V 7: Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 V 7: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil IV: Differentialgleichungen Kap. 7: Gewöhnliche Differentialgleichungen Inhalt: Das Anfangswertproblem Die Diskretisierung der Zeit Euler-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren Experimente: Stationäre Wärmeleitung in einer Dimension Bewegungsgleichung freier Fall Übung 3: Erstellung eines Excel sheets zur Lösung von gewöhnkichen Differentialgleichungen

2 Was wir zur numerischen Lösung von Dglen wissen
Modelle sind Abstraktionen. Es darf nur Unbedeutendes weggelassen werden Das numerische Modell muss in Einklang mit dem physikalischen und dem mathematischen Modell sein. Deshalb sind Grundverständnisse beider Modellierungsschritte nötig Mathematische Grundbeziehungen technischer Modelle sind Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form Integrale und differenzielle Form legen den Schwerpunkt der Aussage auf unterschiedliche Effekte. Ziel beachten

3 Was wir zur numerischen Lösung von Dglen wissen
Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern kennen gelernt Rundung, Diskretisierung, Abbruch Kondition eines Algorithmus, Konsistenz einer Diskretisierung und Konvergenz einer Lösung bedeuten Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Abbruchfehler werden beherrscht Wie diskretisieren wir Funktionen Was ist ein iteratives Verfahren Nullstellensuche nach Newton Wie berechnet man für eine Funktion f(x) das Integral in (a,b) Wie berechnet man die Ableitung der Ordnung n an Stelle xi

4 Das sollten Sie heute lernen
Damit alle Grundlagen gelegt und wir können mit der Anwendung auf konkrete Differentialgleichungen beginnen. Dabei wird das meiste, das wir lernen handwerkliches sein und kann aus dem bisher Gelernten abgeleitet werden. Unser Schwerpunkt heute Was ist eine gewöhnliche Differentialgleichung Wie diskretisiert man Differentialgleichungen Was sind explizite und implizite Verfahren Beispiele gewöhnlicher Differentialgleichungen und ihre numerische Lösung

5 Grundbegriffe aus der Theorie der Differentialgleichungen
Gleichungen zwischen Funktionen und ihren Ableitungen heißen Differentialgleichungen (Dgl). Man unterscheidet gewöhnliche Differentialgleichungen und partielle Differentialgleichungen. Gewöhnliche Differentialgleichungen enthalten nur gewöhnliche Ableitungen. Als Beispiel sei die Schwingungsgleichung angeführt: Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Variablen sind immer gewöhnliche Differentialgleichungen. Differentialgleichungen mit mehreren unabhängigen Variablen enthalten gewöhnlich partielle Ableitungen nach den einzelnen Variablen. Man spricht dann von partiellen Differentialgleichungen. Sie werden entweder direkt oder in Operatorform angeschrieben. Sei L der Operator so lautet die Schwingungsgleichung L y = f(t) L kann verschieden definiert werden. Die Ordnung n einer Differentialgleichung gibt die höchste Ableitung in der Differentialgleichung an.

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Zu lösen sei in a £ t £ b mit y(a) = yo Typischerweise hat bei solchen Problemen die unabhängige Variable die Bedeutung der Zeit. yo ist dann ein Anfangswert. Von den Problemen, die im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden, fordern wir: a) Sie müssen eine eindeutige Lösung y(t) haben. b) Die Lösung darf nur vom Anfangswert abhängen. c) Sie darf sich nur wenig ändern, wenn yo oder f wenig (z.B. durch Rundungsfehler) geändert werden.

7 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn ihre Koeffizienten nicht von den abhängigen Variablen oder ihren Ableitungen abhängen; halb-linear, wenn in den Randbedingungen nichtlineare Funktionen der Abhängigen oder ihren Ableitungen vorkommen; quasi-linear, wenn auch in den Koeffizienten der Differentialgleichung Abhängigkeiten der Lösungen auftreten, nicht-linear, wenn die Differentialgleichung Potenzen von Ableitungen enthält.

8 Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Integriert man so erhält man Das Intervall tn bis tn+1 heißt Zeitschritt n+1 für einen Zeitschritt gilt:

9 Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Daraus ergeben sich folgende Möglichkeiten, yn+1 zu bestimmen: 1. Integration der rechten Seite nach dem Newton-Verfahren  Euler- und Runge-Verfahren. 2. Entwicklung der rechten Seite nach Lagrange-Funktionen und anschließende Integration  Adams-Verfahren. 3. Näherung der Ableitung (linke Seite) durch eine Approximation der Ordnung n  Gear-Verfahren. Die Verfahren werden in den folgenden Folien erläutert. Wir konzentrieren uns dabei auf die Euler Verfahren

