Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004

Präsentation zum Thema: "Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004"—  Präsentation transkript:

1 Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004
29.4. Einführung, Modelle, Modellklassen 6.5. Zustandsmodelle, Rekursion 13.5. Phänomenologie, zelluläre Automaten 27.5. Populationsmodelle (FK) 3.6. Individuenbasierte Modelle (FK) 17.6. Transportgleichungen und -modelle 24.6. Konzeptionelle Modelle der Hydrologie 1.7. Fallbeispiel Gårdsjön: Parameteridentifikation 8.7. Modelle zur Gewässerversauerung 15.7. Flussnetzwerke, Modelle in der Geomorphologie 22.7. Besprechung der Übungsaufgaben (FK) 1-2 weitere Termine: Besprechung der Übungsaufgaben (FK)

2 R.Rosen (1991): „The central concept of Newtonian mechanics, from which all others flow as corollaries or collaterals, is the concept of state, and with it, the effective introduction of recursion as the basic underpinning of science it self.“ Die Schlüsselworte sind: Zustand, Rekursion, Wissenschaft

3 Allgemein: Rekursion r: Startwert aus der Def. Menge
T: Abbildung über einer Menge f(n): Funktion, die durch die Abbildung und den Startwert erzeugt wird Die Rekursion schafft es, die Beziehung zwischen den aufeinander folgenden Werte (dem Zeitfluss), der vorher allein in den Indexwerten der Chronik steckte, auf/in die Ereignisse selbst zu verlegen. Damit existiert in der Rekursion zwischen den Werten (und nicht nur zwischen den Indizes, wie bei der Chronik) eine „ansteckende“ Beziehung. Natürlich ist nur ein ganz kleiner Teil der in der wirklichen Welt bebachtbaren Chroniken, als Ergebnis einer Rekursion zu deuten. Welche, darum geht es im Folgenden

4 Beispiel: Rekursion in der Fibonacci Reihe
Rosen (1991): „This apparently trivial situation is the germ on which the state concept and hence contemporary physics rests.“ Der nächste Schritt besteht darin, den zweiten Zeitpunkt zu beseitigen Zuerst ein biologisch motiviertes Beispiel, dazu später mehr. Durch die Verwendung von (hier zwei) vorausgehenden Werten, schleppt man bei dieser Art der Rekursion eine Zeitverzögerung mit. Die übernächste Folie zeigt, wie man das loswerden kann. Vorher wollen wir aber noch die unterschiedlichen Fragen betrachten, die man an eine derartige Abbildung stellen kann

5 Kausalität bei Aristoteles:
Antworten auf die Fragen „Warum f(n)“ ? Materieller Grund: Anfangswert Effektiver Grund: Abbildung T Formaler Grund: Exponent n Finaler Grund: (nicht mehr erlaubt) Finale Gründe sind in der modernen Naturwissenschaft in der Rede über Natursystem nicht mehr üblich/erlaubt. Dazu gehören alle Fragen, die Charakter haben: Wozu dient das alles? Ein interessantes Problem ist, wenn man diesen Unterschied historisch betrachtet. Ab wann kann man das erste Mal von menschlichen Zwecken reden? Ab wann ist wegen der menschlichen Technik, die Frage nach dem wozu sogar unvermeidlich? Die Klammer zwischen den natürlichen Systemen, die der Kausalität unterliegen, und den formalen Systemen, die Rekursionen beschreiben, ist im letzten Satz ausgedrückt. Dazu müssen wir aber noch den Zusammenhang von Zustandsübergängen und Rekursion untersuchen. Das tun wir anhand des Taylor Gesetzes. Kausalität manifestiert sich durch Zustandsübergänge

6 Taylors Theorem: Für eine reelle, stetige und differenzierbare Funktion gilt: Die Werte einer Funktion an einem Punkt (t0) bestimmen das Verhalten in dessen Umgebung (t+h) Die Werte einer Funktion zu einem anderen (Zeit)punkt (t0+h) lassen sich (exakt) durch eine unendliche Folge von Eigenschaften dieser Funktion an einem (Zeit)punkt ausdrücken. Für diesen einen Punkt kann man diese Eigenschaft als unabhängige Daten betrachten: ein Ort allein (f(t0) legt die Ableitung noch nicht fest, usw. Achtung es ist natürlich ein weitere Schritt nötig (eben eine physikalische Interpretation dieses mathematischen Zusammenhangs), ob man die Ableitung der Ortskoordinate nach der Zeit als Geschwindigkeit interpretieren möchte. In der Himmelsmechanik (Newton) klappt das in der Quantenmechanik geht das daneben. Der Zusammenhang mit Rekursion besteht darin, dass man die Werte der Ableitungen als eine Rekursion auffaßt. Dann besagt diese Gleichung, dass man für eine Funktion (f(t)), die selbst nicht rekursiv ist, Bedingungen aufstellen kann, die daraus eine rekrusive Darstellung erlauben. Das Verhalten von f(t) kann nicht aus den vorhergehenden Werten des Bildungsprozesses bestimmt werden wie bei der Fibonacci Reihe, sondern aus der unendlichen Summe über das Verhalten an derselben Stelle: wobei das Verhalten sich rekursiv über die Ableitung der Funktion ergibt. Als nächstes gilt es nun das Verhältnis zwischen dem Bildungsgesetz einer Rekursion und einer Gleichung von Typ des Taylor Gesetzes zu klären.

