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Bremen, Oktober 2005 1 Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT.

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Präsentation zum Thema: "Bremen, Oktober 2005 1 Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT."—  Präsentation transkript:

1 Bremen, Oktober Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT

2 Bremen, Oktober Logiker Mathematiker Professor in Jena Begründer der modernen Logik Aristoteles II. TRADITION Gottlob Frege *1848 Wismar 1925 Bad Kleinen

3 Bremen, Oktober Mathematiklehre - Dilemma Wissensexplosion – Stofffülle Innovation – neue Hilfsmittel große Streuung der Eingangskenntnisse begrenzter Stundenumfang begrenztes Lehrpersonal Geldmangel - Imageproblem

4 Bremen, Oktober Mathematiklehre - Anspruch modern (Kenntnisstand, Hilfsmittel, Methoden) wissenschaftlich (Theorie, Hochschule) anwendungsorientiert (Praxis, Wirtschaft) motivierend (Anwendungen, Interesse, Spannung) international (Globalisierung, Austausch, Kooperation)

5 Bremen, Oktober Mathematiklehre - Struktur Eingangs- prüfung Grundlagen allg. Prinzipien und Denkweisen ProblemlösenSelbststudium kleine Auswahl aktueller Gebiete Projekte Literatur- Quellen Internetkurse Fachliteratur Werkzeuge Hilfsmittel Computer Software Kritikfähigkeit Kerncurriculum interdisziplinär kooperativ angewandt Praxisprobleme Zusatzangebote Modellieren

6 Bremen, Oktober Praxis-Problem Modell Mathematisches Modell Algebra Analysis Algebra Analysis Numerische Methoden Numerische Methoden mathematische Lösung INFORMATIK Verifikation Computer Software Expertensystem Lösung Verifikation Anwendung in der Praxis Anwendung in der Praxis Fehler-Analyse Fallstudien Experimente Wechsel der Verfahren Interpretation Fehler-Analyse Fallstudien Experimente Wechsel der Verfahren Interpretation Modellkorrekturen Grafik

7 Bremen, Oktober Interdisziplinäre Vernetzung Mathematik – Lösungsmethoden Physik – naturwissenschaftliche Modelle Informatik – Software, Grafik Technik – Apparate, Geräte Design – Gestaltung, Aussehen, Funktion Wirtschaft – Ökonomie, Vermarktung

8 Bremen, Oktober Projekte - Funktionen Praxisrelevanz Interdisziplinarität Modellierung Kooperation, Kreativität, Konkurrenz Computer, Software, Programmierung Präsentation (Text, Vortrag, Verteidigung) Selbststudium (Quellen)

9 Bremen, Oktober Projekte - Beispiele Bildrekonstruktion (CT) Schwingungen (Pendel) Ökologische Modelle (Räuber-Beute) Strategische Spiele Graphenalgorithmen (Kürzeste Wege, Rundreisen) Fraktale Geometrie

10 Bremen, Oktober Computermathematik Computeralgebra, Numerik, Grafik Softwarekenntnisse (MATLAB) Standardfunktionen (Expertensystem) Programmierung (Funktionen, Oberflächen) grafische Schnittstelle (Nutzerinteraktion) Experimente, Simulationen (Strategie) anspruchsvolle Beispiele aus der Praxis

11 Bremen, Oktober Computertomographie - Modell Strahl geometrisch (Geraden, Streifen, Zylinder, Kegel) Strahlenergie (monoenergetisch, Spektrum) Objektstruktur – Schwächungsverteilung – Funktion Objekt 3D – parallele Objektschnitte 2D

12 Bremen, Oktober Computertomographie - Modell Objektschnitt mit Strahl I0I0 I Q f(x,y) L RADON - Integralgleichung Physikalisches Gesetz Mathematisches Modell L: Gerade : Objekt Q: Quadrat f: Dichte I: Intensität Schwächung

13 Bremen, Oktober Calculating projections s perpendicular distance from origin to line L(, s) angle of the normal of the line L(, s)

14 Bremen, Oktober Calculating projections Rotate the x-y axis by angle

15 Bremen, Oktober Bildrekonstruktion - ein interdisziplinäres Problem Wissenschaftstheorie (Abstraktion, Modell, Simulation) Physik (Röntgen-Strahlung und ihre Schwächung) Mathematik (Radonsche Integralgleichung) –Analysis, Numerik, Wissenschaftliches Rechnen Informatik (Implementierung der Algorithmen) –Komplexität, Algorithmen, Datenstrukturen, Programme Ingenieurwissenschaften (Computertomograph) Medizin (Diagnostik, Bilddarstellung, Strahlenbelastung) Wirtschaft (Aufwand und Nutzen)