10 Euler-Verfahren Der Integrand wird durch einen konstanten Wert genähert. Dazu gibt es drei Möglichkeiten: a) f (y,t) = f (yn,tn) b) f (y,t) = f (yn+1, tn+1) c) f (y,t) = f (yn+, tn+ ) mit 0  q  1 Die rechte Seite wird damit Daraus folgen 3 Bestimmungsgleichungen für a) explizites Verfahren: yn+1 = yn + h • f (yn, tn) b) implizites Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn+1, tn+1) (entspricht Iterationsvorschrift) c) modifiziertes Euler-Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn+q , tn+q) Setzt man q = 0, 5, so folgt Prediktorschritt Korrektorschritt Euler-Verfahren entsprechen der Differenzennäherung

11 Berechnung von nach dem Differenzenverfahren
Es sind 2 Sichten möglich: Festhalten der Berechnungsstelle oder Festhalten der Näherung Vorwärtsdifferenz Rückwärtsdifferenz Zentrale Differenz

12 Runge-Kutta-Verfahren
Verwendet man zur Integration der rechten Seite Verfahren höherer Ordnung, so erhält man die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. a) Integration mit Trapez-Regel Beim Verfahren von Heun erfolgt die Lösung iterativ mit Startwert

13 Runge-Kutta-Verfahren
b) Iteration mit Simpson-Regel Die Simpson-Regel verwendet die Punkte tn,tn+1/2 und t n+1 zur Integration, f (y,t) muß also an diesen Punkten genähert werden. Dies leistet gerade das Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 4. Die Zwischenwerte werden wie folgt genähert: Für f (y,t) = f (t) degeneriert das Verfahren zur Simpson-Formel.

14 Beispiel zum Runge-Kutta-Verfahren
Gegeben sei das Anfangswertproblem: = y2 mit y (0) =  t  0, h = 0,1 Die exakte Lösung lautet Für und Für den Schritt n+1 folgt:

15 Adams-Verfahren Eine weitere Verbesserung der Bestimmung der rechten Seite erhält man dadurch, daß man den Integranden über eine Funktionsentwicklung darstellt. Als Entwicklungskoeffizienten können die Werte der diskreten Zeitpunkte verwendet werden. Entwicklungsfunktionen sind dann wieder die Lagrange-Polynome Zum Zeitschritt n ist folgende Entwicklung möglich: mit m  n Damit läßt sich f (y, t) integrieren. Die mi sind tabelliert.

16 Baskford-Adams und Adams-Moulton -Verfahren
Man unterscheidet zwei Fälle: a) j = 1 Verfahren nach Adams-Baskford Bestimmung von yn+1 durch Integration zwischen tn und tn+1 Entwicklung von f bis zur Stelle tn Aus Entwicklung bis tn wird Verlauf extrapoliert - Prediktor-Schritt. b) j = 0 Verfahren nach Adams-Moulton Entwicklung von f bis zur Stelle tn+1 (ersetze n durch n+1 in allgemeiner Formel) Entwicklung verwendet schon Endwert - Korrektor-Schritt oder implizit. Lösungen nur iterativ. Für beide Fälle findet man die Entwicklungskoeffizienten in der Literatur tabelliert

17 Baskford-Adams-Verfahren
Man unterscheidet zwei Fälle: a) j = 1 Verfahren nach Adams-Baskford Bestimmung von yn+1: Integration zwischen tn und tn+1 Entwicklung von f bis zur Stelle tn Aus Entwicklung bis tn wird Verlauf extrapoliert - Prediktor-Schritt. Für die Integrale ni gilt:

18 Adams-Moulton-Verfahren
b) j = 0 Verfahren nach Adams-Moulton Bestimmung von yn+1 Integration zwischen tn und tn+1 Entwicklung von f bis zur Stelle tn+1 (ersetze n durch n+1 in allgemeiner Formel) Entwicklung verwendet schon Endwert - Korrektor-Schritt oder implizit. Lösungen nur iterativ. Für die Integrale ni gilt:

19 Gear-Verfahren - 1

20 Das entspricht dem Ergebnis nach Euler
Gear-Verfahren - 2 Die allgemeine Form der Koeffizienten lautet: Das entspricht dem Ergebnis nach Euler

21 Gear-Verfahren -3

22 Stabilität -1 Drei Fehlerquellen können auftreten a) Näherung von
b) Näherung des Integrals der rechten Seite, c) Bestimmung von y. Werden Fehler durch die Zeitfortschaltung verkleinert, so heißt ein Verfahren stabil. Analog der notwendigen Bedingung für die Verkleinerung von Fehlern bei der Iteration gilt auch bei der Zeitfortschaltung.

23 Stabilität -2 Mehrschrittverfahren kann man darstellen als
Dann gibt es zu dieser Gleichung ein charakteristisches Polynom p () Für p () = 0 gibt es m-Nullstellen und man kann zeigen: Ein Verfahren ist stabil, wenn für alle Nullstellen  gilt und Nullstellen mit höchstens als einfache Nullstellen vorkommen. Verfahren nach Adam und Gear sind stabil. Die Verfahren von Runge-Kutta sind schwach stabil. Explizite Euler-Verfahren sind für große Zeitschritte instabil.