7 Beispiel für eine rekursive Funktion
Von dieser Funktion stellen wir eine Reihe von Chroniken her und finden eine Taylor Reihe: Als Beispiel wählen wir eine einfache Rekursion nach der die Summe der Integerzahlen bis n berechnet werden kann Die Ableitungen beziehen sich auf die obere Gleichung Rechts unten wird die Taylor Reihe gebildet und man erhält dabei genau die oben in der zweiten Zeile bereits bekannte Rekursive Formulierung. Die Taylor Reihe wird hier zugegebenermaßen in einer ungewohnten Darstellung präsentiert (linke Seite als f(n+1)), machen Sie sich klar, warum das in diesem Fall erlaubt ist. Nachrechnen! Damit soll plausibel gemacht werden, dass eine enge Beziehung besteht zwischen der rekursive Beschreibung einer Funktion (die sich auf die Folge von Werten bezieht) und einer Gleichung vom Taylor Typ, die sich auf einen einzigen Indexwert bezieht (und von dort aus alle Werte (x+h) erreichen kann und nicht nur den in einer diskreten Folge benachbarten Wert). Wie eng diese Beziehung mathematisch gesehen ist, wird in der Mathematik behandelt ...

8 Historisches Beispiel: Ansätze für Bewegungsmodelle
Newton Kraft zur Veränderung von Bewegung Bewegung als Zustand Anfangsbedingungen legen Entwicklung fest abstraktes Modell idealisierte Experimente Interessant die Art der Abstraktion und Präparation: Wenn ein (physikalisches) System aus seinem räumlichen Kontext isoliert werden kann, dann hat es keine Geschichte mehr (ist z.B. durch Differential Gleichungen als ein Zustandssystem beschreibbar). Man denke sich ein Partikel (Massepunkt), der nur durch seinen Ort (als Punkt) definiert ist und sonst existiere nichts in der Umgebung, Über die Koordinate und die Ableitungen der Koordinatenfunktion (nach der Zeit) ist der Zustand des Partikel vollständig def. Ob man beim „encoding“ (siehe Folie 12 aus der ersten Vorl) die Ableitung der Ortskoordinate gleich der physikalischen Geschwindigkeit setzen darf ist eine Frage, die in der Qm ganz anders beantwortet wird, als bei Newton) Für die Umgebung gibt es keinen Zustand, sondern die wirkt über eine Kraft auf den Testkörper (Partikel) In der leeren Umgebung kann der Massepunkt nicht beschleunigen. Das ist die erste wichtige physikalische Annahme. Sie bedeutet, dass man anstelle der unendlichen (Taylor)Reihe in diesem Fall mit den ersten beiden Termin bereits hinkommt. Diese Beziehung wird als Differentialgleichung formuliert (historisch die erste mit der dieses Konzept des Zustandes eingeführt wurde) und aus der ersten Bedingungen folgt schon, dass alle höheren Ableitungen verschwinden. Dann bleiben zur Charakterisierung des Zustands nur noch zwei Zahlen übrig (Ort und Geschwindigkeit) Das zweite Gesetz von Newton lässt sich in zwei Teilen einführen: der erste Teil beschreibt die Kraft von außen, die auf den Massepunkt einwirkt und als seine Beschleunigung wirkt als proportional der Beschleunigung. Der zweite Teil: die Wirkung, die diese Kraft auf die (träge) Masse hat, hängt nur von dessen aktuellem Zustand ab und der ist wiederum in den zwei Zahlen Ort und Geschwindigkeit enthalten. Aus diesen beiden Annahmen erhält man eine Differentialgleichung, mit der das Verhalten des Systems aus den aktuellen Zustandsbeobachtungen abgeleitet werden kann. Das ist an der Himmelsmechanik erstmals erfolgreich getestet worden. Die „Decodierung“ (siehe Schritt 4 in Folie 12 der ersten Stunde) der Vorhersagen des formalen Systems in der Welt astronomischer Beobachtungen konnte dort bestätigt werden.

