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Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann1 Copulas Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen Felix Neumann Seminar: Risikomanagement.

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1 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann1 Copulas Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen Felix Neumann Seminar: Risikomanagement 2008

2 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann2 Inhalt Einführung Einführung –Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse Das Copula - KonzeptDas Copula - Konzept –Einleitung und Definition einer Copula –Sklars Theorem und Umkehrung –Copulabasierte Zusammenhangsmaße –Fréchet-Hoeffding Grenzen –Unabhängigkeits- und Komonotonie-Copula Abstrakte CopulasAbstrakte Copulas –Archimedische Copulas (Gumbel) –Parametrische Copulas (Gauss) Konstruktion von CopulasKonstruktion von Copulas –Inversionsmethode –Lineare Konvexkombination SimulationSimulation

3 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann3 Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse Modellierung der Abhängigkeitsstruktur gehört zu den grundlegendsten Fragen des Quantitativen Risk Managements (QRM) Mehrer Möglichkeiten Zusammenhang zwischen Zufallsvariablen zu beschreiben Der lineare Korrelationskoeffizient ist ein Standardwerkzeug für den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen Bestimmt Grad der linearen Abhängigkeit mit Werten [0,1] Nur globale Größe. Ermittlung ist von den Randverteilungen abhängig (momentenbasiert)

4 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann4 Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse Bei nur paarweiser Korrelation können nicht zu kompensierende Fehler entstehen Die alleinige Angabe der Korrelation ist unzureichend Aus Unkorreliertheit folgt nicht unbedingt Unabhängigkeit Normalverteilungsannahme für Einzelrisiken kann nicht gerechtfertigt sein (z.B.Großschäden) Bekannt ist: Unterschiedliche strukturelle Risiken mit gleicher (Rand-) Verteilung können dieselbe Korrelation aufweisen

5 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann5 Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse Simulation von jeweils 5037 Risiko-Paaren

6 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann6 Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse Die Risiken X, Y und Z wurden wie folgt aus Zufallszahlen U und V erzeugt, die über dem Intervall [0,1] stetig gleichverteilt und stochastisch unabhängig sind: Man zeigt: Aufgrund obiger Konstruktion sind die Risiken X, Y und Z dann jeweils auch über dem Intervall [0,1] stetig gleichverteilt, jedoch nicht mehr unabhängig sind. Für die Korrelationen erhält man den gleichen Wert: Erheblich strukturelle Unterschiede zwischen (X,Y) und (X,Z)!! Paare (X,Y) – Quadrat (fast) gefüllt Paare (X,Z) – Besitzen keine Fläche

7 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann7 Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse Die gleichen Randverteilungen Die gleiche lineare Korrelation Jedoch: deutlich unterschiedlich! (Bild aus Eine Einführung in Copulas von Johanna Neshlehova)

8 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann8 Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse Beispiele zeigen Notwendigkeit einer präziseren Beschreibung von Abhängigkeiten auf Das Wissen der (1-dim) Randverteilungen und die Korrelationsmatrix reichen für die gemeinsame Verteilung der Komponenten des Zufallvektors nicht aus Mächtige Alternative: Das Copula - Konzept

9 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann9 Das Copula - Konzept Als vollständige Beschreibung der Abhängigkeiten Aus reiner linearer Abhängigkeit wird beliebige Abhängigkeit (was auch die stochastische Unabhängigkeit umfasst) Grundliegende Idee: Trennung der Randverteilungs- und Abhängigkeitsproblematik Der Copula allein soll die Beschreibung der Abhängigkeiten der Zufallsvariablen zukommen Die Zufallsvariablen werden selbst einzeln durch ihre eindimensionalen Randverteilung beschrieben Dadurch Anwendbarkeit zahlreicher bekannter Analyse- und Modellierungsmöglichkeiten bezüglich der Randverteilungen

10 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann10 Das Copula - Konzept Einfache Definition einer Copula Folgerungen: 1.1-dim Randverteilungen einer Copula sind Rechteckverteilungen auf [0,1] 2.Copula ist Null, falls ein = 0 Erinnerung: Die Beschreibung der Abhängigkeitsstruktur zweier Zufallszahlen erfolgt mittels der zugehörigen bivariaten Verteilungsfunktion

