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F FnFn z Prof. Dr. Johann Graf Lambsdorff Universität Passau WS 2007/08 4. Transaktionskasse und Vorsichtskasse.

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1 F FnFn z Prof. Dr. Johann Graf Lambsdorff Universität Passau WS 2007/08 4. Transaktionskasse und Vorsichtskasse

2 Pflichtlektüre: Jarchow, H.-J.: Theorie und Politik des Geldes, 11. überarb. und wesentl. erw. Aufl., Göttingen: UTB, 2003, S

3 Die Transaktionskasse Transaktionskasse wird gehalten zur Durchführung der täglichen Güterkäufe, Einkommenszahlungen usw. Hierbei geht es um eine Überbrückung der zeitlichen Diskrepanz zwischen Ein- und Auszahlungen. Wir erstellen ein deterministisches Modell der optimalen Kassenhaltung: Ein Haushalt erhält 3000 zum Monatsanfang und verausgabt diesen Betrag vollständig bis zum Monatsende.

4 Monate 01 ltlt Dies lässt sich folgendermaßen graphisch darstellen, wobei l t den durchschnittlichen Bestand an Transaktionskasse darstellt. Bei der Unternehmung führen die Auszahlungen an den Haushalt und die Käufe des Haushalts zu einer spiegelbildlichen Darstellung:

5 Werden die 3000 an den Haushalt stattdessen in zwei Teilbeträgen bezahlt, so sinkt die durchschnittliche Kassenhaltung auf Monate 01 ltlt ltlt

6 Über den Zahlungsrhythmus können die Haushalte selbst entscheiden, indem sie Zahlungseingänge zwischenzeitlich verzinslich anlegen. Die Auszahlung erfolgt (der Einfachheit halber) zunächst in verzinslichen Wertpapieren. Bei einem Finanzierungsbedarf werden Wertpapiere verkauft. Durch Haltung von Kasse wird auf den Zinsertrag aus der Wertpapierhaltung verzichtet (Alternativkosten). Dies impliziert, dass möglichst häufig umgewandelt werden sollte.

7 Die Umwandlung von Wertpapieren in Kasse ist mit Kosten verbunden (Umwandlungskosten). Dies impliziert, dass möglichst selten umgewandelt werden sollte. Muss ein monatlicher, stetiger Auszahlungsstrom i.H.v. h finanziert werden, so wird bei nur einer einmaligen Umwandlung in Kasse ein durchschnittlicher Kassenbestand i.H.v. l t =h/2 gehalten. Wird stattdessen der Wertpapierbestand in n gleichen Raten umgewandelt, b=h/n, so beträgt die durchschnittliche Kassenhaltung l t =b/2=h/(2. n).

8 Die Alternativkosten der Kassenhaltung betragen k A =l t i. Die Umwandlungskosten pro Transaktion (k U/T ) sind teilweise unabhängig vom umgewandelten Betrag, teilweise von diesem abhängig. Es gilt: k U/T = + b. Bei Durchführung von n Transaktionen belaufen sich die gesamten Umwandlungskosten auf: k U = n. k U/T =n +n b = h/b. +h.

9 Da gilt l t =h/(2n), können die Umwandlungskosten auch in Abhängigkeit der durchschnittlichen Kassenhaltung geschrieben werden: k U = h/(2l t ). +h. Die Summe aus Alternativkosten und Umwandlungskosten beträgt nun: k= l t i+h/(2l t ). +h. Im Kostenminimum gilt dk/dl t =0=i-h/(2l t 2 ).

10 Die Bedingung zweiter Ordnung ist erfüllt, so dass tatsächlich ein Kostenminimum vorliegt. Wird zwischen dem Umsatz und dem Einkommen der Wirtschaftssubjekte, y, ein positiver Zusammenhang unterstellt, h= y, so folgt:

11 Die optimale durchschnittliche Transaktionskasse steigt mit steigendem Einkommen, zunehmenden Umwandlungskosten und einem sinkenden Zinssatz für Wertpapiere. Es existiert ein unterproportionaler Zusammenhang zwischen der durchschnittlichen Kassenhaltung und dem Einkommen. In der empirischen Forschung wird aber zumeist ein proportionaler, oder sogar ein überproportionaler Zusammenhang festgestellt.