9 Zustandsysteme Kontinuierliche Zustandssysteme (Dynamische Systeme)
Diskrete Zustände (Diskrete dynamische Systeme), z.B.: Endliche Automaten (Zeit und Zustände sind diskret) Zelluläre Automaten ( “ )

10 Kontinuierliche dynamische Systeme
Def.: Ein dynamisches System ist ein Paar (f , X), wobei f eine n-dimensionale Abbildung, X eine n-dimensionale Menge ist. Es gilt (Bewegungsgleichung) ist der Zustand des Systems, X der Zustandsraum, Hängt nicht explizit von der Zeit ab, heisst das System autonom: durch Vorgabe eines Anfangswertes liegt die Entwicklung fest (Determinismus)

11 Zustände eines dynamischen Systems
Was ist ein Zustand (eines dynamischen Systems)? Der Zustand eines dynamischen Systems zu einem Zeitpunkt wird durch Angabe einer Menge von Zustandsgrößen als Vektor beschrieben: Die Menge der Zustandsgrößen sind genau die, deren Werte man alle kennen muss, um das Verhalten des Systems in der nahen Zukunft vorhersagen zu können. (?) Zustandsvektoren sind nicht eindeutig. Der Zustandsbegriff sieht harmloser aus als er ist. Die Identifikation des Zustandsvektors ist der entscheidende Schritt bei der Modellbildung und oft ein sehr langsamer Prozess. Die Lieblings-Systeme der Einzelwissenschaften sind oft mehr Zufallsprodukte. Die Zustandsvektoren spannen den Zustandsraum auf; die Dimension n des Zustandsraums zu finden ist i.a. sehr schwierig. (Ist n z.B. unendlich?)

12 Zustandsbeschreibung von Systemen
Folgende Elemente werden benötigt: Zustandsvektor Eingangsvektor Parametervektor Ausgabevektor Systemfunktion Ausgangsfunktion

13 Zeitkontinuierliche Systeme
beschrieben durch DGL 1. Ordnung Zustandsgleichung Ausgangsgleichung Beispiel: Fallende Masse mit Luftreibung Theorie: Lösungen sind stetig und diff.bar, jeder Zeitpunkt kommt vor Wie man am Beispiel sieht, kann man z.B. eine DGL 2. Ordnung als 2 Gleichungen erster Ordnung beschreiben. In der Vorlesung zu Simulationsmodellen zeigen wir Ihnen, wie man das praktisch macht, wie man das simuliert, Hier jetzt nur eine Demo, die sie schon kennen, aber nun hoffentlich ein bisschen besser verstehen als beim ersten Mal. Sie können sie im Internet besuchen und ausprobieren. Praxis: Diskretisierung erforderlich, nur diskrete Zeitpunkte, Diskretisierungsfehler

14 Laplace ( ): „Ein Geist, der für einen Augenblick alle Kräfte kennte, welche die Natur beleben, und die gegenseitige Lage alle Wesenheiten, aus denen sie besteht, müsste, wenn er umfassend genug wäre, um all diese Dinge der mathematischen Analyse unterwerfen zu können, in derselben Formel die Bewegung der größten Himmelskörper und des leichtesten Atoms begreifen, nichts wäre ungewiss für ihn, und Zukunft wie Vergangenheit läge seinem Auge offen da.“ Warum soll es nicht an allen Systemen funktionieren, wenn es an ein paar (das Fallen des Apfels von Baum und das Fallen des Mondes um die Erde) so gut funktioniert hat?

15 Modellierung von Systemen
Zitat Bjerkenes Ein sehr weitsichtiger Meteorologe erkennt vor 100 Jahren, dass die Wettervorhersage im Prinzip dasselbe ist wie, die Vorhersage der nächsten Mondfinsternis. Es ist nur noch ein technisches Problem die Daten des aktuellen Zustandes der Atmosphäre genau genug zu messen und die vielen Gleichungen schnell genug zu lösen. Beides kann man heute und es funktioniert tatsächlich! Ein wichtiger Punkt war dabei: Er hatte recht und die benutzten Gleichungen haben sich nicht mehr geändert, Das Problem war damals theoretisch bereits gelöst. (aus Smith & Smith 1999)

16 aktueller Ansatz (Schellnhuber)
An autonomous willpower is required ... which intervenes from outside ... The Global Subject transcends the sum of the physical individual desires and impulses of all elements of A as a result of a self-referential process. Mit den Bestandteilen: Erde Ökosphäre Menschliche Sphäre Globales Subjekt B: Brain V: Values M: Management (konstante Menge an Optionen) In dieser Weise möchte man ebenso die heutigen Umweltprobleme behandeln. Ein typischer Ansatz zum Umgang mit den aktuellen Klimaänderungen enthält eine klassische Zustandsbeschreibung der Welt. Im Unterschied zur Atmosphäre sind aber hier die biologischen Systeme ein Bestandteil. Nur der Mensch als Träger eines freien Willens bleibt auf wundersame Weise draußen.