11 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann11 Das Copula – Konzept Einleitung und Definition Für den 2-dim Fall lässt sich ihr Verlauf auf dem Rand Einheitsquadrates [0,1]² leicht illustrieren:

12 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann12 Das Copula – Konzept Sklars Theorem Der folgende Satz ermöglicht die Aufteilung einer mehrdimensionalen Verteilung in ihre Randverteilung und eine zugehörige Copula:

13 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann13 Das Copula – Konzept Sklars Theorem Sklars Theorem gewährleistet nur die Existenz einer Copula (Die Wahl der Copula bleibt ein Modellrisiko) Beispiel und Produktcopula Bedeutung: In der Darstellung einer gemeinsamen Verteilungsfunktion mit Hilfe einer Copula werden somit die Informationen über den Zusammenhang der Zufallszahlen vollständig separiert von den Informationen über die univariaten Randverteilungsfunktionen. Die Copula ist ein Funktional der Randverteilungsfunktionen, und beschreibt die fehlenden mehrdimensionalen Abhängigkeitsstrukturen der zugrunde liegenden Zufallsvariablen

14 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann14 Das Copula – Konzept Sklars Theorem Zur Vereinfachung: Betrachtung in zwei Dimensionen

15 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann15 Das Copula – Konzept Sklars Theorem Dreht man die Pfeile um

16 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann16 Das Copula – Konzept Sklars Theorem In der Copula sind nur Informationen über die Art der Abhängigkeit von X und Y enthalten, aber keinerlei Informationen über Ihre Randverteilungen Die Randverteilungsfunktionen enthalten keinerlei Information über die Art der Abhängigkeit Mittels der Copula kann man eine gewünschte Abhängigkeitsstruktur wählen und diese mit beliebigen, gewünschten Randverteilungen kombinieren. Daraus erhält man eine gemeinsame Verteilung von X und Y, welche die gewünschte Abhängigkeitsstruktur und die gewünschte Randverteilungen aufweist.

17 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann17 Das Copula – Konzept Umkehrung von Sklars Theorem Vorab – Definition: Pseudo-Inverse einer Verteilungsfunktion F stetig und streng monoton steigend Pseudoinverse gewöhnliche Inverse der Verteilungsfunktion Erinnerung: Sei Z auf [0;1] gleichverteilt und f die Pseudo-Inverse einer Verteilungsfunktion F. Setzt man X = f ( Z ), dann hat X die Verteilungsfunktion F.

18 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann18 Das Copula – Konzept Umkehrung von Sklars Theorem Umkehrung von Sklars Theorem Wichtiges Resultat: Es ist also möglich, die Abhängigkeitsstruktur getrennt von den Randverteilungen zu betrachten. Auf den folgenden Folien besitzen die beiden Verteilungsfunktionen verschiedene Randverteilungen, haben aber die gleiche Abhängigkeitsstruktur (Copula ist identisch)

19 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann19 Verteilungsfunktion A-B

20 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann20 Verteilungsfunktion C-D

21 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann21 Das Copula – Konzept Dichte Die Dichte einer Copula ist durch ihre partiellen Ableitungen gegeben: Im Gegensatz zur Copula kann ihre Dichte Werte weit über eins annehmen Da die Dichte einer Copula teils nicht existiert bzw. anzugeben ist, ist darunter im folgenden die diskrete Dichte zu verstehen, welche numerisch aus der Copula approximiert werden kann. Die Nicht-Existienz der Dichte ist für die numerische Betrachtung der Copula nicht schlimm, die diese auf einem endlichen feinen Gitter auch immer nur zu endlichen Werten des Anstiegs führt. Die Existenz einer diskreten Dichte ist somit eingängig.

22 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann22 Das Copula – Konzept Dichte Die Dichte wird zur Simulation nicht benötigt, allerdings zur heuristischen Vorhersage: Hohe Werte der Dichte gehen mit Punkthäufungen der Simulation in diesen Bereichen überein, da die Dichte der Copula, als mehrdimensionale Verteilungsfunktion betrachtet, Wahrscheinlichkeitsmasse auf dem n-dim. Einheitswürfel [0,1]ª (a=dim n) verteilt. Interpretiert man die Copula als Funktion zur Modellierung von stochastischen Abhängigkeiten, so würde ihre Dichte entsprechendAbhängigkeitsmasse verteilen. Da die Copula eine mehrdim. Verteilungsfunktion ist, ist ihre (diskrete) Dichte schwach positiv. Somit ist diese nach unten durch Null beschränkt. Ws sind also nur noch Wertebereichsüberschreitungen im positiven Bereich zu untersuchen