12 Die Vorsichtskasse Bei der Analyse der Transaktionskasse konnten Ein- und Auszahlungen mit Sicherheit vorausgesagt werden. Sind Zahlungsströme stattdessen mit Unsicherheit behaftet, so sind die Erwartungen mehrwertig. In der Planung wird bei den Zahlungsvorgängen mit verschiedenen Beträgen und verschiedenen Terminen gerechnet, die für unterschiedlich wahrscheinlich gehalten werden. Wirtschaftseinheiten werden dem Risiko der Illiquidität durch einen zusätzlichen Kassenbestand in Form einer Vorsichtskasse Rechnung tragen.

13 Vorsichtskasse geht mit Alternativkosten einher. Andererseits geht eine Finanzierungslücke mit Illiquiditätskosten einher, die dadurch entstehen, dass ein Kredit aufgenommen wird oder Aktiva zwangsverkauft werden. Im äußersten Fall resultiert eine Zahlungseinstellung. Die Illiquiditätskosten sind (wie die Umwandlungskosten bei der Transaktionskasse) teils vom Umfang des Kassendefizits abhängig (variable Illiquiditätskosten), teils davon unabhängig (feste Illiquiditätskosten).

14 Zunächst ist ein Kalkül anzustellen, auf welchen Betrag sich die Nettozahlungsströme (Kassenüberschuss oder Kassendefizit) im Planungszeitraum vermutlich belaufen werden. Verschiedene Möglichkeiten werden hierfür in Betracht gezogen und ihnen jeweils bestimmte Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Aus der so gebildeten Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Nettozahlungsströme wird ein Mittelwert gebildet, indem die als möglich angesehenen Nettozahlungsströme jeweils mit ihren entsprechenden Wahrscheinlichkeiten multipliziert und die sich ergebenden Produkte summiert werden.

15 Der auf diese Weise berechnete Mittelwert stellt den Erwartungswert für das Kassendefizit bzw. den Kassenüberschuss der Periode dar. Folgende vereinfachende Annahmen werden gemacht: 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb des Planungszeitraums (z.B. innerhalb eines Tages) in bestimmter Höhe ein Kassendefizit auftritt, ist ebenso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass sich in der gleichen Höhe ein Kassenüberschuss einstellt. Somit weisen die Nettozahlungsströme (z) einen Erwartungswert von null auf und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ist bezüglich des Nullpunktes symmetrisch.

16 2. Kassendefizite bzw. -überschüsse können innerhalb des Planungszeitraums nur bis zu einem bestimmten Höchstbetrag (m) auftreten. Diese beiden Annahmen wären z.B. in der folgenden Graphik erfüllt. KassenüberschüsseKassendefizite, z Wahrscheinlich- keitsdichte, f(z) m lvlv

17 Wie aus der Abbildung ersichtlich, dehnt sich der Bereich (l v bis m), in dem mögliche Kassendefizite die Vorsichtskasse übertreffen, aus, wenn die Vorsichtskasse (also die Strecke von 0 bis l v ) kleiner wird. Die Wahrscheinlichkeit für den Fall der Illiquidität wird durch die Fläche des schraffierten Dreiecks angegeben. Sie nimmt also zu, wenn man die Vorsichtskasse senkt (z.B. um Alternativkosten einzusparen).

18 Soll jedes Illiquiditätsrisiko vermieden werden, so ist ein Kassenbestand in Höhe des maximal möglichen Kassendefizits (m) zu halten. Dem Vorteil, dass Illiquiditätskosten mit Sicherheit nicht entstehen, steht in diesem Fall der Nachteil relativ hoher Alternativkosten gegenüber. Die Alternativkosten (k A ) ergeben sich bei einer Kassenhaltung in Höhe von l v und einem Zinssatz i gemäß folgender Beziehung: k A =l v ·i.

