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Veröffentlicht von:Hunbeorht Schnapp Geändert vor über 10 Jahren
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Energieniveaus der Hüllenelektronen
2. Wellenoptik 2.1. Kohärenz Kohärenz Interferenzfähigkeit (fast) monochromatischer Lichtwellen Maß der Phasenkorrelation Energieniveaus der Hüllenelektronen Zeitliche (bzw. longitudinale) Kohärenz E E0 Grundzustand: Lebensdauer E1 angeregter Zustand: Lebensdauer e atomare Übergänge Emission von Licht-Wellenpaketen (Photonen) E1 Photon, = 2 Quantenmechanik Energieunschärfe
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Emittierter Wellenzug (fester Ort): Fourier- Transformation t0
Unschärferelation 0 unendlich scharfe Frequenzlinie unendlich langer Wellenzug unendlich kurzer Lichtpuls unendlich breites Frequenzspektrum
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Mathematische Fassung des Kohärenzmaßes:
0 Strahl 1 Strahl 2 Korrelationsfunktion: Anschauliche Formulierung: In Kohärenzzeit tK laufen Strahlen 1, 2 in der relativen Phase um 2 auseinander weitgehende Phasenmischung des Wellenpakets. Die Kohärenzlänge l ist der Gangunterschied (Abstand phasen-gleicher Punkte) zwischen Strahlen 1, 2, der in Kohärenzzeit auftritt. Länge des kohärenten Wellenzuges
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e Beispiele: Weißes Licht: 400 700 nm 550 nm
Quecksilberdampflampe, grüne Spektrallinie: 546 nm 0,025 nm Laser (Light Amplification by Stimulated Emittion of Radiation) E E0 Grundzustand: E1 metastabiler Zust. e Spontane Emission Induzierte Emission CO2-Laser: 10,6 m, 105 nm l 11 km
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2.1.2. Räumliche (bzw. laterale) Kohärenz
phasenkorreliert, longitudinal kohärent interferenzfähige Strahlen Überlagerte, verwaschene Interferenzmuster ausgedehnte Lichtquelle interferenzfähige Strahlen Kohärenzfläche Fläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung mit relativen Phasenmischungen bzgl. Interferenzpunkt. Kohärenzvolumen Volumen mit lateraler und longitudinaler Phasenmischung bzgl. Interferenzpunkt. Kohärenz-flächen ideale ebene Welle ideale Kugelwelle 4 r2 reale Quelle Beispiel: Sonne Beteigeuze (Orion) Kohärenz-fläche
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ausgedehnte Lichtquelle
Beispiel: r Interferometer P1 A s l B P ausgedehnte Lichtquelle P2 Schirm Völlige Ausschmierung des Interferenzbildes in P: B: 0 maximale Helligkeit in P , wobei A: Auslöschung in P , d.h. Kohärenzbreite: Kohärenzfläche: Raumwinkel der Lichtquelle vom Interferometer aus gesehen
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2.1.3. Erzeugung kohärenter Wellen L1 L L2 Phasenstarre Sender:
Strahlteilung: Virtuelle Mehrfachbilder einer Quelle: L L1 Inter-ferenz L2
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2.2.1. Zweistrahlinterferenz
Voraussetzung: Interferenz von Strahlen aus einem Kohärenzvolumen Zweistrahlinterferenz Interferenzbild: zeitliches Mittel Tafelrechnung
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Folgerungen: Nur Anteile gleicher Polarisation interferieren; Bemerkung: Überlagerung inkohärenter Strahlen
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Beispiel 1: Youngscher Doppelspalt 2 punktförmige kohärente Lichtquellen l , enger Spalt Punktquelle Doppelspalt, l ≫ Spaltbreiten 2 Punktquellen Schirm x y . y I(y) 4 I0
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Einschub x z Phasensprünge bei Reflexion n1 n2 n1
reflektierter Teilstrahl Strahlebene transmittierter Teilstrahl x z B: Brewster-Winkel 0 90 B R E,x Einschub 0 90 B R 0 90 B R E,z E
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Einschub x z Phasensprünge bei Reflexion n1 n2 n1
reflektierter Teilstrahl Strahlebene transmittierter Teilstrahl x z B: Brewster-Winkel C: kritischer Winkel (Totalreflexion) 0 90 B R C E,x Einschub 0 90 B R C E,z 0 90 B R C E
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Beispiel 2: Das Michelson-Interferometer Siehe Relativitätstheorie
Beispiel 3: Der Lloyd-Spiegel I(y) Schirm l , y s ≫ l Spiegel Punktquelle Spiegelbild: virtuelle Punktquelle Doppelspalt Phasensprung bei Reflexion (streifender Einfall)
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Einsetzen in Doppelspalt-Formel
