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Modellieren und offene Aufgaben Eine lohnende (aber schwierige) Öffnung für den Mathematikunterricht Matthias Ludwig PH Weingarten 17.11.2008 Waldfischbach.

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1 Modellieren und offene Aufgaben Eine lohnende (aber schwierige) Öffnung für den Mathematikunterricht Matthias Ludwig PH Weingarten 17.11.2008 Waldfischbach

2 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Infos zum Vortrag: Googlen nach: Matthias Ludwig

3 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Struktur Kurze theoretische Einführung Fermiaufgaben Kleine Modellierungsaufgaben Forschung zu den Modellierungsaufgaben Weitere Vorschläge Zusammenfassung

4 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Unsere mathematischen Begriffe, Strukturen und Vorstellungen sind erfunden worden als Werkzeuge, um die Phänomene der natürlichen, sozialen und geistigen Welt zu ordnen. (Freudenthal 1983) Erzeugen einer a-didaktischen Situation (Brousseau1997)

5 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Mathematische Begriffe sind Werkzeuge zur Erschließung der Welt. Ziele mathematischer Grundbildung sind begriffliches Verstehen und funktionales Verwenden von Mathematik, nicht nur technische Fertigkeiten und Kenntnisse. Zur Lösung einer typischen (hochbepunkteten) PISA-Aufgabe gehört vor allem das Modellieren außer- und innermathematischer Problemsituationen. Grundbildung nach PISA

6 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Mathematisches Modellieren im Sinne von: Beschreibung realer funktionaler Zusammenhänge (Flugbahn) Nachbauen, bzw. Nachbilden Finden einer Erklärung Vorhersagen treffen (Wetter/ Fußballergebnisse, Sonnenfinsternisse) Vorschreiben (Tarife)

7 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Modellieren aus dem Blickwinkel von Lehrenden und Lernenden: Rechnen mit dem was man weiß und kann. Sich irgendwie durchschlängeln. Ob´s richtig ist,weiß der Lehrer ja auch nicht immer. Das ist alles so diffus.

8 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Fermiaufgaben Klavierstimmer Tankstellen Friseure Todesfälle pro Tag (Anzahl der Bestatter) Infos: www.welt-in-zahlen.de

9 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Der Elfmeter Kann man mathematisch die Verwandlungshäufigkeit abschätzen?

10 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Der Elfmeter Mathematische Modellbildung für Verwandlungshäufigkeit Genial einfache Idee: –Das Tor hat vier Ecken (und eine Mitte)

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12 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Der Elfmeter Die Flächenidee –Tor 8Yard x 8Fuß= 7,32m x 2,44m =ca. 18m 2 –Torwart 1,6m x1,9m+ 0.5x 0.95m 2 x =4,45m 2 –75% der Torfläche sind nicht abgedeckt.

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14 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Elfmeter Bayern München 190:245 =>77,5% Frankfurt 143:196 =>73%

15 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Der Elfmeter

16 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Theoriebasis Basis ist der klassische idealisierte Modellierungskreislauf (z.B. Blum et al.) RS SM RM MM ME RE Verstehen Vereinfachen Strukturieren Mathematisieren Rechnen Interpretieren Validieren Vermitteln/Erklären Stufe 0 Stufe 1Stufe 2 Stufe 3 Stufe 4 Stufe 5

17 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Gedanken zum Ball: Wie lange braucht man um einen Fußball zu nähen? Wie viele Stiche braucht man für einen Fußball?

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19 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 90 Kanten 10 Stiche für jede Kante. 10 Sekunden für jeden Stich. 9000 Sekunden 2,5 Stunden

20 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Stufe 0: Die Realsituation wurde nicht erfasst. Es fällt schwer die Aufgabenzeichnungen der SchülerInnen mit der Aufgabenstellung in Verbindung zu bringen. Die SchülerInnen haben also nicht den Einstieg in den Modellierungskreislauf gefunden. Bsp: Die SchülerInnen haben einfach nur geschätzt, wie lange es dauert um einen Fußball zu nähen, ohne genauere Angaben zu machen, wie sie zu dieser Schätzung gekommen sind. Sie schreiben Zusammenhangloses auf ihr Arbeitsblatt. Sie geben ein unbeschriftetes Arbeitsblatt ab.

