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Mh9S178Nr2 Biquadratische GleichungenXX a.z² -9z=0; z(z-9)=0; z 1 =x 1 ²=0; z 2 =x 2 ²=9; x 1 =0 x 2 = -3 x 3 =+3 d. 2z² -10z + 8 = 0; z 1 = x 1 ² =1 z.

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1 Mh9S178Nr2 Biquadratische GleichungenXX a.z² -9z=0; z(z-9)=0; z 1 =x 1 ²=0; z 2 =x 2 ²=9; x 1 =0 x 2 = -3 x 3 =+3 d. 2z² -10z + 8 = 0; z 1 = x 1 ² =1 z 2 = x 2 ² = 4; x 1 =-1 x 2 = 1 x 3 =-2 x 4 = 2 Der Ausdruck Substitution (von lat. substituere = ersetzen) bezeichnet allgemein das Ersetzen einer bestimmten Sache durch eine andere. Der Ausdruck findet Anwendung in verschiedenen Fachgebieten.

2 Mh9S178Nr3 Lösungen der Biquadratische Gleichungen a.(x²-5)²=x 4 -10x²+25=16; z²-10z+9=0 z 1 =x 1 ²=1; z 2 =x 2 ²=9; x 1 =-1 x 2 = +1 x 3 =-3 x 4 =3 vier Lösungen (x²-4)²=x 4 -8x²+16=16; z²-8z=0 z 1 =x 1 ²=0; z 2 =x 2 ²=8; x 1 =0 x 2 = - 8 x 3 = 8 drei Lösungen (x²-3)²=x 4 -6x²+9=16; z²-6z-7=0 z 1 =x 1 ²=-1; z 2 =x 2 ²=7; x 1 = - 7 x 2 = 7 zwei Lösungen (x²+4)²=x 4 +8x²+16=16; z²+8z=0 z 1 =x 1 ²=0; z 2 =x 2 ²=-8; x 1 = 0 eine Lösung und keine Lösung (x²+5)²=x 4 +10x²+25=16; z²+10z+9=0 z 1 =x 1 ²=-9; z 2 =x 2 ²=-1; IL={} b. Die biquadratische Gleichung kann durch Substitution in eine quadratische Gleichung überführt werden, die höchstens 2 Lösungen hat. Die Rücksubstitution führt zu je einer quadratischen Gleichung die wiederum maximal zwei Lösungen hat.

3 Mh9S178Nr4 +5 Biquadratische Gleichungen x 0; x 2; HN.: x·(x-2); x² -9x +20 = 0 x 1 = 4; x 2 = 5 x = ganzer Schwarm; x +8/9x + 4 = x; x² -153x+1296=0; x= 144

4 Mh9S178Nr6 Biquadratische Gleichungen a.biquadratisch z² -4z =0 z 1 =x 1 ²=0; z 2 =x 2 ²=4; x 1 =0; x 2 =-2; x 3 =2 b.nicht biquadratisch c.nicht biquadratisch d.biquadratisch 3z² -9z -12=0 z 1 =x 1 ²=4; z 2 =x 2 ²=-1; x 1 =-2; x 2 =2

5 Mh9S178Nr7 Biquadratische Gleichungen a.z = x²; z² = z 1 =x 1 ²=100; z 2 =x 2 ²=-100; x 1 =-10; x 2 =10 z = x²; z² =0,0081 z 1 =x 1 ²=0,09; z 2 =x 2 ²=-0,09; x 1 =-0,3; x 2 =0,3 b.z = x²; z² =0 z 1 =x 1 ²= 0; x 1 = 0 z = x²; z² - z= 0 z 1 =x 1 ²= 0; z 2 =x 2 ²=1; x 1 =0; x 2 =-1; x 3 = 1 c.z = (x+3)²; z² =16 z 1 =x 1 ²=-4; z 2 =x 2 ²=+4; (x 1 +3)²=-4; x 1 ² +6x 1 +13=0 D < 0 (x 2 +3)²=4 x 2 ² +6x 2 +9=0 x 2 =-5; x 3 =-1 z = (x+5)²; z² =0 z 1 =x²=0; (x+5)²=0; x=-5 d.z = x²; z² +16z = 0 z 1 =x 1 ²=0; z 2 =x 2 ²=-16; x=0; z = x²; z² - 16z = 0 z 1 =x 1 ²=0; z 2 =x 2 ²=16; x 1 =-4; x 2 =4