17 Annahmen The simplifying assumption of the time invariance of {M} is justified by two reasons: We remain in the structural framework of conventional control theory Management strategies are long-term in character

18 Die Anwendung Each M(t) represents a certain time sequence of management modules that can be activated... In order to achieve...a direct intervention into the biogeophysical metabolism of N ( „Geo-engineering“) M(t) may also represent indirect measures, e.g. regulatory laws, etc. Pfadbündel von möglichen Zukünften Das sieht immer noch so aus, wie bei den Astronomen und den Meteorologen. Der kleine Unterschied ist aber, dass hier die zugehörige Theorie für lebende Systeme völlig unbekannt ist. Viele bezweifeln, dass es sie überhaupt gibt. Was hier bleibt um F2 oder G2 zu lösen sind alles andere als nur technische Probleme, die durch Fortschritt in der Rechengeschwindigkeit erledigt werden. Dabei ist der Zustand des Globalen Subjekts nach Außen verlegt und wird als nicht-berechenbar betrachtet

19 Die physikalische und metaphysikalische Dimension des Erdsystems
(Schellnhuber 1998) Aus dem Buch von Schellnhuber About the nature of the Global Subject: „... which is just as unreal as „the life“ of an organism composed of millions of molecules... „

20 Zustands-Konzept: Übertragen auf die gesamte Geo- und Biosphäre
Ein typisches Beispiel für die Darstellung eines Zustandsraumes. Die Gleichungen legen darin die Pfade fest,die durch die Auswahl der Anfangs- und Randbedingungen die Dynamik eines konkreten Systems beschreiben Figure 3 A 'theatre world' for representing paradigms of sustainable development. The space of all conceivable co-evolution states P=( N, A) is spanned by a 'natural' axis, N (representing, say, global mean temperature) and a civilizatory axis, A (representing, say, global gross product). Vertical lines at Ncrit(1) and Ncrit (2) delimit the niche of subsistence states for humanity between an ultra-cold 'Martian regime' and an ultra-hot 'Venusian regime'. The domain U(P0) ('accessible universe') embraces all possible co-evolution states that can be reached from the present state P0 by some management sequence from the overall pool. U(P0) contains specific 'catastrophe domains' K1 and K2. Schellnhuber in Nature: Figure 3 A 'theatre world' for representing paradigms of sustainable development. The space of all conceivable co-evolution states P=( N, A) ...

21 Gibt es ökologische Naturgesetze ?
Auf einer Tafel im Fichtelgebirge: „Alles Leben in einer Hecke steht miteinander in Verbindung. Es unterliegt einem andauernden natürlichen Kreislauf. Dieser ist so ausgereift, dass ohne Eingriffe von außen keine einzelne Art überhand nimmt ...“ „Man spricht vom natürlichen Gleichgewicht – einem Naturgesetz“ Man kann so tun, als gäbe es ökologische Naturgesetze, aber welche sind das? Reicht es nicht sich Organismen als (sehr komplizierte Maschinen, chemische Fabriken, Computer, etc. vorzustellen? Ist alles darüber hinaus nicht eine Neuauflage von Vitalismus? Dazu in den folgenden Stunden mehr

22 Evolution und Mechanismus
Dobhansky (1941): Nichts in der Biologie macht Sinn, außer im Lichte der Evolution. Review zur „Evolution“ in Science (1999): Evolution ist der Mechanismus, der die Diversität des Lebens produziert. Rosen (2000): Die Beziehung zwischen Biologie und Mechanismen war stets problematisch, sie bis heute aber immer einflussreicher geworden. Robert Rosen ( ) Zitat : Essays on Life Itself (S.35) Bis heute kann die theoretische Physik nichts zur Biosphäre beitragen Es gibt hier also ein paar ganz grundsätzliche offene Fragen. Die Modellbildung von lebenden Systeme ist (wahrscheinlich, möglicher Weise, etc.) keine bloße Anwendung bereits vorhandener (physikalischer) Theorie. Es ist ein offenes Forschungsgebiet.