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WS03/041 Amortisierte Analyse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann.

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Präsentation zum Thema: "WS03/041 Amortisierte Analyse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann."—  Präsentation transkript:

1 WS03/041 Amortisierte Analyse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann

2 2WS03/04 Amortisierung Betrachte eine Folge a 1, a 2,..., a n von n Operation auf Datenstruktur D T i = Ausführungszeit von a i T = T 1 + T T n, Gesamtlaufzeit Oft kann die Laufzeit einer einzelnen Operation in einem großen Bereich schwanken, z. B. in 1,...,n, aber nicht bei allen Operationen der Folge kann der schlechteste Fall auftreten

3 3WS03/04 Analyse von Algorithmen Best Case Worst Case Average Case Amortisierte Worst Case Was sind die durchschnittlichen Kosten einer schlechtest möglichen Folge von Operationen?

4 4WS03/04 Amortisierung Idee: Zahle für billige Operation etwas mehr Verwende Erspartes um für teure Operationen zu zahlen Drei Methoden: 1. Aggregatmethode 2. Bankkonto – Methode 3. Potentialfunktion – Methode

5 5WS03/04 1.Aggregat – Methode: Dualzähler Bestimmung der Bitwechselkosten eines Dualzählers Operation ZählerstandKosten

6 6WS03/04 2. Bankkonto – Methode Idee: Bezahle zwei KE für das Verwandeln einer 0 in eine 1 jede 1 hat eine KE auf dem Konto Beobachtung: In jedem Schritt wird genau eine 0 in eine 1 verwandelt

7 7WS03/04 Bankkonto – Methode Operation Zählerstand

8 8WS03/04 3. Potentialfunktion Potentialfunktion Datenstruktur D (D) t l = wirkliche Kosten der l-ten Operation l = Potential nach Ausführung der l-ten Operation (= (D l ) ) a l = amortisierte Kosten der l-ten Operation Definition: a l = t l + l - l-1

9 9WS03/04 Beispiel: Dualzähler D i = Stand der i-ten Operation i = (D i ) = # von Einsen in D i i–te Operation# von Einsen D i-1 :.....0/ B i-1 D i :.....0/ B i = B i-1 – b i + 1 t i = wirkliche Bitwechselkosten von Operation i = b i +1

10 10WS03/04 Dualzähler t i = wirkliche Bitwechselkosten von Operation i a i = amortisierte Bitwechselkosten von Operation i

11 11WS03/04 Dynamische Tabellen Problem: Verwaltung einer Tabelle unter den Operationen Einfügen und Entfernen, so dass die Tabellengröße der Anzahl der Elemente angepasst werden kann immer ein konstanter Anteil der Tabelle mit Elementen belegt ist die Kosten für n Einfüge- oder Entferne–Operationen O(n) sind. Organisation der Tabelle: Hashtabelle, Heap, Stack, etc. Belegungsfaktor T : Anteil der Tabellenplätze von T, die belegt sind.

12 12WS03/04 Implementation Einfügen class dynamic table { int [] table; int size;// Größe der Tabelle int num;// Anz. der Elemente dynamicTable() {// Initialisierung der leeren Tabelle table = new int [1]; size = 1; num = 0; }

13 13WS03/04 Implemenation Einfügen insert ( int x) { if (num == size ) { new Table = new int [2*size]; for (i = 0; i < size; i++) füge table[i] in newTable ein; table = newTable; size = 2*size; } füge x in table ein; num = num + 1; }

14 14WS03/04 Kosten von n Einfüge-Operationen in eine anfangs leere Tabelle t i = Kosten der i-ten Einfüge-Operation Worst case: t i = 1, falls die Tabelle vor der Operation i nicht voll ist t i = (i – 1) + 1, falls die Tabelle vor der Operation i voll ist. Also verursachen n Einfüge-Operationen höchstens Gesamtkosten von Amortisierter Worst-Case: Aggregat -, Bankkonto -, Potential-Methode

15 15WS03/04 Potential-Methode T Tabelle mit k = T.num Elemente und s = T.size Größe Potentialfunktion (T) = 2 k – s

16 16WS03/04 Potential-Methode Eigenschaften 0 = (T 0 ) = ( leere Tabelle ) = -1 Für alle i 1 : i = (T i ) 0 Weil n gilt, ist Unmittelbar vor einer Tabellenexpansion ist k = s, also (T) = k = s. Unmittelbar nach einer Tabellenexpansion ist k = s/2, also (T) = 2k – s = 0.