19 Der genaue Wert der im Mittel bei einer bestimmten Vorsichtskasse erwarteten Illiquiditätskosten wird durch feste und variable Illiquiditätskosten bestimmt. Die (erwarteten) festen Illiquiditätskosten erhält man, wenn die Kosten, die unabhängig vom Umfang des Kassendefizits auftreten ( '), mit der Wahrscheinlichkeit, dass die Kassendefizite größer sind als die Vorsichtskasse (Fall der Illiquidität), multipliziert werden. Die Wahrscheinlichkeit für den Fall der Illiquidität wird bei einer Vorsichtskasse in Höhe von l v durch den Inhalt des schraffierten Dreiecks angegeben. Allgemein gilt:

20 Für die (erwarteten) festen Illiquiditätskosten ergibt sich somit der Ausdruck: Die (erwarteten) variablen Illiquiditätskosten werden ermittelt, indem die variablen Illiquiditätskosten pro Geldeinheit ( ') mit dem im Mittel erwarteten Betrag der Finanzierungslücke multipliziert werden. Von variablen Illiquiditätskosten wird in der Folge abgesehen.

21 Für die Bestimmung der Kosten müssen wir eine explizite Dichtefunktion f(z) annehmen. Der für die Lösung grundlegende Gedankengang lässt sich aber ohne Rückgriff auf eine explizite Dichtefunktion mit Hilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung darstellen, wenn von variablen Illiquiditätskosten abgesehen wird und die Standardabweichung (s) der Nettozahlungsströme bekannt ist. Auf unser Problem angewendet besagt diese Ungleichung:

22 Ist die Standardabweichung z.B. s = 100 GE, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kassendefizite eine Vorsichtskasse in Höhe von 200 übertreffen, kleiner als 12,5%. Würde man die Wahrscheinlichkeit genau mit 12,5 v. H. veranschlagen, dann würde man auf jeden Fall vermeiden, das Illiquiditätsrisiko zu gering einzuschätzen. Gehen wir von einer solch vorsichtigen Planung aus, so können wir die Ungleichung als Gleichung auffassen.

23 Werden die festen Illiquiditätskosten mit dem Grad ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet, also mit w (z > l v ) multipliziert, und bleiben variable Illiquiditätskosten unberücksichtigt (d.h. ' = 0), dann erhalten wir schließlich für die zu minimierenden Gesamtkosten und damit für die Zielfunktion folgenden Ausdruck: Als notwendige Bedingung eines Kostenminimums gilt:

24 Wird dies entsprechend umgeformt, so folgt für den optimalen Bestand an Vorsichtskasse, Die Bedingung zweiter Ordnung ist erfüllt, da

25 Da angenommen werden kann, dass zwischen der Standardabweichung s und dem Umsatz (und damit dem individuellen Einkommen) eine positive Beziehung besteht, wird die optimale Vorsichtskasse mit steigendem Einkommen, zunehmenden (festen) Illiquiditätskosten und sinkendem Zinssatz steigen. Die optimale Vorsichtskasse steigt dabei unterproportional mit steigendem Einkommen, sofern zwischen der Varianz s 2 und dem individuellen Einkommen ein proportionaler Zusammenhang besteht.

26 Das vorgestellte Modell wird auch für die Reservehaltung von Zentralbanken herangezogen. Reserven werden typischerweise als ausländische Staatsanleihen gehalten. Mit ihnen geht der Verzicht auf Zinsen auf inländische Titel einher. Sind die Zinsen im Ausland niedriger, so entstehen Alternativkosten als Differenz aus inländischen und ausländischen Ertragsraten. Daneben ist die Höhe der in der Zukunft erwarteten Devisenmarkttransaktionen entscheidend und die Wahrscheinlichkeit, mit der diese die Reserven aufzehren könnten.

27 So zeigt sich, dass Länder, den die Wechselkurs stabilisieren, höhere Währungsreserven halten. Große Wirtschaftsregionen wie die USA oder die Euro- Zone verfolgen keine Politik der Wechselkursstabilisierung. Ihre Währungsreserven fallen sehr gering aus. Kleinere Länder sind oftmals darauf angewiesen, ihr Währung gegenüber einer Ankerwährung zu stabilisieren. Dementsprechend sind dort größere Währungsreserven zu finden. Ein Vorteil einer Währungsunion besteht u.a. darin, dass der Bestand an Reserven reduziert werden kann.


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