23 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann23 Das Copula – Konzept Die linke Seite wird als die Fréchet-Hoeffding Untergrenze bezeichnet, ist eine Copula nur für d=2 und d = 2 entspricht der perfekten negativen Abhängigkeit oder Kontramonotonie Die rechte Seite wird als die Fréchet-Hoeffding Obergrenze bezeichnet, Ist eine Copula in jeder Dimension d 2 und entspricht der perfekten positiven Abhängigkeit oder Komonotonie (später mehr dazu)

24 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann24 Das Copula – Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmaße Der lineare Korrelationskoeffzient ist ein Zusammenhangsmaß (globales Maß) Um die durch die Copula beschriebenen Abhängigkeiten zu charakterisieren, werde Abhängigkeitsmaße definiert. Im Gegensatz zur linearen Korrelation sind diese translationsinvariant (invariant unter streng monoton wachsenden Funktionen):

25 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann25 Das Copula – Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmaße Viele auf Copulas basierende Zusammenhangsmaße beruhen auf der Konkordanz und Diskordanz Allgemein bedeutet Konkordanz, dass große Werte der Zufallsvariablen X tendenziell mit großen Werten von Y auftreten Dementsprechend ist Diskordanz der Zusammenhang kleiner Werte mit kleinen Werten Die bekanntesten Maße sind Kendalls Tau (τ) und Spearmans Rho (ρ).

26 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann26 Das Copula – Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmaße Spearmans Rangkorrelationskoeffiezient ρ: Kendalls Rangkorrelationskoeffizient : Sie lassen sich als Funktionen der Copula von X und Y darstellen und hängen somit nicht von ihren Randverteilungen ab. Jedes dieser Maße kann, bei gegebenen Randverteilungen, Werte im Intervall [-1,1] annehmen. Die Extremwerte -1 und 1 ergeben als Copula der Zufallsvariablen die zweidimensionale FH-Ober- bzw. Untergrenze.

27 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann27 Das Copula – Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmaße Der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson lässt sich nicht als Funktion der Copula C schreiben: Er hängt über die Varianzen auch von den Randverteilungen ab: Aber auch bei Kendall und Spearman bedingt der Wert 0 nicht die Unabhängigkeit der jeweiligen Zufallsvariablen Ein Maß, das dies tut: Schweizer und Wolffs Unabhängigkeitsmaß σ

28 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann28 Das Copula – Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmaße Ein Wesentliches Maß, was maßgeblich in der Finanzmathematik benutzt wird: Asymptotische obere bzw. untere Randabhängigkeiten (lower and upper tail dependence) Sie bemessen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich im Grenzfall die beiden Zufallsvariablen gleich entwickeln (Untersuchung der Abhängigkeiten zwischen großen Werten) Wie wird nun die Abhängigkeit im oberen Verteilungsende einer Verteilung quantifiziert?

29 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann29 Das Copula – Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmaße (Bild aus Eine Einführung in Copulas von Johanna Neshlehova)

30 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann30 Das Copula – Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmaße Obere Randabhängigkeit: Seien X und Y zwei stetige Zufallsvariablen mit zugehöriger Copula C, so dass existiert. Dann heißen X und Y Untere Randabhängigkeit: Seien X und Y zwei stetige Zufallsvariablen mit zugehöriger Copula C, so dass existiert. Dann heißen X und Y

31 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann31 Das Copula – Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmaße X und Y sind demnach asymptotisch abhängig im oberen Rand, wenn große Realisierungen von X tendenziell gleichzeitig mit großen Realisierungen von Y auftreten. Dabei würden dann in einer Punktewolke von Realisierungen zweier Zufallsvariablen tendenziell Punkte in der rechten oberen Ecke eines entsprechenden Streuungsdiagrammes finden sein In der Abbildung ( simulierte Realisierungen eines Zufallsvektors (X,Y)) kann die Spitzförmigkeit der Punktwolke nach oben rechts als Hinweis gedeutet werden, das X und Y asymptotisch abhängig im oberen Rand sind:

32 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann32 Das Copula – Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmaße Obere Randabhängigkeit

33 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann33 Das Copula – Konzept Fréchet-Hoeffding Grenzen Wie zuvor beschrieben liegt die Copula in den Fréchet-Hoeffding Grenzen:

34 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann34 Das Copula – Konzept Fréchet-Hoeffding Grenzen –Man erkennt deutlich die Rechteck-Randverteilung der beiden Copulas –Auch der übrige Verlauf am Rand des Einheitswürfels zeigt sich deutlich –Die Zufallsvariablen X und Y sind total negativ abhängigtotal negativ abhängig genau dann, wenn C X,Y (u 1, u 2 ) = max{u 1 +u 2 -1,0} = W (u 1, u 2 ) unabhängigunabhängig genau dann, wenn C X,Y (u 1, u 2 ) = u 1 u 2 = (u 1, u 2 ) total positiv abhängigtotal positiv abhängig genau dann, wenn C X,Y (u 1, u 2 ) = min{u 1, u 2 } = M (u 1, u 2 )

35 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann35 Das Copula – Konzept Fréchet-Hoeffding Grenzen Die untere FH-Copula W und obere FH-Copula M, welche perfekte positive Abhängigkeit modeliert, sind im oberen Verteilungsende asymptotisch unabhängig Simuliert man die untere und obere FH-Schranke (dim=2, Punkte), so erkennt man die perfekte negative bzw. positive lineare Abhängigkeit

36 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann36 Das Copula – Konzept Fréchet-Hoeffding Grenzen Zur besseren Übersicht über den Verlauf einer 2-Copula wählt man als Darstellung ein Konturendiagramm: Konturendiagramm der unteren Frechet-Hoeffding-Grenze W² Konturendiagramm der oberen Frechet-Hoeffding-Grenze W²

37 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann37 Das Copula – Konzept Fréchet-Hoeffding Grenzen Aus den nun beschrieben Grenzen und Stetigkeitsbedingungen folgt konkret für den Graphen einer 2-Copula C: Der Graph bildet eine stetige Fläche im Einheitswürfel und wird begrenzt durch das schiefe Viereck mit den Ecken (0,0,0) (0,1,0) (1,0,0) und (1,1,1) (Ecken liegen nicht ein einer Ebene). Darüber hinaus verläuft der Graph innerhalb der beiden Graphen der FH- Grenzen

38 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann38 Das Copula – Konzept Fréchet-Hoeffding Grenzen und Unabhängigkeitscopula Die Unabhängigkeitscopula (Independence-Copula): Der Name rührt daher, dass C = Π genau dann gilt,wenn X und Y stochastisch unabhängig sind. Sie ist definiert als Produkt ihrer Argumente und ist asymptotisch unabhängig. Im Fall der Unabhängigkeit lässt sich die Verteilung der Summe von Zufallsvariablen durch die Faltung ihrer (unabhängigen) Verteilungen theoretisch berechnen (praktisch aber Problem).

39 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann39 Das Copula – Konzept Fréchet-Hoeffding Grenzen und Unabhängigkeitscopula Die folgende Abb. zeigt gemäß der Unabhängigkeits-Copula simulierte Punkte (dim=2). Diese lassen erwartungsgemäß keine Punkthäufungen, also eventuelle Abhängigkeiten erkennen:

40 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann40 Das Copula – Konzept Fréchet-Hoeffding Grenzen und Unabhängigkeitscopula Darstellung der drei Copulas m, Π und M

41 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann41 Das Copula – Konzept Fréchet-Hoeffding Grenzen und Unabhängigkeitscopula Differenz der FH-Schranken für dim=2 Da jede Copula zwischen den FH-Schranken liegt, können zwei verschieden Copulas keinen größeren Abstand als (n-1) / n, n2 und nєΝ, haben. (Abschätzung der Wertdifferenz zwischen zwei Copulas an derselben Stelle)

42 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann42 Das Copula – Konzept Archimedische Copulas Mit einer geeigneten univariaten Funktion, genannt Generator (-Funktion), werden Copulas erzeugt Vorteile: - Die Klasse geeigneter Generatorfunktionen ist beliebig groß - Dadurch haben Archimedische Copulas teilweise sehr unterschiedliche Abhängigkeitsstrukturen - Bei der Untersuchung der Eigenschaften einer Copula kann man sich auf die entsprechenden Untersuchungen der Generatorfunktion beschränken (Starke Vereinfachung der Berechnung!)

