abstand Quelle / Blende d Abstand Blende / Detektor max. Blendendurchmesser Wellenlänge des Lichts a) Nahzone Bild: ebene Welle zPzP BlendeSchirm Beugungsbild

31 Beugung am Spalt ( Fraunhofer-Grenzfall ) a) unendlich ausgedehnt in y 1-dimensionales Problem b b x 1 x keine Ablenkung in y-Richtung Tafelrechnung mit I u 2 2 u Breite: b klein breites Beugungsbild b geometr. Optik, I(u) (u)

32 b) Rechteckspalt bxbx mit byby analoges Resultat in zwei Dimensionen

33 Fraunhoferbeugung an Dreiecksblende b c)

34 d) Lochblende Tafelrechnung mit x y R drehsymmetrisches Beugungsbild o.B.d.A. y, x 0 Besselfunktionen: Winkelfunktionen (sin, cos) für Polarkoordinaten ( n, u \],0] ) ( n \{ 1, 2, } ) asymptotisch ( u ):

35 J0J0 J1J1 J2J2 J3J3 J4J4 u Die ersten Besselfunktionen

36 mit I u u1u1 u2u2 u3u3 I0I0 u Breite des Hauptmaximums:

37 Beugung am Gitter ( Fraunhofer-Grenzfall ) Tafelrechnung mit b d N Spalte b x 1 x 0 d Beugung am Einzelspalt N-Strahl-Interferenz der N Einzelspalte (analog Fabry-Perot)

38 a) b 0: Reine N-Strahl-Interferenz N 2 Neben- maxima Ordnung der Hauptmaxima

39 b) b 0: Interferenz der Beugungswellen der N Spalte Modulationsfunktion Beugungsmuster des Einzelspalts

40 Linientrennung ( Auflösungsvermögen für Wellenlängenmessung ) Trennung benachbarter Hauptmaxima: Breite eines Hauptmaximums:

41 Die Fresnelsche Zonenplatte Fresnelbeugung quantitativ blinde Numerik per Computer hier: semiquantitative Betrachtung physikalisches Verständnis Definition: Die n-te Fresnel-Zone ist der Ring mit n 1 n (wobei 0 0), für den die Strahlen von S gerade einen maximalen Gangunterschied von 2 besitzen. oder kurz: zSP 0Rr n n n

42 zSP 0Rr n n n S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 Fläche der n-ten Zone: konstant ( unabhängig von n )

43 S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 n 1 z SP 0Rr

44 S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 n 1 z SP 0Rr E 1 alternierende Amplituden mit n langsam abnehmende Beträge

45 S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 N Grenzwert Folgerungen: Volle Apertur: Lochblende S 1 : Lochblende S 1 S 2 : Abdeckung S 1 : Poisson-Fleck

46 S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 Fresnelsche Zonenplatte: Abdeckung von S 2, S 4, S 6, konstruktive Interferenz der offenen Zonen, R Brennweite f r wobei Hauptbrennpunkt: Wichtige Anwendung: Röntgenlinsen N Grenzwert

47 Zonenplatte aus Germanium Röntgenlinse Zentrum Randbereich äußere Ringe 30 nm breit

48 Das Babinetsche Prinzip Zwei komplementäre Blendenöffnun- gen erzeugen identische Beugungsbil- der in allen Raumbereichen, die vom einfallenden Licht bei Abwesenheit der Blenden nicht beleuchtet werden. Lichtwelle P Beweis: Superpositionsprinzip q.e.d. P Blende P komplementäre Blende

49 P2P Räumliches Auflösungsvermögen P1P1 S1S1 S2S2 2 Quellpunkte Bildebene H1H1 H2H2 optisches System G g I Rayleigh-Kriterium: S 1 und S 2 heißen gerade noch auflösbar, wenn das Hauptmaximum des Beugunsscheibchens von S 1 im ersten Minimum des Beugungsscheibchens von S 2 liegt. I Winkelauflösung: Ortsauflösung: Gute Auflösung erfordert kleine Wellenlänge und große Aperturöffnung Aperturblende ( Eingangspupille ) D

