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Bremen, Oktober 2005 1 Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT.

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Präsentation zum Thema: "Bremen, Oktober 2005 1 Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT."—  Präsentation transkript:

1 Bremen, Oktober 2005 1 Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT

2 Bremen, Oktober 2005 2 Logiker Mathematiker Professor in Jena Begründer der modernen Logik Aristoteles II. TRADITION Gottlob Frege *1848 Wismar 1925 Bad Kleinen

3 Bremen, Oktober 2005 3 Mathematiklehre - Dilemma Wissensexplosion – Stofffülle Innovation – neue Hilfsmittel große Streuung der Eingangskenntnisse begrenzter Stundenumfang begrenztes Lehrpersonal Geldmangel - Imageproblem

4 Bremen, Oktober 2005 4 Mathematiklehre - Anspruch modern (Kenntnisstand, Hilfsmittel, Methoden) wissenschaftlich (Theorie, Hochschule) anwendungsorientiert (Praxis, Wirtschaft) motivierend (Anwendungen, Interesse, Spannung) international (Globalisierung, Austausch, Kooperation)

5 Bremen, Oktober 2005 5 Mathematiklehre - Struktur Eingangs- prüfung Grundlagen allg. Prinzipien und Denkweisen ProblemlösenSelbststudium kleine Auswahl aktueller Gebiete Projekte Literatur- Quellen Internetkurse Fachliteratur Werkzeuge Hilfsmittel Computer Software Kritikfähigkeit Kerncurriculum interdisziplinär kooperativ angewandt Praxisprobleme Zusatzangebote Modellieren

6 Bremen, Oktober 2005 6 Praxis-Problem Modell Mathematisches Modell Algebra Analysis Algebra Analysis Numerische Methoden Numerische Methoden mathematische Lösung INFORMATIK Verifikation Computer Software Expertensystem Lösung Verifikation Anwendung in der Praxis Anwendung in der Praxis Fehler-Analyse Fallstudien Experimente Wechsel der Verfahren Interpretation Fehler-Analyse Fallstudien Experimente Wechsel der Verfahren Interpretation Modellkorrekturen Grafik

7 Bremen, Oktober 2005 7 Interdisziplinäre Vernetzung Mathematik – Lösungsmethoden Physik – naturwissenschaftliche Modelle Informatik – Software, Grafik Technik – Apparate, Geräte Design – Gestaltung, Aussehen, Funktion Wirtschaft – Ökonomie, Vermarktung

8 Bremen, Oktober 2005 8 Projekte - Funktionen Praxisrelevanz Interdisziplinarität Modellierung Kooperation, Kreativität, Konkurrenz Computer, Software, Programmierung Präsentation (Text, Vortrag, Verteidigung) Selbststudium (Quellen)

9 Bremen, Oktober 2005 9 Projekte - Beispiele Bildrekonstruktion (CT) Schwingungen (Pendel) Ökologische Modelle (Räuber-Beute) Strategische Spiele Graphenalgorithmen (Kürzeste Wege, Rundreisen) Fraktale Geometrie

10 Bremen, Oktober 2005 10 Computermathematik Computeralgebra, Numerik, Grafik Softwarekenntnisse (MATLAB) Standardfunktionen (Expertensystem) Programmierung (Funktionen, Oberflächen) grafische Schnittstelle (Nutzerinteraktion) Experimente, Simulationen (Strategie) anspruchsvolle Beispiele aus der Praxis

11 Bremen, Oktober 2005 11 Computertomographie - Modell Strahl geometrisch (Geraden, Streifen, Zylinder, Kegel) Strahlenergie (monoenergetisch, Spektrum) Objektstruktur – Schwächungsverteilung – Funktion Objekt 3D – parallele Objektschnitte 2D

12 Bremen, Oktober 2005 12 Computertomographie - Modell Objektschnitt mit Strahl I0I0 I Q f(x,y) L RADON - Integralgleichung Physikalisches Gesetz Mathematisches Modell L: Gerade : Objekt Q: Quadrat f: Dichte I: Intensität Schwächung

13 Bremen, Oktober 2005 13 Calculating projections s perpendicular distance from origin to line L(, s) angle of the normal of the line L(, s)

14 Bremen, Oktober 2005 14 Calculating projections Rotate the x-y axis by angle

15 Bremen, Oktober 2005 15 Bildrekonstruktion - ein interdisziplinäres Problem Wissenschaftstheorie (Abstraktion, Modell, Simulation) Physik (Röntgen-Strahlung und ihre Schwächung) Mathematik (Radonsche Integralgleichung) –Analysis, Numerik, Wissenschaftliches Rechnen Informatik (Implementierung der Algorithmen) –Komplexität, Algorithmen, Datenstrukturen, Programme Ingenieurwissenschaften (Computertomograph) Medizin (Diagnostik, Bilddarstellung, Strahlenbelastung) Wirtschaft (Aufwand und Nutzen)