43 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann43 Das Copula – Konzept Archimedische Copulas Verlauf einer geeigneten Generatorfunktion φ und der Verlauf der dazugehörigen Pseudoinversen (Nelsen,Roger B.: An Introduction to Copulas. Springer-Verlag, 1999)

44 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann44 Das Copula – Konzept Archimedische Copulas Ist für die Generatorfunktion φ der Archimedischen Copula φ(0) =, dann heißt φ ein strikter Generator. Eine strikte Generatorfunktion und ihre Inverse haben dementsprechend folgenden Verlauf: Verlauf einer geeigneten strikten Generatorfunktion φ und der Verlauf der dazugehörigen Inversen φˉ¹ (Nelsen,Roger B.: An Introduction to Copulas. Springer-Verlag, 1999)

45 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann45 Das Copula – Konzept Archimedische Copulas Die Generatorfunktion erzeugt eine bivariate Archimedische Copula durch Am Beispiel der Erzeugung der Produktcopula wird die Methode deutlich:

46 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann46 Das Copula – Konzept Archimedische Copulas Ist die Generatorfunktion zusätzlich von einem Parameter abhängig, so erzeugt sie eine einparametrische Copula-Familie. Jede dieser Familien repräsentiert eine bestimmte Abhängigkeitsstruktur (z.B. die asymptotische Abhängigkeit im oberen Rand) Auf die Erweiterung des Konzeptes auf höhere Dimensionen möchte ich nicht eingehen (siehe Nelsen,Roger B.: An Introduction to Copulas. Springer-Verlag, 1999)

47 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann47 Das Copula – Konzept Archimedische Copulas – Gumbel-Copula Die Gumbel-Copula gehört zur Familie der archimedischen Copulas und besitzt für jede Dimension n lediglich den Parameter λ. Zudem lassen sich mit ihr nur positive Abhängigkeiten modellieren. Eine spezielle Simulation ist für dim = 2 effektiv möglich, darüber hinaus jedoch nicht. Sie eignet sich zur Modellierung von simultanen oberen Extremwerten, da sie im oberen Verteilungsende asymptotisch abhängig ist Für λ=1 wird sie zur Unabhängigkeitscopula (asympt. unabhg.), für λ= wird sie zur oberen Frechet-Hoeffding-Copula.

48 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann48 Das Copula – Konzept Archimedische Copulas – Gumbel-Copula

49 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann49 Das Copula – Konzept Archimedische Copulas – Gumbel-Copula Die Abbildung zeigt die Dichte Dichte der Gumbel-Copula (λ = 2) an den hohen Werten der Dichte in der Nähe des Punktes (1,1) lässt aich deutlich die asymptotische Abhängigkeit am oberen Verteilungsende erkennen Dichte der Gumbel-Copula (λ = 2) sbgeschnitten für Werte über 4

50 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann50 Das Copula – Konzept Archimedische Copulas – Gumbel-Copula Abb. zeigt simulierte Punktpaare, die gemäß der Gumbel Copula mit λ=2 verteilt sind: -Charakt. Gruppierung entlang der Diagonalen -deutliche Punkthäufung in der Nähe des Punktes (1,1) (Effekt der oberen asympt. Abhängigkeit) -Trotz asymptotischer Unabhängigkeit der Gumbel- Copula am unteren Verteilungsende bei (0,0) ebenfalls leichte Punkthäufung auszumachen. (erklärt durch die Modellierung perfekter positiver Abhängigkeit im Grenzfall λ=) -Hohe Werte der Copula-Dichte gehen allgemein mit Punkthäufungen bei der Simulation an den entsprechenden Stellen überein.