Beispiel 4: Das Fresnelsche Biprisma I(y) y n O l d ≫ Basislänge s ≫ l Einsetzen in Doppelspalt-Formel
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I0 I1 I2 D d n I3 A C B Beispiel 5: Planparallele Platte
Fresnel-Formeln Intensitätsreflexionskoeffizienten oft ≪ 1 Linse I2 D d n n0 = 1 I3 A C B zu vernachlässigen Zweistrahlinterferenz Tafelrechnung Gangunterschied relativer Phasensprung der Reflexionen in A und B Maxima: m Minima: (2m+1) m ℤ
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R d r Licht, Beispiel 6: Newtonsche Ringe ① ②
sphärische Linse, Diapositiv … R d relativer Phasensprung d Glasscheibe r Tafelrechnung Gangunterschied Maxima: Minima: r I Transmission komplementäres Muster Reflexion: I2 I1 = R I0 starker Kontrast Transmission: I2 R2 I1 I1 schwacher Kontrast
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Gangunterschied benachbarter Strahlen ohne Phasensprünge
Vielstrahlinterferenz Gut reflektierende Grenzschichten Mehrfachreflexionen relevant Beispiel 1: Planparallele Platte (verspiegelt), d.h. R nicht ≪ 1 B1 B2 B3 C3 C2 C1 n A3 A0 A1 A2 d n0 = 1 A4 D3 D2 D1 Beispiel 5 Gangunterschied benachbarter Strahlen ohne Phasensprünge Amplitudenbeträge: k ℕ
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B1 B2 B3 C3 C2 C1 n A3 A0 A1 A2 d A4 D3 D2 D1 Phasensprünge:
A2A3A4: je zusätzlich 2 identische Reflexionen R 0 Polarisation : A0A1: R A0A2: R 0 Polarisation und B: A0A1: R 0 / A0A2: R / 0 Polarisation und B: A0A1: R / 0 A0A2: R 0 / Generelles Resultat: A A A A A5 R R 0
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Tafelrechung Reflektierte Gesamtintensität:
B1 B2 B3 C3 C2 C1 n A3 A0 A1 A2 d n0 = 1 A4 D3 D2 D1 Airy-Formeln mit R 0 R 1
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Airy-Formeln R 0.1 R 0.5 R 0.9
Halbwertsbreite der Transmissionsfenster:
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Variante: Fabry-Perot-Interferometer (FPI)
höchstauflösende Spektroskopie (-Messung) d Quarz Antireflex-Beschichtung (Vergütung) 50 nm Ag-Schicht (aufgedampft) wie planparallele Platte mit n 1 („Luft-Platte“)
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(freier Spektralbereich)
Frequenzmessung bei punktförmiger Quelle: n d L1 L2 Quelle Detektor Transmissions-Maxima: Frequenzabstand zweier Maxima: (freier Spektralbereich) Halbwertsbreiten der Maxima: Frequenzauflösung: Finesse: Anschauliche Bedeutung: Zahl der interferierenden Teilwellen
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FPI d L1, f1 L2, f2 f1 f2 Frequenzmessung bei ausgedehnter Quelle:
Detektor f1 f2 Transmissions-Maxima: konzentrische Ringe mit Radius f2 tan m (bei festem ) in Detektorebene Dm
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Dm Ringnummerierung von innen: mit Exzess: 1 2 3 4
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n1 n2 n3 Beispiel 2: Dielektrische Spiegel
Metallspiegel starke Absorption von e.m.-Wellen in Metallen typische Werte: R 0,90 0,95 Dielektrische Spiegel: R 0,99995 erreichbar (für feste ) 1m Glassubstrat ≫ n3 n1 n2 1520 aufgedampfte Schichten, alternierende Brechungsindizes Schichtdicken Computer-optimiert für Wellenlänge reflektierte Strahlen kohärent und konstruktiv interferierend (nicht absorbierend)
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Beispiel 3: Vergütung (Antireflexschicht)
Ziel: Beseitigung von Reflexen bei Brillen, Objektiven, Elementen in komplexen optischen Aufbauten (Laborexperimente) Methode: „Inverser“ dielektrischer Spiegel Vielschichtvergütung Reflexbeseitigung in breitem -Bereich (z.B. sichbares Licht) Einfachster Fall: Einschichtvergütung für feste Wellenlänge Glas n2 n1 n1 Auslöschung Verifikation Übung
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2.3. Beugung Voraussetzung: Interferenz von Strahlen aus einem Kohärenzvolumen Skalare Theorie ohne Polarisations- effekte Kirchhoffsche Beugungstheorie z x y Blende bei z 0 S P Sender Empfänger D d Auslaufende Amplitude ( Überlagerung von Kugelwellen) (x,y) Durchlässigkeit der Blende; oft 1 Einlaufende Amplitude für eine Punktquelle
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Einfallende ebene Welle ( unendlich weit entfernte Punktquelle):
z x y z 0 d P Wellenfront Spezialfall: Senkrecht einfallende ebene Welle