6 Mh9S178Nr8 Biquadratische Gleichungen a.z = x²; z² -25z=0 x 1 = 0; x 2 = -5; x 3 = 5 z = x²; 25z²-z =0 x 1 = 0; x 2 = -1; x 3 = 1 b.y 4 –10y²+9=0 z = y²; y 1 =-3; y 2 =+3; y 3 = -1; y 4 = 1 x = z²; x 2 –16x+15=0; z 1 =-4; z 2 =+4; z 3 = -1; z 4 = 1 c.z = x²; z ² –13z+36=0 x 1 =-3; x 2 =+3; x 3 = -2; x 4 = 2 z = y²; z ² +10z+ 9 =0 z 1 =-9; z 2 =-1; keine Lösung d.x = z²; x ² –24x -25=0 x 1 =-1; x 2 =25; z 1 = -5; z 2 = 5 z = x²; z ² –26z+25=0 x 1 =-5; x 2 =5; x 3 = -1; x 4 = 1

7 Mh9S178Nr9 Biquadratische Gleichungen Ansatz: x = 1. Kathete y = 2. Kathete x·y = 120 x² + y² = 26² x1= 25,57; x2= 4,69; y1=4,69; y2=25,57

8 Mh9S178Nr10 Biquadratische Gleichungen a. Ansatz: x 4 –12 = x² Lösungen: x 1 = -2; x 2 = 2 b. Ansatz 2x 4 –3 = 5x² Lösungen: x 1;2 = ±2· 2; x 3;4 = ± 4,5

9 Mh9S178Nr10 Lösung durch Substitution a.Ansatz: z = x³ z² - 9z +8 = 0 Lösungen: x 1 ³= 7,87; x 1 = 1,99 x 2 ³= 1,13; x 2 = 1,04 b.Ansatz: z = y³ z² +7z -8 = 0 Lösungen: y 1 ³= -8; y 1 = -2 y 2 ³= 1; y 2 = 1 c.Ansatz: z = x 4 z² -17z +16= 0 Lösungen: x 1 4 = 16; x 1 =-2 x 2 =2 x 3 4 = 1; x 3 =-1 x 4 =1 d.Ansatz: x = z 4 x² +15x -16= 0 Lösungen: z 1 4 = -16; z 2 4 = 1; z 1 =-1 z 2 =1

10 Mh9S179Nr12 Bruchgleichungen a.x 0; x 6; HN.: x·(x-6); x² +7x -30 = 0 x 1 = -10; x 2 = 3 b.x 0; x 3; HN.: x·(x-3); x² -4x -21 = 0 x 1 = -3; x 2 = 7 l. y -2; y 2; HN.: 3·(y+2)·(y-2); y² +y -30 = 0 y 1 = 5; y 2 = -6

11 Mh9S179Nr13 Bruchgleichungen a.x -3; x 1/3; HN.: (x+3)·(1-3x); 6x² -40x-14= 0 x 1 = -1/3; x 2 = 7 b.x 0,5; x 1/12; HN.: (1-2x)·(12x-1); 24x² +42x -12 = 0 x 1 = -2; x 2 = 0,25 f. x 0,5; x -4; HN.: (2x-1)·(x+4); x² -4x -5 = 0 y 1 = -1; y 2 = 5

12 Mh9S179Nr14 Bruchgleichungen Ansatz: Zuschuss für jeden Schüler 350:x 350:(x-3)- 350:x = 1,5 x 3; x 0; HN.: x·(x-3) x² -3x –700 = 0 x 1 = -25; x 2 = 28 Es sind 28 Schüler

13 Mh9S179Nr15 Bruchgleichungen Ansatz: Länge=x Breite = y x·y = 990; (x-2)·(y-2)= x² -67x +990 = 0 x 1 = 22; x 2 = 45 y 1 = 245; y 2 = 22

14 Mh9S179Nr 16 Wurzelgleichungen 0 0,5 -0, ,333...

15 Mh9S179Nr 17 Wurzelgleichungen Ansatz:

16 Mh9S179Nr 18 Wurzelgleichungen Zu a. Der Definitionsbereich ist ganz IR, denn die Wurzel im Nenner kann weder 0 noch negativ werden. Zu f.


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