51 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann51 Das Copula – Konzept Parametrische Copulas – Gauss-Copula Diese Copulas hängen von einem d-dimensionalen Parameter ab

52 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann52 Das Copula – Konzept Parametrische Copulas – Gauss-Copula Die Korrlationsmatrix stellt die Parameter-Matrix der Normal-Copula dar, welche die Modellierung von pos. wie neg. Abhängigkeiten erlauben. Eignet sich nicht zur Beschreibung von simultanen Extremwerten, da weder am oberen noch unteren Verteilungsende asymptotisch abhängig, ausgn.: Sonderfälle ρ= 1 für alle i j, ergibt sich die obere FH-Schranke. Für dim=2 und ρ= -1 ergibt sich die untere FH-Schranke. Für ρ=0 ergibt sich die Unabhängigkeitscopula. Die Parameter der Normal-Copula ρ sind durch ein Rangabhängigkeitsmaß zu bestimmen. (z.B. Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient) D.h. um Parameter zu bestimmen, erst Randverteilungen der gemeinsamen Verteilung bestimmen.

53 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann53 Das Copula – Konzept Parametrische Copulas – Gauss-Copula Im zweidimensionalen Fall hat man mit Parameter ρ die Gestalt Und eine Dichtefunktion der Gestalt

54 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann54 Das Copula – Konzept Parametrische Copulas – Gauss-Copula Darstellung der Dichte der Gaussschen Copula und der Copula selbst für ρ=0.5

55 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann55 Das Copula – Konzept Parametrische Copulas – Gauss-Copula Bild zeigt simulierte Punktpaare, die gemäß der Normal-Copula verteilt sind, ρ=0,5.

56 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann56 Das Copula – Konzept Parametrische Copulas – Gauss-Copula Beispiel: Gegeben ist ein Sample einer bivariaten Normalverteilung mit 500 Samplepunkten Welche der folgenden beiden Gaußschen Copulas gehört zu obiger Normalverteilung?

57 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann57 Das Copula – Konzept Parametrische Copulas – Gauss-Copula Die dargestellte Normalverteilung entspricht der Copula 2: Copula 1 entspricht einer stark negativen Korrelation, Copula 2 einer eher schwach (positiven) Korrelation. Die Normalverteilung hat eine leicht positive Korrelation (auf jedenfall keine stark negative). Somit kommt Copula 1 nicht in Frage.

58 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann58 Das Copula – Konzept Konstruktion von Copulas - Inversionsmethode In praktischen Anwendung werden größtenteils nur endlich viele Copulas zum Einsatz kommen Auch diese lassen sich auf geeignete Weise zu einer neuen Copula kombinieren Die durch den Satz von Sklar verwendete Methode eine 2-dim. Copula zu konstruieren heißt Inversionsmethode: gemeinsame bivariate Verteilungsfunktion H gegeben – daraus Randverteilungsfunktionen F und G nach berechnen und entsprechende Inversen bestimmen. Copula C erhält man durch: Es gibt noch weitaus mehr Möglichkeiten…

59 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann59 Das Copula – Konzept Konstruktion von Copulas – Konvex-Kombination Konvex-Kombination von Copulas: Beispiel: Konvex-Kombination von 3 Copulas Es sollen m=3 Copulas konvex kombiniert werden. Z.B. 1.Untere FH-Schranke Gumbel-Copula mit Parameter λ=3 4.Sowie

60 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann60 Das Copula – Konzept Konstruktion von Copulas – Konvex-Kombination Links Konvexkombination, rechts Überlagerung von Einzelsimulationen Der rechte Teil der Abb. ist eine Überlagerung von · α¹ = 500 Punkten der Copula C¹ in grün, · α² = Punkten der Copula C² in blau und · α³ = Punkten der Copula C³ in rot.

61 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann61 Das Copula – Konzept Konstruktion von Copulas – Produkt-Kombination Das die Überlagerung der einzelnen Simulationen dasselbe Bild ergibt wie bei der Konvex-Kombination, ist nicht trivial. Erst die Interpretation von C als Verteilungsfunktion eines zweistufigen Zufallsexperiments gründet dies. Mithilfe der Produkt-Kombination lassen sich aus bekannten Copulas leicht neue konstruieren, jedoch lassen sich die auf bestimme Copulas beschränkten Simulations-Algorithmen nicht ohne weiteres verwenden Eine zerlegte Simulation von Produkt-Copulas erlaubt die Verwendung von Copula spezifischen Algorithmen. Dies stellt für gewöhnlich einen deutlichen Geschwindigkeitsvorteil gegenüber einem universellen Algorithmus dar. Zudem könne die einzelnen Teilsimulationen, also die Simulationen der Faktor-Copulas, unabhängig voneinander auf verschiedenen Computern parallel durchgeführt werden