21 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Stufe 1: Die SchülerInnen haben die reale Situation erkannt und versuchen diese zu strukturieren um ein mathematisches Modell zu finden, letztendlich mündet dies aber in keiner weiterführenden Idee. Bsp: Sie versuchen, die einzelnen Panels zu zählen, erkennen aber nicht, dass der Ball aus 5- und 6- Ecken besteht. Sie versuchen einen Fußball aufzuzeichnen.

22 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Stufe 2: Die SchülerInnen äußern eine sinnvolle Vermutung und sind in der Lage ein mathematisches Modell vorzuschlagen, aber dieses Modell wurde nicht konsequent mathematisiert. Bsp: Sie zählen die 5- und 6-Ecke des Balls. Anschließend versuchen sie die Anzahl der Kanten herauszubekommen, erkennen aber nicht, dass eine Nahtstelle aus zwei Kanten besteht.

23 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Ergebnisse Signifikante Unterschiede zwischen den Jahrgangstufen 5, 6/7 und 8

24 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Ergebnisse Keine signifikanten Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen.

25 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Ergebnisse

26 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Die Ananasaufgabe

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31 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Film

32 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Eine Lösungsmöglichkeit

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34 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Stoff der Klasse 9

35 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Konsekutive Stufen Durchlauf nicht immer konsekutiv.(Boromeo Ferri) Jede Stufe stellt aber eine kognitive Hürde dar (Blum/ Leiß). Je weiter im Kreislauf desto mehr Stufen musste man (kognitiv) überwinden.

36 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Forschungsfragen Ergeben sich bei der Lösung der Modellierungsaufgabe Unterschiede bzgl. der Jahrgangstufe, der Kulturen und des Geschlechts? Welches Niveau wird erreicht? Welche Hürden bilden besondere Schwierigkeiten?

37 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Stufe 0

38 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Stufe 4

39 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Stufe 5

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41 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Ergebnisse Insgesamt geringes Niveau. Kaum Unterschiede zwischen den Kulturen in der Gesamtperformance. Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen (Performance & Level). Nach jeder Jahrgangstufe (hoch-) signifikante Leistungsunterschiede. Verschiedene Barrierestufen.

42 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Ergebnisse Kl. 9Kl. 10Kl. 11 N SDN SDN SD C (676)2061,411,252491,671,122212,181,40 D (428).1451,591,411471,671,431362,161,38

43 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Entwicklung der Jungs und Mädchen

44 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Deutsche Jungs. hochsignifikante Zuwächse 11 gegen 10 und 9 (p<.005) Effektstärke (0,49) Deutsche Mädchen: keine signifikanten Unterschiede zwischen den Jahrgangsstufen Keine statistisch signifikanten Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen in Klasse11. In den Kl. 9 und 10 sind diese Unterschiede größer aber auch nicht signifikant. Differentielle Analyse

45 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Unterschiede Auffallend: Level 5 wird nur von Jungs erreicht. Level 4 scheint für Mädchen eine Barriere zu sein.

46 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Probleme beim Modellieren (Blum et al.) Alle Schritte des Kreislaufes sind potentielle kognitive Hürden Schüler benutzen keine bewussten Lösungsstrategien Schüler dürfen nicht alleine arbeiten Lehrende geben zu viele Inhaltliche Hilfen.

47 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Ideales Stundenskript Vorstellung der Aufgabe im Plenum Zunächst Einzelarbeit Gruppenarbeit Individuelles Aufschreiben der Lösungen Präsentation von Lösungen im Plenum Vergleich der Lösungen und reflektierender Rückblick

48 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens 17.11.2008 Weitere Beispiele Das Schullotto –Entwerft ein geeignetes Lotto für ein Schulfest.


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