16 Bremen, Oktober Diskretisierung der Integralgleichung LiLi a ij Schnittlänge von L i in Q j, oft a ij =0 Q Q1Q1 QjQj m = p q Geraden L i mit Daten g i := g(L i ) Quadrat Q mit n = k 2 Pixeln Q j Funktion f konstant über Q j : f | Q j =: f j Wert - Farbe f 1 Wert - Farbe f j Strahlennetz Pixelraster

17 Bremen, Oktober Numerisches Modell: Lineares Gleichungssystem Diskretisierung, Approximation

18 Bremen, Oktober Lineares Gleichungssystem (LGS) LGS Defekt- Min. Kleinste-Quadrate-Lösungen eine Lösung mod. LGS viele Lösungen keine Lösung allgemeine Lösung (Struktur, Parameter) spezielle Lösung (Zusatzbedingungen) Lösungen Computer- Lösung Verfälschung von Werten und Struktur Geometrische Bedeutung Fehler!!! Regularisierung Verfahren Pseudoinverse Größe

19 Bremen, Oktober Lösungskonzept A f = g LGS mit A = ( a ij ) vom Format (m,n) –m Messdaten, n Pixel –m < n : LGS unterbestimmt (mehr Pixel) –m > n : LGS überbestimmt (weniger Pixel) A f = g schwach besetzt und i. Allg. nicht lösbar –spezielle Speichertechniken –verallgemeinerte Lösungen (KQL, Pseudoinverse) Vor-Bedingung: f >= 0 (koordinatenweise) Regularisierung: (A T A + E) f = A T g (Parameter > 0 klein)

20 Bremen, Oktober Lösungsverfahren: spezielle Iteration H1H1 H2H2 Projektion auf Hyperebenen (KACZMARZ 1937) Auswahlstrategie der Hyperebenen: zyklisch, größter Abstand,... Spezialfall m=n=2

21 Bremen, Oktober Lösungsverfahren: Modifikationen Über- Relaxation Unter- Relaxation Algebraic reconstruction technique (ART): HERMAN 1970 A-priori-Information: Null-Setzen der negativen Koordinaten H Parameter- Optimierung Konvergenz- Beschleunigung Regularisierung Kleinste- Quadrate- Lösungen

22 Bremen, Oktober Methodologie Rekonstruktionsproblem Radonsche Integralgleichung Lineares Gleichungssystem Lösungskonzept Lösungsverfahren Implementierung Berechnung einer Lösung Untersuchungen Experimente Untersuchungen Experimente Interpretation Verifikation Interpretation Verifikation Physikalische Gesetze Computer Software Programmierung math. Modell Approximation Diskretisierung Kleinste Quadrate Regularisierung Gauss, Konj. Grad., ART Messdaten Fehler

23 Bremen, Oktober Teilprogramme MessgeometrieMessdaten MatrixVektor Datengenerator Phantom- Modell Matrixgenerator Lineares Gleichungssystem Lösungsverfahren VektorSkelett Funktion Interpolation Grafik Skelett Funktion 2D 3D

24 Bremen, Oktober Bedienoberfläche - Wand

25 Bremen, Oktober Bedienoberfläche - Dose Cylindric rise

26 Bremen, Oktober Bedienoberfläche - Maus

27 Bremen, Oktober Objekt Kopfschnitt

28 Bremen, Oktober Objekt Autobild

29 Bremen, Oktober Untersuchungen - Experimente Strahlen L - Strahlenmodell, Strahlennetz Approximation von f - Raum für Lösungen Strahlennetz - Lösungsbasis (Relation) Bestimmung von A (Effizienz, Fehler) Berechnung von g (Pseudo-Messdaten) Lösungsverfahren A f = g (PSH, BART, Opt.) Q-Erweiterung von f, Grafik, Effekte Gütemaß Original – Rekonstruktion Bedienoberfläche Objekte 2D - 3D (Funktion, Bild, stetig-diskret)

30 Bremen, Oktober Parallel beamsFan beams Strahlennetze

31 Bremen, Oktober Strahlen als Streifen

32 Bremen, Oktober Struktur von Strahlennetzen p = 32 q= 32 m = 1024

33 Bremen, Oktober Besetztheit von B = AA

34 Bremen, Oktober ISSNISSN ISBN Dieter Schott Mit diesem Buch meistern Sie die Herausforderungen! Auf Ihre Zukunft!

35 Bremen, Oktober Doppelspitze Rekonstruktion

36 Bremen, Oktober Wellen mit Spitze Rekonstruktion


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