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Fraunhofer-Beugung: Quelle & Empfänger im Unendlichen
mathematisch präzise: D Abstand Quelle / Blende d Abstand Blende / Detektor max. Blendendurchmesser Wellenlänge des Lichts Experimentelle Realisierung: L2 L1 Schirm / Detektor Quelle Blende Taylorentwicklung: Oft ist 0, ≪ 1
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zP zS Fresnel-Beugung: Quelle oder Empfänger nahe an der Blende
mathematisch: D Abstand Quelle / Blende d Abstand Blende / Detektor max. Blendendurchmesser Wellenlänge des Lichts experimentell erzeugbar ohne Linsen a) Nahzone Bild: ebene Welle zP Blende Schirm Beugungsbild b) Nahzone Quelle: zS Blende Beugungsbild im Unendlichen
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keine Ablenkung in y-Richtung
Beugung am Spalt ( Fraunhofer-Grenzfall ) b a) unendlich ausgedehnt in y 1-dimensionales Problem b x ≪ 1 x keine Ablenkung in y-Richtung Tafelrechnung mit I u 2 2 u Breite: b klein breites Beugungsbild b ≫ geometr. Optik, I(u) (u)
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b) Rechteckspalt by analoges Resultat in zwei Dimensionen bx mit
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Fraunhoferbeugung an Dreiecksblende
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d) Lochblende drehsymmetrisches Beugungsbild o.B.d.A. y , x 0 x y R Tafelrechnung mit Besselfunktionen: „Winkelfunktionen” (sin, cos) für Polarkoordinaten ( nℤ, uℂ\],0] ) ( nℝ\{1,2,} ) asymptotisch ( u ):
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Die ersten Besselfunktionen
J0 J1 J2 J3 J4 u Die ersten Besselfunktionen
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I u u1 u2 u3 I0 mit Breite des Hauptmaximums: u
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2.3.3. Beugung am Gitter ( Fraunhofer-Grenzfall )
d N Spalte Tafelrechnung b x ≪ 1 x d Beugung am Einzelspalt N-Strahl-Interferenz der N Einzelspalte (analog Fabry-Perot) mit
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Ordnung der Hauptmaxima
a) b 0: Reine N-Strahl-Interferenz Ordnung der Hauptmaxima N 2 Neben-maxima 2 1 1 2
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Modulationsfunktion Beugungsmuster des Einzelspalts
b) b 0: Interferenz der Beugungswellen der N Spalte Modulationsfunktion Beugungsmuster des Einzelspalts
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Linientrennung ( Auflösungsvermögen für Wellenlängenmessung )
Trennung benachbarter Hauptmaxima: Breite eines Hauptmaximums:
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2.3.4. Die Fresnelsche Zonenplatte
Fresnelbeugung quantitativ blinde Numerik per Computer hier: semiquantitative Betrachtung physikalisches Verständnis z S P R r n n n Definition: Die n-te Fresnel-Zone ist der Ring mit n1 n (wobei 0 0), für den die Strahlen von S gerade einen maximalen Gangunterschied von 2 besitzen. oder kurz:
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konstant ( unabhängig von n )
z S P R r n n n S1 S2 S3 S4 Fläche der n-ten Zone: konstant ( unabhängig von n )
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S1 S2 S3 S4 n1 n1 n1 z S P R r
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E1 n1 n1 n1 z S P R r alternierende Amplituden
R r E1 alternierende Amplituden mit n langsam abnehmende Beträge
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Abdeckung S1: Poisson-Fleck
2 3 4 5 6 7 8 9 Grenzwert Folgerungen: Volle Apertur: Lochblende S1: Lochblende S1 S2: Abdeckung S1: Poisson-Fleck
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Wichtige Anwendung: Röntgenlinsen
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Grenzwert Fresnelsche Zonenplatte: Abdeckung von S2, S4, S6, konstruktive Interferenz der offenen Zonen, R Brennweite f r wobei Hauptbrennpunkt: Wichtige Anwendung: Röntgenlinsen
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Zonenplatte aus Germanium Röntgenlinse
Randbereich äußere Ringe 30 nm breit Zentrum
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2.3.5. Das Babinetsche Prinzip
Blende Zwei komplementäre Blendenöffnun-gen erzeugen identische Beugungsbil-der in allen Raumbereichen, die vom einfallenden Licht bei Abwesenheit der Blenden nicht beleuchtet werden. P komplementäre Blende Lichtwelle P Beweis: Superpositionsprinzip q.e.d.
