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Modellieren und offene Aufgaben Eine lohnende (aber schwierige) Öffnung für den Mathematikunterricht Matthias Ludwig PH Weingarten 17.11.2008 Waldfischbach.

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1 Modellieren und offene Aufgaben Eine lohnende (aber schwierige) Öffnung für den Mathematikunterricht Matthias Ludwig PH Weingarten Waldfischbach

2 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Infos zum Vortrag: Googlen nach: Matthias Ludwig

3 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Struktur Kurze theoretische Einführung Fermiaufgaben Kleine Modellierungsaufgaben Forschung zu den Modellierungsaufgaben Weitere Vorschläge Zusammenfassung

4 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Unsere mathematischen Begriffe, Strukturen und Vorstellungen sind erfunden worden als Werkzeuge, um die Phänomene der natürlichen, sozialen und geistigen Welt zu ordnen. (Freudenthal 1983) Erzeugen einer a-didaktischen Situation (Brousseau1997)

5 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Mathematische Begriffe sind Werkzeuge zur Erschließung der Welt. Ziele mathematischer Grundbildung sind begriffliches Verstehen und funktionales Verwenden von Mathematik, nicht nur technische Fertigkeiten und Kenntnisse. Zur Lösung einer typischen (hochbepunkteten) PISA-Aufgabe gehört vor allem das Modellieren außer- und innermathematischer Problemsituationen. Grundbildung nach PISA

6 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Mathematisches Modellieren im Sinne von: Beschreibung realer funktionaler Zusammenhänge (Flugbahn) Nachbauen, bzw. Nachbilden Finden einer Erklärung Vorhersagen treffen (Wetter/ Fußballergebnisse, Sonnenfinsternisse) Vorschreiben (Tarife)

7 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Modellieren aus dem Blickwinkel von Lehrenden und Lernenden: Rechnen mit dem was man weiß und kann. Sich irgendwie durchschlängeln. Ob´s richtig ist,weiß der Lehrer ja auch nicht immer. Das ist alles so diffus.

8 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Fermiaufgaben Klavierstimmer Tankstellen Friseure Todesfälle pro Tag (Anzahl der Bestatter) Infos:

9 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Der Elfmeter Kann man mathematisch die Verwandlungshäufigkeit abschätzen?

10 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Der Elfmeter Mathematische Modellbildung für Verwandlungshäufigkeit Genial einfache Idee: –Das Tor hat vier Ecken (und eine Mitte)

11 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens

12 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Der Elfmeter Die Flächenidee –Tor 8Yard x 8Fuß= 7,32m x 2,44m =ca. 18m 2 –Torwart 1,6m x1,9m+ 0.5x 0.95m 2 x =4,45m 2 –75% der Torfläche sind nicht abgedeckt.

13 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens

14 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Elfmeter Bayern München 190:245 =>77,5% Frankfurt 143:196 =>73%

15 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Der Elfmeter

16 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Theoriebasis Basis ist der klassische idealisierte Modellierungskreislauf (z.B. Blum et al.) RS SM RM MM ME RE Verstehen Vereinfachen Strukturieren Mathematisieren Rechnen Interpretieren Validieren Vermitteln/Erklären Stufe 0 Stufe 1Stufe 2 Stufe 3 Stufe 4 Stufe 5

17 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Gedanken zum Ball: Wie lange braucht man um einen Fußball zu nähen? Wie viele Stiche braucht man für einen Fußball?

18 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens

19 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Kanten 10 Stiche für jede Kante. 10 Sekunden für jeden Stich Sekunden 2,5 Stunden

20 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Stufe 0: Die Realsituation wurde nicht erfasst. Es fällt schwer die Aufgabenzeichnungen der SchülerInnen mit der Aufgabenstellung in Verbindung zu bringen. Die SchülerInnen haben also nicht den Einstieg in den Modellierungskreislauf gefunden. Bsp: Die SchülerInnen haben einfach nur geschätzt, wie lange es dauert um einen Fußball zu nähen, ohne genauere Angaben zu machen, wie sie zu dieser Schätzung gekommen sind. Sie schreiben Zusammenhangloses auf ihr Arbeitsblatt. Sie geben ein unbeschriftetes Arbeitsblatt ab.