50 Beispiel: Das Fernrohr D Objektivlinse Okularlinse Filter Stern 2 Stern 1 Beispiel: Das Auge Pupille: D 1 8 mm Linse: f 24 mm 0,4 0,7 m Beugungsscheibchen: ( Lichtrezeptoren (Stäbchen) haben tatsächlich etwa diesen Abstand voneinander ) Deutliche Sehweite:

51 Beispiel: Das Mikroskop Numerische Apertur Lichtstärke des Objektivs Faustregel: Prinzipielle Grenze der Auflösung bei ½ S1S1 S2S2 G g f Objektivlinse, f D Immersionsöl, n Zwischenbildebene b t Tubuslänge Okular (Lupe) Objektebene 0

52 Abbesche Theorie der Abbildung Wann sind die Doppelspalte noch als zwei Spalte auflösbar? Bildebene S1S1 S2S2 Doppelspalt d g Aperturblende D P2P2 P1P1 H1H1 H2H2 optisches System 0. Ordnung 1. Ordnung 1. Fall: Aperturblende lässt nur 0. Beugungsordnung durch heller, strukturloser Fleck kein Interferenzmuster d nicht messbar. 2. Fall: Aperturblende lässt mindestens auch 1. Beugungsordnung durch charakteristisches Interferenzmuster d messbar.

53 Anwendung der Abbe-Theorie auf Scheibchen des Durchmessers G min : identisch mit Rayleigh-Kriterium! 1. Ordnung 0. Ordnung 1. Ordnung G min

54 2.4. Instrumente und Methoden Spektrographen Messung von I( ) a)Interferometer: -abängige Transmission (z.B. Fabri-Perot-Interferometer) a)Spektrograph: räumliche Trennung verschiedener Wellenlängen z.B. Prismenspektrograph: -abhängige Brechung z.B. Gitterspektrograph: -abhängige Beugung c)Monochromator: Spektrograph mit Selektionsspalt Begriffe: sehr viele Typen und Varianten

55 Prinzip des Prismenspektrographen: Geometrische Optik VL (symmetrischer Strahlengang) 1 2 x f n Licht- quelle Spalt Basislänge des ausgeleuchteten Prismas b 1 Schirm / Detektor x

56 Prinzip des Gitterspektrographen ( hier: Strichgitter ): Licht- quelle Spalt Gitter Strichabstand d f x m Hauptmaximum, m-te Beugungsordnung Schirm / Detektor 1 2 x m Kap

57 Spektrales Auflösungsvermögen Problem: Für welches sind die Bilder der Wellenlängen 0 und gerade noch trennbar? Verwende Rayleigh-Kriterium! I Bild für 0 Bild für Der maximale optische Gang- unterschied L interferierender Strahlen ist im ersten Minimum gegenüber dem Hauptmaximum um eine Einheit in der Wellen- länge verschoben. Eintrittspupille ( Strahlbreite ) Hauptmaximum L 0 erstes Minimum L L 0 Beugungsbild D D Beugung an Eintrittspupille D

58 Der maximale optische Gangunterschied L interferierender Strahlen ist im ersten Minimum gegenüber dem Hauptmaximum um eine Einheit in der Wellenlänge verschoben Folgerung: Beachte: Spektrales Auflösungsvermögen: I Bild für 0 Bild für

59 Spektrales Auflösungsvermögen: Beispiel: Prismenspektrograph n b Strahlengang der geometrischen Optik bei Wellenlänge 0 Hauptmaximum 2 Fermatsches Prinzip L 0 L 2 0 Wege (1,2) im Prisma nicht gemäß geometrischer Optik (Beugung) Spektrales Auflösungsvermögen des Prismenspektrographen:

60 Beispiel: Gitterspektrograph Gitter mit N Strichspalten, Strichabstand d Strahlengang der geom. Optik ( L 0 ) m-tes Beugungs- Maximum des Gitters bei 0 N d m. m L Ablenkungsrichtung m fest Spektrales Auflösungsvermögen des Gitterspektrographen mit N ausge- leuchteten Spalten in Beugungsordnung m Spektrales Auflösungsvermögen:

61 Holographie Foto: inkohärente Lichtquelle Objekt ( Motiv ) Streu-/ Reflexionslicht Objektiv -Linse Fotoplatte / Film / Netzhaut in (x,y)-Ebene I(x,y) Schwärzung des Negativs Erregung der Lichtrezeptoren Ein Foto stellt eine zweidimensionale Projektion des Objekts dar. Die dreidimensionale Information ist verloren. ( Auswege: Stereoskopische Fotographie; belebte Natur: Beobachtung durch mindestens zwei Augen )

62 Hologramm: Objekt Streu-/ Reflexionslicht Fotoplatte in (x,y)-Ebene Ein Hologramm stellt eine dreidimensionale abstrakte Codierung des Objekts dar. Die dreidimensionale Information ist in dem Interferenzmuster von Referenz- und Objektwelle verborgen. Das Bild ist keine optische Abbildung. kohärente Lichtquelle ( Laser ) Strahlteiler x y z Referenz- Welle I(x,y, ) Schwärzung Objektwelle ( eine harmonische Komponente ) Erfassung der dritten Dimension: relative Phase zwischen Referenz- und Objektwelle

63 x y z Referenz -Welle I(x,y, ) Objektwelle Referenzwelle: Objektwelle: Nomenklatur: Schwärzungsgrad der Fotoplatte Energiestromdichte I(x,y): Interferenzterm Entfernungsinformation dritte Dimension

64 Beispiel: Hologramm eines ebenen Spiegels Das Hologramm eines ebenen Spiegels ist ein Sinus-förmiges Beugungsgitter. Technische Anwendung Fotoplatte in (x,y)-Ebene kohärente Lichtquelle (Laser) Strahlteiler x y z Referenz- Welle Objektwelle (ebene Welle) Spiegel I d

65 Beispiel: Hologramm einer Punktquelle Das Hologramm einer Punktquelle ist ein,,Sinus-förmige Fresnel-Zonenplatte. Technische Anwendung Symmetrie Interferenzbild = f( ) I transparenter Film in (x,y)-Ebene Lochblende Punktquelle Referenzstrahl vom Strahlteiler Referenzstrahl d Fresnel-Zonen

66 Bemerkungen: Jeder Punkt des Hologramms enthält Informationen von dem gesamten, von diesem Punkt sichtbaren Teil des Objekts Größere Fotoplatte mehr,,Rundum-Information Größere Fotoplatte mehr,,Speicherfläche pro Objektpunkt höhere Auflösung Intensität der Objektwelle ist unkritisch: Beispiel: Kontrast des Interferenzbildes:

67 Rekonstruktion eines dreidimensionalen Bildes von einem Hologramm: Laser Rekonstruktions -Welle 0. Beugungs- Ordnung Hologramm in (x,y)-Ebene Transmission T(x,y) Rekonstruktionswelle: Transmission: Schwärzungskoeffizient Transmission des unbelichteten Films

68 1. Beugungs-Ordnung reelles Bild 1. Beugungs-Ordnung virtuelles Bild Laser Rekonstruktions- Welle 0. Beugungs- Ordnung Hologramm in (x,y)-Ebene Transmission T(x,y) Transmissionswelle: durchlaufende Referenzwelle virtuelles Bild (a) reelles Bild (b) (a) Objektwelle in Richtung virtuelles Bild (b) zeitlich rückwärts laufende Objektwelle in Richtung reelles Bild


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