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3.3.6. Räumliches Auflösungsvermögen
optisches System I g P2 Aperturblende ( Eingangspupille ) D S1 P1 G S2 2 Quellpunkte H1 H2 Bildebene Rayleigh-Kriterium: S1 und S2 heißen gerade noch auflösbar, wenn das Hauptmaximum des Beugunsscheibchens von S1 im ersten Minimum des Beugungsscheibchens von S2 liegt. I Winkelauflösung: Ortsauflösung: Gute Auflösung erfordert kleine Wellenlänge und große Aperturöffnung
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Beispiel: Das Fernrohr
Stern 1 D Okularlinse Filter Stern 2 Objektivlinse Beispiel: Das Auge Pupille: D 1 8 mm Linse: f 24 mm 0,4 0,7 m Beugungsscheibchen: ( Lichtrezeptoren (Stäbchen) haben tatsächlich etwa diesen Abstand voneinander ) Deutliche Sehweite:
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Lichtstärke des Objektivs
Beispiel: Das Mikroskop S1 S2 G g f Objektivlinse, f D Immersionsöl, n Zwischenbildebene b t Tubuslänge Okular (Lupe) Objektebene 0 Numerische Apertur Lichtstärke des Objektivs Faustregel: Prinzipielle Grenze der Auflösung bei ½
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2.3.7. Abbesche Theorie der Abbildung
Bildebene S1 S2 Doppelspalt d g Aperturblende D P2 P1 H1 H2 optisches System 0. Ordnung 1. Ordnung 1. Ordnung Wann sind die Doppelspalte noch als zwei Spalte auflösbar? 1. Fall: Aperturblende lässt nur 0. Beugungsordnung durch heller, strukturloser Fleck kein Interferenzmuster d nicht messbar. 2. Fall: Aperturblende lässt mindestens auch 1. Beugungsordnung durch charakteristisches Interferenzmuster d messbar.
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identisch mit Rayleigh-Kriterium!
Anwendung der Abbe-Theorie auf Scheibchen des Durchmessers Gmin: 1. Ordnung 0. Ordnung 1. Ordnung Gmin identisch mit Rayleigh-Kriterium!
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2.4. Instrumente und Methoden
Spektrographen Messung von I() Begriffe: Interferometer: -abängige Transmission (z.B. Fabri-Perot-Interferometer) Spektrograph: räumliche Trennung verschiedener Wellenlängen z.B. Prismenspektrograph: -abhängige Brechung z.B. Gitterspektrograph: -abhängige Beugung Monochromator: Spektrograph mit Selektionsspalt sehr viele Typen und Varianten
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1 x n b f Prinzip des Prismenspektrographen: 1 2 x
Licht-quelle Spalt Basislänge des ausgeleuchteten Prismas b 1 Schirm / Detektor x Geometrische Optik VL (symmetrischer Strahlengang)
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Prinzip des Gitterspektrographen ( hier: Strichgitter ):
Licht-quelle Spalt Gitter Strichabstand d f x m Hauptmaximum, m-te Beugungsordnung Schirm / Detektor 1 2 xm Kap
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Eintrittspupille ( Strahlbreite )
Spektrales Auflösungsvermögen Problem: Für welches sind die Bilder der Wellenlängen 0 und gerade noch trennbar? Verwende Rayleigh-Kriterium! I Bild für 0 Beugungsbild D Beugung an Eintrittspupille D Bild für Der maximale optische Gang-unterschied L interferierender Strahlen ist im ersten Minimum gegenüber dem Hauptmaximum um eine Einheit in der Wellen-länge verschoben. Eintrittspupille ( Strahlbreite ) Hauptmaximum L0 erstes Minimum L L0
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Spektrales Auflösungsvermögen:
I Bild für 0 Der maximale optische Gangunterschied L interferierender Strahlen ist im ersten Minimum gegenüber dem Hauptmaximum um eine Einheit in der Wellenlänge verschoben Bild für Folgerung: Beachte: Spektrales Auflösungsvermögen:
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n b Spektrales Auflösungsvermögen: Beispiel: Prismenspektrograph
