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Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004 -29.4. Einführung, Modelle, Modellklassen - 6.5. Zustandsmodelle, Rekursion -13.5. Phänomenologie, zelluläre.

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1 Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS Einführung, Modelle, Modellklassen Zustandsmodelle, Rekursion Phänomenologie, zelluläre Automaten Populationsmodelle (FK) Individuenbasierte Modelle (FK) Transportgleichungen und -modelle Konzeptionelle Modelle der Hydrologie Fallbeispiel Gårdsjön: Parameteridentifikation Modelle zur Gewässerversauerung Flussnetzwerke, Modelle in der Geomorphologie Besprechung der Übungsaufgaben (FK) -1-2 weitere Termine: Besprechung der Übungsaufgaben (FK)

2 R.Rosen (1991): The central concept of Newtonian mechanics, from which all others flow as corollaries or collaterals, is the concept of state, and with it, the effective introduction of recursion as the basic underpinning of science it self.

3 Allgemein: Rekursion r: Startwert aus der Def. Menge T: Abbildung über einer Menge f(n): Funktion, die durch die Abbildung und den Startwert erzeugt wird

4 Beispiel: Rekursion in der Fibonacci Reihe Rosen (1991): This apparently trivial situation is the germ on which the state concept and hence contemporary physics rests. Der nächste Schritt besteht darin, den zweiten Zeitpunkt zu beseitigen

5 Kausalität bei Aristoteles: 1.Materieller Grund: Anfangswert 2.Effektiver Grund: Abbildung T 3.Formaler Grund: Exponent n 4.Finaler Grund: (nicht mehr erlaubt) Antworten auf die Fragen Warum f(n) ? Kausalität manifestiert sich durch Zustandsübergänge

6 Taylors Theorem: Für eine reelle, stetige und differenzierbare Funktion gilt: Die Werte einer Funktion an einem Punkt ( t 0 ) bestimmen das Verhalten in dessen Umgebung ( t+h )

7 Beispiel für eine rekursive Funktion Von dieser Funktion stellen wir eine Reihe von Chroniken her und finden eine Taylor Reihe:

8 Historisches Beispiel: Ansätze für Bewegungsmodelle Newton –Kraft zur Veränderung von Bewegung –Bewegung als Zustand –Anfangsbedingungen legen Entwicklung fest –abstraktes Modell –idealisierte Experimente

9 Kontinuierliche Zustandssysteme (Dynamische Systeme) Diskrete Zustände (Diskrete dynamische Systeme), z.B.: - Endliche Automaten (Zeit und Zustände sind diskret) - Zelluläre Automaten ( ) Zustandsysteme

10 Kontinuierliche dynamische Systeme Def.: Ein dynamisches System ist ein Paar (f, X), wobei f eine n-dimensionale Abbildung, X eine n-dimensionale Menge ist. Es gilt(Bewegungsgleichung) ist der Zustand des Systems, X der Zustandsraum, Hängtnicht explizit von der Zeit ab, heisst das System autonom: durch Vorgabe eines Anfangswertes liegt die Entwicklung fest (Determinismus)

11 Zustände eines dynamischen Systems Was ist ein Zustand (eines dynamischen Systems)? Der Zustand eines dynamischen Systems zu einem Zeitpunkt wird durch Angabe einer Menge von Zustandsgrößen als Vektor beschrieben: Die Menge der Zustandsgrößen sind genau die, deren Werte man alle kennen muss, um das Verhalten des Systems in der nahen Zukunft vorhersagen zu können. (?) Zustandsvektoren sind nicht eindeutig. Die Zustandsvektoren spannen den Zustandsraum auf; die Dimension n des Zustandsraums zu finden ist i.a. sehr schwierig. (Ist n z.B. unendlich?)

12 Zustandsbeschreibung von Systemen Folgende Elemente werden benötigt: Zustandsvektor Eingangsvektor Parametervektor Ausgabevektor Systemfunktion Ausgangsfunktion

13 Zeitkontinuierliche Systeme Beispiel: Fallende Masse mit Luftreibung beschrieben durch DGL 1. Ordnung Zustandsgleichung Ausgangsgleichung Theorie: Lösungen sind stetig und diff.bar, jeder Zeitpunkt kommt vor Praxis: Diskretisierung erforderlich, nur diskrete Zeitpunkte, Diskretisierungsfehler

14 Laplace ( ): Ein Geist, der für einen Augenblick alle Kräfte kennte, welche die Natur beleben, und die gegenseitige Lage alle Wesenheiten, aus denen sie besteht, müsste, wenn er umfassend genug wäre, um all diese Dinge der mathematischen Analyse unterwerfen zu können, in derselben Formel die Bewegung der größten Himmelskörper und des leichtesten Atoms begreifen, nichts wäre ungewiss für ihn, und Zukunft wie Vergangenheit läge seinem Auge offen da.

15 Modellierung von Systemen (aus Smith & Smith 1999) Zitat Bjerkenes

16 aktueller Ansatz (Schellnhuber) Mit den Bestandteilen: Erde Ökosphäre Menschliche Sphäre Globales Subjekt –B: Brain –V: Values –M: Management (konstante Menge an Optionen) An autonomous willpower is required... which intervenes from outside... The Global Subject transcends the sum of the physical individual desires and impulses of all elements of A as a result of a self- referential process.

17 Annahmen The simplifying assumption of the time invariance of {M} is justified by two reasons: 1.We remain in the structural framework of conventional control theory 2.Management strategies are long-term in character

18 Die Anwendung Each M(t) represents a certain time sequence of management modules that can be activated... In order to achieve...a direct intervention into the biogeophysical metabolism of N ( Geo-engineering) M(t) may also represent indirect measures, e.g. regulatory laws, etc. Pfadbündel von möglichen Zukünften Dabei ist der Zustand des Globalen Subjekts nach Außen verlegt und wird als nicht-berechenbar betrachtet

19 Die physikalische und metaphysikalische Dimension des Erdsystems (Schellnhuber 1998) About the nature of the Global Subject:... which is just as unreal as the life of an organism composed of millions of molecules...

20 Zustands-Konzept: Übertragen auf die gesamte Geo- und Biosphäre Schellnhuber in Nature: Figure 3 A 'theatre world' for representing paradigms of sustainable development. The space of all conceivable co-evolution states P=( N, A)...

21 Gibt es ökologische Naturgesetze ? Auf einer Tafel im Fichtelgebirge: Alles Leben in einer Hecke steht miteinander in Verbindung. Es unterliegt einem andauernden natürlichen Kreislauf. Dieser ist so ausgereift, dass ohne Eingriffe von außen keine einzelne Art überhand nimmt... Man spricht vom natürlichen Gleichgewicht – einem Naturgesetz

22 Evolution und Mechanismus Dobhansky (1941): Nichts in der Biologie macht Sinn, außer im Lichte der Evolution. Review zur Evolution in Science (1999): Evolution ist der Mechanismus, der die Diversität des Lebens produziert. Rosen (2000): Die Beziehung zwischen Biologie und Mechanismen war stets problematisch, sie bis heute aber immer einflussreicher geworden.


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