16 Bremen, Oktober 2005 16 Diskretisierung der Integralgleichung LiLi a ij Schnittlänge von L i in Q j, oft a ij =0 Q Q1Q1 QjQj m = p q Geraden L i mit Daten g i := g(L i ) Quadrat Q mit n = k 2 Pixeln Q j Funktion f konstant über Q j : f | Q j =: f j Wert - Farbe f 1 Wert - Farbe f j Strahlennetz Pixelraster

17 Bremen, Oktober 2005 17 Numerisches Modell: Lineares Gleichungssystem Diskretisierung, Approximation

18 Bremen, Oktober 2005 18 Lineares Gleichungssystem (LGS) LGS Defekt- Min. Kleinste-Quadrate-Lösungen eine Lösung mod. LGS viele Lösungen keine Lösung allgemeine Lösung (Struktur, Parameter) spezielle Lösung (Zusatzbedingungen) Lösungen Computer- Lösung Verfälschung von Werten und Struktur Geometrische Bedeutung Fehler!!! Regularisierung Verfahren Pseudoinverse Größe

19 Bremen, Oktober 2005 19 Lösungskonzept A f = g LGS mit A = ( a ij ) vom Format (m,n) –m Messdaten, n Pixel –m < n : LGS unterbestimmt (mehr Pixel) –m > n : LGS überbestimmt (weniger Pixel) A f = g schwach besetzt und i. Allg. nicht lösbar –spezielle Speichertechniken –verallgemeinerte Lösungen (KQL, Pseudoinverse) Vor-Bedingung: f >= 0 (koordinatenweise) Regularisierung: (A T A + E) f = A T g (Parameter > 0 klein)

20 Bremen, Oktober 2005 20 Lösungsverfahren: spezielle Iteration H1H1 H2H2 Projektion auf Hyperebenen (KACZMARZ 1937) Auswahlstrategie der Hyperebenen: zyklisch, größter Abstand,... Spezialfall m=n=2

21 Bremen, Oktober 2005 21 Lösungsverfahren: Modifikationen Über- Relaxation Unter- Relaxation Algebraic reconstruction technique (ART): HERMAN 1970 A-priori-Information: Null-Setzen der negativen Koordinaten H Parameter- Optimierung Konvergenz- Beschleunigung Regularisierung Kleinste- Quadrate- Lösungen

22 Bremen, Oktober 2005 22 Methodologie Rekonstruktionsproblem Radonsche Integralgleichung Lineares Gleichungssystem Lösungskonzept Lösungsverfahren Implementierung Berechnung einer Lösung Untersuchungen Experimente Untersuchungen Experimente Interpretation Verifikation Interpretation Verifikation Physikalische Gesetze Computer Software Programmierung math. Modell Approximation Diskretisierung Kleinste Quadrate Regularisierung Gauss, Konj. Grad., ART Messdaten Fehler

23 Bremen, Oktober 2005 23 Teilprogramme MessgeometrieMessdaten MatrixVektor Datengenerator Phantom- Modell Matrixgenerator Lineares Gleichungssystem Lösungsverfahren VektorSkelett Funktion Interpolation Grafik Skelett Funktion 2D 3D

24 Bremen, Oktober 2005 24 Bedienoberfläche - Wand

25 Bremen, Oktober 2005 25 Bedienoberfläche - Dose Cylindric rise

26 Bremen, Oktober 2005 26 Bedienoberfläche - Maus

27 Bremen, Oktober 2005 27 Objekt Kopfschnitt

28 Bremen, Oktober 2005 28 Objekt Autobild

29 Bremen, Oktober 2005 29 Untersuchungen - Experimente Strahlen L - Strahlenmodell, Strahlennetz Approximation von f - Raum für Lösungen Strahlennetz - Lösungsbasis (Relation) Bestimmung von A (Effizienz, Fehler) Berechnung von g (Pseudo-Messdaten) Lösungsverfahren A f = g (PSH, BART, Opt.) Q-Erweiterung von f, Grafik, Effekte Gütemaß Original – Rekonstruktion Bedienoberfläche Objekte 2D - 3D (Funktion, Bild, stetig-diskret)

30 Bremen, Oktober 2005 30 Parallel beamsFan beams Strahlennetze

31 Bremen, Oktober 2005 31 Strahlen als Streifen

32 Bremen, Oktober 2005 32 Struktur von Strahlennetzen p = 32 q= 32 m = 1024

33 Bremen, Oktober 2005 33 Besetztheit von B = AA

34 Bremen, Oktober 2005 34 ISSNISSN ISBN 3-446-22043-7 Dieter Schott Mit diesem Buch meistern Sie die Herausforderungen! Auf Ihre Zukunft!

35 Bremen, Oktober 2005 35 Doppelspitze Rekonstruktion

36 Bremen, Oktober 2005 36 Wellen mit Spitze Rekonstruktion


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