Strahlengang der geometrischen Optik bei Wellenlänge 0 Hauptmaximum 2 Fermatsches Prinzip L0 L20 Wege (1,2) im Prisma nicht gemäß geometrischer Optik (Beugung) Spektrales Auflösungsvermögen des Prismenspektrographen:
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. Spektrales Auflösungsvermögen:
Gitter mit N Strichspalten, Strichabstand d Strahlengang der geom. Optik ( L 0 ) m-tes Beugungs-Maximum des Gitters bei 0 Nd m . L Beispiel: Gitterspektrograph Ablenkungsrichtung m fest Spektrales Auflösungsvermögen des Gitterspektrographen mit N ausge-leuchteten Spalten in Beugungsordnung m
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2.4.3. Holographie Objekt ( Motiv ) Foto: Streu-/ Reflexionslicht
inkohärente Lichtquelle Objektiv-Linse Fotoplatte / Film / Netzhaut in (x,y)-Ebene I(x,y) Schwärzung des Negativs Erregung der Lichtrezeptoren Ein Foto stellt eine zweidimensionale Projektion des Objekts dar. Die dreidimensionale Information ist verloren ( Auswege: Stereoskopische Fotographie; belebte Natur: Beobachtung durch mindestens zwei Augen )
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Streu-/ Reflexionslicht kohärente Lichtquelle ( Laser )
Hologramm: Strahlteiler Objekt Streu-/ Reflexionslicht kohärente Lichtquelle ( Laser ) Referenz-Welle Objektwelle ( eine harmonische Komponente ) x y z Erfassung der dritten Dimension: relative Phase zwischen Referenz- und Objektwelle I(x,y,) Schwärzung Fotoplatte in (x,y)-Ebene Ein Hologramm stellt eine dreidimensionale abstrakte Codierung des Objekts dar. Die dreidimensionale Information ist in dem Interferenzmuster von Referenz- und Objektwelle verborgen Das Bild ist keine optische Abbildung.
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Entfernungsinformation dritte Dimension
x y z Referenz-Welle I(x,y,) Objektwelle Referenzwelle: Objektwelle: Nomenklatur: Schwärzungsgrad der Fotoplatte Energiestromdichte I(x,y): Interferenzterm Entfernungsinformation dritte Dimension
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I Beispiel: Hologramm eines ebenen Spiegels Spiegel Strahlteiler
kohärente Lichtquelle (Laser) Referenz-Welle Objektwelle (ebene Welle) x y z Fotoplatte in (x,y)-Ebene I d Das Hologramm eines ebenen Spiegels ist ein Sinus-förmiges Beugungsgitter. Technische Anwendung
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I Beispiel: Hologramm einer Punktquelle d ≫ Referenzstrahl
Symmetrie Interferenzbild = f() I Referenzstrahl vom Strahlteiler Lochblende Punktquelle transparenter Film in (x,y)-Ebene Fresnel-Zonen Das Hologramm einer Punktquelle ist ein ,,Sinus-förmige” Fresnel-Zonenplatte. Technische Anwendung
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Bemerkungen: Jeder Punkt des Hologramms enthält Informationen von dem gesamten, von diesem Punkt sichtbaren Teil des Objekts Größere Fotoplatte mehr ,,Rundum-Information” Größere Fotoplatte mehr ,,Speicherfläche” pro Objektpunkt höhere Auflösung Intensität der Objektwelle ist unkritisch: Beispiel: Kontrast des Interferenzbildes:
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Rekonstruktion eines dreidimensionalen Bildes von einem Hologramm:
Rekonstruktions-Welle 0. Beugungs-Ordnung Laser Hologramm in (x,y)-Ebene Transmission T(x,y) Rekonstruktionswelle: Transmission: Schwärzungskoeffizient Transmission des unbelichteten Films
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1. Beugungs-Ordnung virtuelles Bild Transmissionswelle:
Rekonstruktions-Welle 0. Beugungs-Ordnung -1. Beugungs-Ordnung reelles Bild Laser Hologramm in (x,y)-Ebene Transmission T(x,y) durchlaufende Referenzwelle virtuelles Bild (a) reelles Bild (b) (a) Objektwelle in Richtung virtuelles Bild (b) zeitlich rückwärts laufende Objektwelle in Richtung reelles Bild
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