24 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
Ein System der Ordnung m wird durch m-Gleichungen definiert Diskretisiert man dieses System, so kann man für jede Gleichung eine der beschriebenen Methoden verwenden. Die Auswahl muß nach physikalischen Gesichtspunkten geschehen. Haben die Gleichung verschiedene Zeitkonstanten, wird das Gleichungssystem "steif". Dann breiten sich Fehler stark aus (implizite Lösungen). Hat man Nichtlinearitäten zu betrachten, so müssen Newton- oder Newton-Raphson-Methoden zur Lösung verwendet werden.

25 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
Für einen Zeitschritt n gilt etwa Dieses System kann als Matrixgleichung beschrieben werden. Zur Lösung müssen Gleichungslöser für Systeme eingesetzt werden.

26 Aufbau eines Programms zur Lösung von Dgl‘en
Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Verwndet man dazu Excel, so lässt sich eine allgemeine Struktur für Gewöhnliche Differentialgleichungslöser angeben: Eingabe Berechnung für Zeitschritt Zeitschrittfortschaltung Ergebnisdarstellung Alle Elemente haben Sie schon erprobt. In den Übungen können Sie sie neu zusammensetzen Für Systeme sind kompliziertere ‚Programme nötig

27 Aufbau eines Programms zur Lösung von Dgl‘en
Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Im Folgenden ist ein typisches Flußdiagramm gezeigt. Lösung des Gleichungssystems Berechnung der rechten Seiten Neue Matrizen Nicht linear ja nein (bei Quellrechnung, Endzeitpunkt, Endgenauigkeit) Eingabe und ihre Verarbeitung Geometrie, Materialdaten, Randbedingungen, Anfangswerte Ausgabe Nein linear Erzeugung des Gleichungssystems Ende Zeitfortschaltung, Eigenwertiteration, Nichtlinearität

28 Diskretisierung der 1-dim stationären Wärmeleitgleichung
Diskretisierung einer elliptischen Differentialgleichung mit der Methode der finiten Differenzen am Beispiel der eindim. stationaeren Waermeleitgleichung mit inneren Waermequellen und vorgegebener Randtemperatur Modelliert wird ein isolierter Stab der Laenge 1 m mit der Waeremeleitfaehigkeit Lambda = 15 W/mK. Die innere Waermequelle sei konstant ueber die gesamte Stablaenge. Die linke und rechte Randtemperatur, sowie die Staerke der inneren Waermequelle koennen variiert werden. Das Loesungsgebiet wird durch n Loesungspunkte beschrieben. Berechnet werden insgesamt 5 Loesungen, wobei n jeweils um 2 erhoeht wird. 1-dim. stationäre Wärmeleitgleichung

29 Diskretisierung und Lösung der Bewegungsgleichung
dt y g 2  Die Differentialgleichung der Bewegungsgleichung lautet Ihre ana-lytische Lösung ist Um die Dgl. zu lösen muß sie zunächst in eine Differenzengleichung umgewandelt werden. An der Stelle i gilt für konstante Zeitschrittweite t: Die Diskretisierung erfolgt auf dem Maschenrand. Am linken Rand (i=0) sind als Anfangs-bedingungen und vorzugeben. Damit lautet die Gleichung für die einzelnen Punkte: Daraus ergeben sich für die Systemmatrix M und die rechte Seite R bei 5 Zeitschritten mit folgenden Bedingungen: Anfangshöhe , Anfangsgeschwin-digkeit , Zeitschrittweite t.Jetzt muß nur noch das lineare Gleichungssystem gelöst werden:My=R. Wobei y der Lösungsvektor der Fallhöhe zu dem diskreten Zeitpunkt darstellt. Aufgabe: Bestimme Zeitschrittweite, so daß exakte Lösung und Näherung in der Zeichengenauigkeit übereinstimmen. Der Versuch wird durch Klick gestartet

30 Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen auf Basis einer Operation zur Berechnung F (t, y) -1
Euler Heun

31 Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen auf Basis einer Operation zur Berechnung F (t, y) - 2
Runge Kutta

32 Beispiele für gewöhnliche Differentialgleichungen -1
1. Temperaturverlauf T eines Körpers Anfangstemperatur To , Umgebungstemperatur Tu. Wärmeübergangskoeffizient  Lösung 2. Bewegungsgleichung mit m Masse des Systems, x (o) Anfangswert F (t) treibender Kraft, v (o) Anfangsgeschwindigkeit Reibungskraft