21 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Stufe 1: Die SchülerInnen haben die reale Situation erkannt und versuchen diese zu strukturieren um ein mathematisches Modell zu finden, letztendlich mündet dies aber in keiner weiterführenden Idee. Bsp: Sie versuchen, die einzelnen Panels zu zählen, erkennen aber nicht, dass der Ball aus 5- und 6- Ecken besteht. Sie versuchen einen Fußball aufzuzeichnen.

22 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Stufe 2: Die SchülerInnen äußern eine sinnvolle Vermutung und sind in der Lage ein mathematisches Modell vorzuschlagen, aber dieses Modell wurde nicht konsequent mathematisiert. Bsp: Sie zählen die 5- und 6-Ecke des Balls. Anschließend versuchen sie die Anzahl der Kanten herauszubekommen, erkennen aber nicht, dass eine Nahtstelle aus zwei Kanten besteht.

23 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Ergebnisse Signifikante Unterschiede zwischen den Jahrgangstufen 5, 6/7 und 8

24 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Ergebnisse Keine signifikanten Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen.

25 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Ergebnisse

26 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Die Ananasaufgabe

27 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens

28 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens

29 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens

30 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens

31 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Film

32 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Eine Lösungsmöglichkeit

33 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens

34 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Stoff der Klasse 9

35 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Konsekutive Stufen Durchlauf nicht immer konsekutiv.(Boromeo Ferri) Jede Stufe stellt aber eine kognitive Hürde dar (Blum/ Leiß). Je weiter im Kreislauf desto mehr Stufen musste man (kognitiv) überwinden.

36 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Forschungsfragen Ergeben sich bei der Lösung der Modellierungsaufgabe Unterschiede bzgl. der Jahrgangstufe, der Kulturen und des Geschlechts? Welches Niveau wird erreicht? Welche Hürden bilden besondere Schwierigkeiten?

37 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Stufe 0

38 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Stufe 4

39 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Stufe 5

40 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens

41 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Ergebnisse Insgesamt geringes Niveau. Kaum Unterschiede zwischen den Kulturen in der Gesamtperformance. Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen (Performance & Level). Nach jeder Jahrgangstufe (hoch-) signifikante Leistungsunterschiede. Verschiedene Barrierestufen.

42 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Ergebnisse Kl. 9Kl. 10Kl. 11 N SDN SDN SD C (676)2061,411,252491,671,122212,181,40 D (428).1451,591,411471,671,431362,161,38

43 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Entwicklung der Jungs und Mädchen

44 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Deutsche Jungs. hochsignifikante Zuwächse 11 gegen 10 und 9 (p<.005) Effektstärke (0,49) Deutsche Mädchen: keine signifikanten Unterschiede zwischen den Jahrgangsstufen Keine statistisch signifikanten Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen in Klasse11. In den Kl. 9 und 10 sind diese Unterschiede größer aber auch nicht signifikant. Differentielle Analyse

45 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Unterschiede Auffallend: Level 5 wird nur von Jungs erreicht. Level 4 scheint für Mädchen eine Barriere zu sein.

46 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Probleme beim Modellieren (Blum et al.) Alle Schritte des Kreislaufes sind potentielle kognitive Hürden Schüler benutzen keine bewussten Lösungsstrategien Schüler dürfen nicht alleine arbeiten Lehrende geben zu viele Inhaltliche Hilfen.

47 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Ideales Stundenskript Vorstellung der Aufgabe im Plenum Zunächst Einzelarbeit Gruppenarbeit Individuelles Aufschreiben der Lösungen Präsentation von Lösungen im Plenum Vergleich der Lösungen und reflektierender Rückblick

48 PH Weingarten Matthias LudwigPirmasens Weitere Beispiele Das Schullotto –Entwerft ein geeignetes Lotto für ein Schulfest.


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