62 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann62 Das Copula – Konzept Simulation Da der Copula-Ansatz die Randverteilungen und ihre Abhängigkeiten trennt, ergeben sich somit zwei Simulations-Aufgaben – die der Copula und die der Randverteilung – Während die Simulation der Copula im allgemeinen insbesondere aufgrund ihrer Mehrdimensionalität nicht trivial ist, lassen sich die eindimensionalen Randverteilungen praktisch leicht simulieren Diese Simulation als auch der Algorithmus dafür benötigen für mehrdim. Verteilungsfunktionen Rechteck-verteilte Zufallszahlen Grenzen werden hierbei durch die rechenintensive Auswertung der bedingten Randverteilungen verursacht

63 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann63 Das Copula – Konzept Ein Beispiel aus der Physik Rekonstruktionsproblem der statistischen Thermodynamik: Bestimmung von höherdimensionaler Darstellung atomarer Verteilungsfunktionen ausgehend von niederdimensionalen Daten. Die zu den höheratomaren Verteilungsfunktionen gehörenden radialen Paarverteilungsfunktionen sind sehr gut zugänglich. Durch das mathematische Konzept der Copulas gibt es Möglichkeiten, die höheratomare Verteilungsfunktion aus ihren radialen Paarverteilungsfunktionen zu rekonstruieren

64 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann64 Das Copula – Konzept Zusammenfassung Schlussbetrachtung: Durch die Copulas erhält man ein vielfältiges und äußerst flexibles Werkzeug zur Modellierung von Abhängigkeiten Sie beseitigen die bekannten Nachteile lineare Risikomaße, indem sie multivariate Verteilungen in univariate Randverteilungen und die Abhängigkeitsstruktur zerlegen. Desweiteren können viele Probleme verschiedenster Disziplinen komfortabler betrachtet bzw. gelöst werden, wie z.B. Rekonstruktionsprobleme in der statistischen Thermodynamik.

65 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann65 Das Copula – Konzept Literatur- und Bildverzeichnis [1.]Roger B. Nelson: An Introduction to Copulas; Springer, 1998 [2.]Bluhm, Overbeck: Structured Credit Portfolio Analysis, Baskets & CDOs; Chapman & Hall [3.]Embrechts, McNeil, Straumann: Correlation and Dependence in Risk Management: Properties & Pitfalls [4.]Embrechts, McNeil, Lindskog: Modelling Dependence with Copulas, ETH Zürich, 2001 [5.]Embrechts and Neslehova: Johanna Neslehova, Eine Einführung in Copulas, 2006, ETH Zürich [6.]Genest, Favre: Everything you always wanted to know about Copula modeling but were afraid to ask [7.]Nils Friewald: Copula Funktionen – Eine Einführung, 2005, TU Wien [8.]Statistische Woche 2006: Modellierung und Vergleich von stochastischen Abhängigkeiten mit Copulas [9.]Diplomarbeit C.Echtermeyer: Diskretisierung von Copulas in höheren Dimensionen, 2006 [10.]Diplomarbeit A.Hasken: Ermittlung und Überprüfung von Prämien bei CDS Portfolios mit Copulas [11.]Schmid,Trede: Finanzmarktstatistik, Kap. 3 Multivariate Renditeverteilungen, Springer, 2005 [12.]Martin, Reitz, When: Kreditderivate und Kreditrisikomodelle, Anhang C, Vieweg + Teubner, 2006 [13.]Diplomarbeit N. Tschauder: Rekonstruktion von hochdimensionalen atomaren Verteilungsfunktionen aus Randverteilungsdaten mit dem Copula-Konzept, TU Darmstadt, 2006 [14.]Dissertation M. Glauser: Messung von Marktrisiken unter Verwendung von Copulafunktionen, 2003 [15.]Vortrag Martin Stremplat: Copulas und Abhängigkeiten, Uni-Köln, 2008 [16.]Vortrag T.Bischler, A.Tresch: Erkennung multivariater Abhängigkeiten mit Hilfe von Copula-Modellen [17.]Gillardon Beck, Lesko: Copulas im Risikomanagement; Auszüge 5/2006, 14/2006, 39/2006

66 Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von ZufallsvariablenFelix Neumann66 Noch Fragen??? Danke für ihre Aufmerksamkeit!


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