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1 Teil I Informationsdarstellung in Rechenanlagen 1.2 Darstellung von Zahlen Themen Notation von Zahlen Zahlensysteme, Dezimalsystem und Binärsystem Konvertierung.

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1 1 Teil I Informationsdarstellung in Rechenanlagen 1.2 Darstellung von Zahlen Themen Notation von Zahlen Zahlensysteme, Dezimalsystem und Binärsystem Konvertierung Rechnen mit Binärzahlen – positive ganze Zahlen – negative ganze Zahlen – gebrochene und reelle Zahlen – Festkomma- und Gleitkommazahlen (IEEE Standard) – Probleme der Rechengenauigkeit

2 2 Darstellung von Zahlen Fragen zur Zahlendarstellung: Welche Zahlen sollen dargestellt werden? – Zusammenhängender Bereich, ganze/rationale/reelle Zahlen? Darstellung negativer Zahlen? Darstellung rationaler und reeller Zahlen? – Genauigkeit, Rundungsfehler? Realisierung arithmetischer Operationen auf Zahlen? – Z.B.: Wie gewährleistete man Kommutativität des „+“ Operators? „Kopfrechnen“ www.recordholders.org/ Vom Computer rechen lassen.

3 3 Codierung von Zahlen zum Rechnen Forderungen an einen Code für Zahlen: Einfache technische Realisierung, d.h., Ablage in Binärwörtern. Leichte Konvertierbarkeit in/aus Dezimalsystem. Einfache Arithmetik, d.h. hohe Rechengeschwindigkeit, d.h. geringer Schaltungsaufwand des Rechenwerks. Eventuell zusätzliche Anforderungen durch Anwendung, z.B.: -Fehlererkennbarkeit, wenn Zahlen zur Datenübertragung codiert werden sollen => große Hammingdistanz. -Im Gegensatz dazu: Für die technische Realisierung eines Zählwerks sind Codes mit kleiner Hammingdistanz vorteilhaft. ´ Möglichkeiten der Codierung: 1.Ziffern auf Codewörter abbilden oder 2.Zahlen auf Codewörter abbilden

4 4 Codierung von Zahlen vs. Codierung von Ziffern Unterscheidung zwischen Wörter aus Ziffern und Zahlen z.B. das Wort "00100" vs. die natürliche Zahl „Hundert“ Ziffernfolgen als Wörter in einem Text, z.B. "4711" ⇨ Codierung der Ziffern mit ASCII-Codierung: c ASCII ( '1' ) = 49, c ASCII ( '4' ) = 52, und c ASCII ( '7' ) = 55 Für die Codierung des Worts "4711" mit der natürlichen Fortsetzung c* ASCII ergibt sich somit: c* ASCII ( "4711" ) = 52  55  49  49 Ziffernfolgen als Zahlen mit denen gerechnet werden soll ⇨ ASCII- Darstellung ist für Zahlen, mit denen man arithmetische Operationen durchführen möchte, unpraktisch und verschwendet unnötig Platz. Frage: Geht es geschickter?  für Konkatenation

5 5 Codierung von Zahlen mit Bitfolgen fester Länge Gegeben: Zahl z im Dezimalsystem, z.B. 12 Binärwörter der Breite b, z.B. b = 4 oder b = 8 allgemein 2 m..... Gesucht: Codierung, c, die z auf ein binäres Codewort c(z) abbildet. Beispiel: z = 12, c(12) ↦ 00001100 Fragen: Wie breit muss man die Binärwörter wählen, wenn man einen bestimmten Zahlenbereich [z min,..., z max ] darstellen möchte? Wie stellt man negative und nicht-ganze Zahlen dar? Mit welchen Codierungen kann man einfach rechnen (+, -, *, /)? Wie wirkt sich eine Codierung auf die Rechengenauigkeit aus? Welche Binärformate werden in der Praxis eingesetzt?

6 6 „Natürliche“ Binärdarstellung der Ziffern 0 bis 9 Überlegung: Zur Darstellung der Ziffern {0,..., 9} benötigen wir 10 verschiedene Codewörter. => Man benötigt mindestens 4-stellige binäre Codewörter (mit 3 Stellen gäbe es nämlich nur 8 unterschiedliche Codewörter). Beispiel: Codierung der Ziffern 0,..., 9 mit binären Codewörtern der Länge 4. c z : {0,..., 9} → Bool 4 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 0 ↦ 1 ↦ 2 ↦ 3 ↦ 4 ↦ 5 ↦ 6 ↦ 7 ↦ 8 ↦ 9 ↦ Anmerkung: Man könnte auch eine andere Zuordnung der Ziffern zu Codewörtern wählen.

7 7 BCD-Codierung Idee: Verwende zur Codierung der Ziffern 0,..., 9 eine Tetraden-Codierung, d.h., codiere jede Dezimalziffer mit einem 4 Bitwort: c BCD : {0,..., 9}  Bool 4 Mehr-zifferige Dezimalzahlen werden dann ziffernweise mit der natürlichen Fortsetzung c* BCD codiert: Beispiel: c* BCD (13) =c BCD (1)  c BCD (3) = 0001 0011 Fragen: Was macht man mit den nicht benötigten Code- wörtern 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 und 1111 ? Wie rechnet (+, -, *, /) man mit BCD-codierten Zahlen? 2 3 2 2 2 1 1 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1111 01234567890123456789......

