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1 Zerlegung von Graphen. 2 Gliederung: Anwendungen Gewichtete Graphen Knotenseparator Kantenseparator Kernighan-Lin Algorithmus Fiduccia-Matteyes Algorithmus.

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1 1 Zerlegung von Graphen

2 2 Gliederung: Anwendungen Gewichtete Graphen Knotenseparator Kantenseparator Kernighan-Lin Algorithmus Fiduccia-Matteyes Algorithmus

3 3 Anwendungen Probleme in Teilprobleme zu zerlegen um sie dadurch besser und schneller zu lösen z.B. Verteilung von Aufgaben gleichmäßig auf mehrere Prozessoren und gleichzeitig die Minimierung der notwendigen Kommunikation zwischen den Prozessoren

4 4 Es gibt viele Zerlegungsvarianten Nach Anzahl der getrennten Kanten Nach Anzahl der Knoten in den Teilgraphen

5 5 Graphen mit Gewichten Zerlegung des Graphen G = (V,E,Wv,We) V = {v 1, …, v n } Knoten E = {e 1k, …, e ij } Kanten Wv = Gewichte der Knoten We = Gewichte der Kanten

6 6 Separatoren Separatoren dienen zum Zerlegen eines Graphen, da diese den Graphen nach dem Entfernen teilen. Es gibt zwei Arten von Separatoren: Knotenseparator Kantenseparator

7 7 Knotenseparator Eine Knotenmenge C V zerlegt bzw. trennt einen Graph G = (V,E) in die Mengen A,B V, falls A,B,C eine Partitionierung von V ist und zwischen Knoten der Mengen A und B keine Kante existiert. In diesem Fall heißt das Tupel (A,B) Zerlegung und C trennende Knotenmenge des Graphen G. Ein Weg von einem Knoten aus A zu einem Knoten aus B muß über einen Knoten aus C laufen.

8 8 Kantenseparator Eine Kantenmenge E s E zerlegt bzw. trennt einen Graph G = (V,E) in die Mengen A,B V, falls A,B eine Partitionierung von V ist und zwischen Knoten der Mengen A und B nur Kanten der Menge E s existieren. In diesem Fall heißt das Tupel (A,B) Zerlegung und E s trennende Kantenmenge des Graphen G.

9 9 Der Kernighan-Lin Algorithmus I Der Kernighan-Lin Algorithmus verbessert eine vorgegeben Zerlegung G=A U B iterativ, in dem er versucht Gruppen von Knoten zwischen den Partitionen auszutauschen, so dass die Anzahl der Kanten zwischen A A und B minimiert wird. In der Praxis erreicht der Algorithmus bei einer guten Start-Zerlegung schnell ein Optimum.

10 10 Der Kernighan-Lin Algorithmus II gegeben Graph G=(V,E,We) und Zerlegung G= A U B in gleichgroße Teile. Das Ziel ist es gleichgroße Teilmengen X aus A und Y aus B zu finden, deren Vertauschung das Gesamtgewicht T aller Kanten zwischen A und B reduziert.

11 11 Der Kernighan-Lin Algorithmus III Man benötigt E(a) = Summe aller Gewichte der Kanten zwischen a in A und Knoten in B Externes Gewicht I(a) = Summe aller Gewichte der Kanten zwischen a und den restlichen Knoten in A Internes Gewicht D(a) = E(a)-I(a) Differenz der Kantengewichte intern und extern anolog E(b), I(a), D(a)

12 12 Der Kernighan-Lin Algorithmus IV Das Vertauschen von a aus A und b aus B ergibt für newT: newT= T - ( D(a)+D(b) - 2*w(a,b)) = T - gain(a,b) gain(a,b) ist ein Maß für die Verbesserung der Zerlegung beim tausch von a und b, kann auch negativ sein

13 13 Kernighan-Lin Algorithmus 0. Berechne T Repeat 1. Berechne D(n) für alle n 2. Demarkiere alle Knoten in G 3. while unmarkierte Knoten vorhanden Finde ein umarkiertes Paar (a,b) für das gain(a,b) maximal ist Markiere a und b Berechne D(n) für alle noch unmarkierten n endwhile...nun gibt es eine Reihe von Paaren (a1,b1)...(ak,bk) und den entsprechende gains, gain(1)...gain(k)...k=|V|/2 in der Reihenfolge, in der sie markiert wurden 4. Wähle ein j, so daß Summe i=1..j der gain(i) maximal ist. 5. if die Summe > 0 ist dann A= A -(a1,...,aj) U (b1,....bj) B= B -(b1,...,bj) U (a1,....aj)... Vertauschen der Knoten T=T-Summe endif Abbruch wenn Summe <=0

14 14 Beispiel

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19 19 Fiduccia-Matteyes Algorithmus Unterschied zu Kernighan-Lin Algorithmus: Man vertauscht in jeder Iteration jeweils nur einen Knoten a oder b und lässt einen gewissen Unterschied in der Anzahl an Knoten pro Teilgebiet zu z.B. |A| < (1 + e)|B|,e 0,1 D(a) = Abnahme des edge-cuts", falls man Knoten a in das Gebiet B verschiebt.

20 20 Fiduccia-Matteyes Algorithmus 1 Repeat 2 Compute edge-cut T = cost(A,B) for initial A,B 3 Compute D(v) for initial A, B with V = A U B 4 Initialize two queues (QA,QB) with highest D(v) on top 5 Unmark all nodes in V 6 While there are nodes v in queue QA,QB that can be moved 7 v = TopNode(QA,QB) 8 Mark node v and move it in the other subgraph 9 Remove node v from selected queue QA or QB 10 Update gains of adjacent vertices v 11 Order priority queue QA and QB 12 Update T = TD(v)..O(j1j) 13 Endwhile 14 Until T 0

21 21 Fiduccia-Matteyes Algorithmus Auswahl des Knoten v aus den Priority Queues QA und QB 15 node v = TopNode(QA,QB) 16 /* Auswahl des Knotens v aus QA oder QB */ 17 a := TopNode in queue QA 18 b := TopNode in queue QB 19 /* Falls ein Teilgebiet gr¨osser als (1 + e) ist, 20 dann w¨ahle Knoten v des kleineren Gebietes. */ 21 if ((|A| > (1 + e)|B|) or (|B| > (1 + e)|A|)) then 22 select the node v from smaller domain 23 else 24 if (D(a) < D(b)) select node b to move 25if (D(a) > D(b)) select node a to move 26if (D(a) = D(b)) select node from smaller domain Graph-Partitionierung – p. 32/55

22 22 Fiduccia-Matteyes Algorithmus

23 23 Fiduccia-Matteyes Algorithmus

24 24 Zusammenfassung Kernighan/Lin und FM benötigen eine Anfangs- Partitionierung V = A U B – Ursprünglich nahm man eine zufällige erste Graph Partitionierung und verbesserte diese durch mehrere K/L- Iterationen (1972). – Für grössere Probleme ist die Komplexität zu hochFM. Es kann sein, dass gain(k)" negativ ist, falls aber spätere gains" positiv sind, dann kann der endgültige Gewinn auch positiv werden. Damit ist gewährleistet, dass lokale Minima" überwunden werden können.

25 25 Quellen passau.de/~chris/down/Partitionierungsverfahren.pdfhttp://www.infosun.fmi.uni- passau.de/~chris/down/Partitionierungsverfahren.pdf


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