17 17WS03/04 Berechnung der amortisierten Kosten a i der i-ten Einfüge-Operation k i = # Elemente in T nach der i-ten Operation s i = Tabellengröße von T nach der i-ten Operation Fall 1: i-te Operation löst keine Expansion aus k i = k i-1 + 1, s i = s i-1 a i = 1 + (2k i - s i ) - (2k i-1 – s i-1 ) = 1 + 2(k i - k i-1 ) = 3

18 18WS03/04 Fall 2: i-te Operation löst Expansion aus k i = k i-1 + 1, s i = 2s i-1 a i = k i (2k i - s i ) - (2k i-1 – s i-1 ) = 3

19 19WS03/04 Einfügen und Entfernen von Elementen Jetzt: Kontrahiere Tabelle, wenn Belegung zu gering! Zíele: (1) Belegungsfaktor bleibt durch eine Konstante nach unten beschränkt (2) amortisierte Kosten einer einzelnen Einfüge- oder Entferne- Operation sind konstant. 1. Versuch Expansion: wie vorher Kontraktion: Halbiere Tabellengröße, sobald Tabelle weniger als ½ voll ist!

20 20WS03/04 Schlechte Folge von Einfüge- und Entfernenoperationen Kosten n/2 mal Einfügen (Tabelle voll) 3 n/2 I: Expansionn/2 + 1 D, D: Kontraktionn/2 + 1 I, I : Expansionn/2 + 1 D, D: Kontraktion Gesamtkosten der Operationsfolge: I n/2, I,D,D,I,I,D,D,... der Länge n sind

21 21WS03/04 2. Versuch Expansion: Verdoppele die Tabellengröße, wenn in die volle Tabelle eingefügt wird. Kontraktion: Sobald der Belegungsfaktor unter ¼ sinkt, halbiere die Tabellengröße. Folgerung: Die Tabelle ist stets wenigstens zu ¼ voll, d.h. ¼ (T) 1 Kosten einer Folge von Einfüge- und Entferne-Operationen?

22 22WS03/04 Analyse Einfügen und Enfernen k = T.num, s = T.size, = k/s Potentialfunktion

23 23WS03/04 Analyse Einfügen und Entfernen Unmittelbar nach einer Expansion oder Kontraktion der Tabelle: s = 2k, also (T) = 0

24 24WS03/04 Einfügen i-te Operation: k i = k i Fall 1: i-1 ½ Fall 2: i-1 < ½ Fall 2.1: i < ½ Fall 2.2: i ½

25 25WS03/04 Einfügen Fall 2.1: i-1 < ½, i < ½ (keine Expansion) Potentialfunktion

26 26WS03/04 Einfügen Fall 2.2: i-1 < ½, i ½ (keine Expansion) Potentialfunktion

27 27WS03/04 Entfernen k i = k i Fall 1: i-1 < ½ Fall1.1: Entfernen verursacht keine Kontraktion s i = s i-1 Potentialfunktion

28 28WS03/04 Entfernen Fall 1.2: i-1 < ½ Entfernen verursacht Kontraktion 2s i = s i –1 k i-1 = s i-1 /4 k i = k i Fall 1: i-1 < ½ Potentialfunktion

29 29WS03/04 Entfernen Fall 2: i-1 ½ keine Kontraktion s i = s i –1 k i = k i Fall2.1: i-1 ½ Potentialfunktion

30 30WS03/04 Entfernen Fall 2: i-1 ½ keine Kontraktion s i = s i –1 k i = k i Fall2.2: i < ½ Potentialfunktion


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