33 Beispiele für den Einsatz gewöhnlicher Differentialgleichungen -1a
Lösung für wo und

34 Beispiele für den Einsatz gewöhnlicher Differentialgleichungen -2
3. Einfacher elektrischer Schaltkreis a) Spannungsquelle U (t), Widerstand R und Kapazität C Ladung des Kondensators b) Spannungsquelle U (t), Widerstand R und Induktivität L Strom im Kreis 4. Grundform der Erhaltungslgeichungen wo Q die Rate des Zuwachses und S die Rate der Abnahme der Substanz x sind

35 Beispiele für den Einsatz gewöhnlicher Differentialgleichungen -3
5. Zerfall radioaktiver Isotope 6. Stationäre Wärmeleitgleichung (Randwertaufgabe)

36 Umgang mit gewöhnlichen Dglen -1
Aufgabe 1: Ein Gebäude hat eine mittlere Wärmedurchganszahl von K = 1.0. Im Gebäude wird Wärme durch innere Lasten produziert, die proportional zum Volumen sind wo x das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen darstellt. Berechnen Sie für einen Sommertag (Tu = 30oC) und einer temperaturbezogenen, spezifischen, inneren Last die sich einstellende Temperatur im Gebäude. Aufgabe 2: x sei CO-Konzentration im Hörsaal von Volumen 2000 m3 xo 3 %, Start der Lüftung mit 0,2 m3/min und Reduktion des CO-Gehaltes auf % Bestimmen Sie, wann die CO-Konzentration auf unter 1 % gesunken ist. Wie groß muß die Luftwechselrate sein, daß dies innerhalb von 15 Minuten geschieht ?

37 Umgang mit gewöhnlichen Dglen -2
Aufgabe 3: C14 hat eine Halbwertszeit von 5730 Jahren. Daraus ergibt sich, daß K = ln 2 / 5730 [1/a] ist. Bestimmen Sie das Alter einer Holzprobe, bei der der C14-Gehalt auf 15 % abgesunken ist. Aufgabe 4: Schwingendes System mit Feder Rücktreibende Kraft F (t) = - a . m . x a Federkonstante Bestimmen Sie für a = 8, xo = 0 und vo = 1 die Form der Bewegungen. Aufgabe 5: Pendel mit Auslenkung y Rücktreibende Kraft l Pendellänge g Gravitationskonstante (g  10) Bestimmen Sie für ein Pendel der Länge 1 die Form der Bewegung bei Anfangswerten yo = und vo = 0

38 Umgang mit gewöhnlichen Dglen -3
Aufgabe 6: Für geringe Auslenkungen eines Pendels lautet die Schwingungsgleichung mit Dämpfung Bestimmen Sie für ein Pendel der Länge g/l =4 und den Anfangswerten y(0) = 0.1 und y‘(0) = 0 den Verlauf der Bewegung je für  = 1, 2, 3, 4 und 5 Aufgabe 7: Für einen elektrischen Schaltkreis mit Induktion L, Widerstand R, Kapazität C und Spannung U gilt nach den Kirchhoff‘schen Gesetzen für den Strom I Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf des Stromes für einen Schaltkreis mit L = 16, R = 8, C = 0,1 und U = sin t/60 mit = 0 und

39 Umgang mit gewöhnlichen Dglen -4
Aufgabe 8: Temperaturverteilung im Stab Berechnen Sie die Temperaturverteilung in einem Stab der Länge 1 mit der Randbedingung T(0) = 100 und T (1) = 20 bei einer Wärmequelle von

40 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
1. Gekoppelte Federn Massen m1 und m2 Federkonstanten K1 und K2 Auslenkungen x1 und x2 2. Konkurrierende Systeme (Räuber-Opfer-Systeme) Populationen x1 und x2 Überschuß Geburt-Tod a11 und a22 Nahrungsraten a12 und a21

41 System gewöhnlicher Differenzialgleichungen

42 Transiente Wärmeleitgleichung
Transiente Wärmeleitgleichung nach Diskretisierung des Ortes

43 Anwendungsbeispiele für einfache Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen -3
Elektrische Netze Elektrische Netze mit Widerständen R, Induktionen L, Kapazitäten C und Spannungsquelle V werden mittels der drei Kirchhoff‘schen Gesetze ausgelegt, wo qi die Ladung des Kondensators i und I der Strom im Schaltkreis sind. Beispiel: 2 Schaltkreise sind über eine gemeinsame Induktivität L gekoppelt

44 Diese Fragen sollten Sie beantworten können
Geben Sie Eigenschaften gewöhnlicher Differentialgleichungen an Wie erhält man eine integrale Form Geben Sie die Grundzüge der folgenden Verfahren an: Euler Runge- Kutta Adams Gear Was ist Stabilität Geben Sie die Struktur eines Programmes zur Lösung gew. Dglen an Geben Sie Beispiele gewöhnlicher Differentialgleichungen und ihre numerische Lösung