8 8 Block-Codierungen für Ziffern 2-aus-5-Code: – 5-Bit-Codierung ⇨ Redundanz zur Fehlererkennung – Jeweils 2 Bits sind auf 1 gesetzt, alle anderen auf 0.

9 9 Binärdarstellungen von Ziffern und Zahlen Codierung der Zahlenwerte von 15 bis 22 mit drei Binärziffern: Allgemein lassen sich mit Binärwörtern fester Länge n insgesamt 2 n unterschiedliche Objekte (z.B. Ziffern oder Zahlen) darstellen. Zur Darstellung des Zahlenbereichs [0,..., 2 n -1] ergibt sich: -mit n=4 Bits kann man 2 4 = 16 Zahlen codieren, z.B. 0, 1, 2... 15 -mit n= 8 Bits die 256 Zahlen von 0 bis 255 oder -128 bis +127 -mit n= 16 Bits die Zahlen von 0 bis 65535 … -mit n= 32 Bits die Zahlen von 0 bis 4 294 967 295 … -... Codierung der Ziffern 0,..., 7 mit drei Binärziffern: 0 -> 000 1 -> 001 2 -> 010 3 -> 011 4 -> 100 5 -> 101 6 -> 110 7 -> 111 15 -> 000 16 -> 001 17 -> 010 18 -> 011 19 -> 100 20 -> 101 21 -> 110 22 -> 111

10 10 Wichtige Zahlensysteme: BasisBezeichnungZiffernbereich 2binär, duala i  0,1  {0, 1} 8oktala i  0,...,  7  {0,1,..., 7} 10dezimala i  0,..., 9  {0,1,..., 9} 16hexadezimala i  0,..., 15  {0,1,..., 9, A,B,..,F} Schreibweise (a n a n-1.... a 2 a 1 a 0 a -1 a -2 a -3.... ) b Beispiele: (1101) 2 = 1  2 3 +1  2 2 +0  2 1 +1  2 0 = 1  8 +1  4 +0  2 +1 = (13) 10 (4711) 8 = (100 111 001 001) 2 = (1001 1100 1001) 2 = (9C9) 16 Beachte: Per Definition gilt für alle Zahlen x: x 0 = 1 b bezeichnet Basis Anderer Ansatz: Darstellung von Zahlen im Binärsystem Idee: Man überführt Zahlen, mit denen man rechnen möchte, in ihre Binärdarstellung und rechnet im Binärsystem. eigentlich hexadekadisch (griechisch) oder sedezimal (lateinsich)

11 11 Darstellung von Zahlen im Zehnersystem Zahlen werden üblicherweise als Zifferfolgen über dem Alphabet {0,...,9} angegeben und als Zahlen des Zehnersystems interpretiert. Das Zehnersystem ist ein Stellenwertsystem, d.h., die einzelnen Ziffern einer Dezimalzahl stellen die Koeffizienten von Zehnerpotenzen dar. z.B.: 4711 = 4  1000 + 7  100 + 1  10 +1 = 4  10 3 +7  10 2 +1  10 1 +1  10 0 Definition: Stellenwertsystem Ein Stellenwertsystem zur Basis b wird definiert durch: a n a n-1.... a 2 a 1 a 0 a -1 a -2 a -3.... a -m =  a i b i mit -m  i  n für Basis b  Nat, b > 1 und Koeffizienten a i  {0, b-1} Definition: Stellenwertsystem Ein Stellenwertsystem zur Basis b wird definiert durch: a n a n-1.... a 2 a 1 a 0 a -1 a -2 a -3.... a -m =  a i b i mit -m  i  n für Basis b  Nat, b > 1 und Koeffizienten a i  {0, b-1} Anmerkung: Zifferfolgen werden erst durch eine Interpretation zur Zahl. Man spricht auch von b-adischen Stellenwertsystemen (b von Basis) Es gibt auch Nicht-Stellenwertsysteme; z.B. „Römische Zahlen“.

12 12 Konvertierung von Zahlen Gegeben: Eine Zahl u zur Basis b, Schreibweise: (u) b Gesucht: Die Zahl v zur Basis c, für die gilt: (v) c = (u) b Dazu gibt es unterschiedliche Konvertierungsverfahren: Wiederholte Division mit Rest z.B. anzuwenden für die Konvertierung dezimal nach binär: (v) 10 ↦ (u) 2 Addition von Potenzen z.B. anzuwenden für die Konvertierung binär nach dezimal: (u) 2 ↦ (v) 10 Hornerschema z.B. anzuwenden für die Konvertierung binär nach dezimal: (u) 2 ↦ (v) 10

13 13 Konvertierung von binär nach dezimal (u) 2 ↦ (z) 10 Methode 1: Aufaddieren von 2er-Potenzen. Beispiel: (1 1 0 0 1) 2 = 1  2 4 + 1  2 3 + 0  2 2 + 0  2 1 + 1  2 0 = u 4 u 3 u 2 u 1 u 0 (((1  2 + 1)  2 + 0)  2 + 0)  2+1 = ((( 2 + 1)  2 + 0 )  2 + 0)  2 + 1 = (3  2  2 + 0)  2 + 1 = 12  2 + 1 = 25 = (25) 10 Horner-Schema (u) b =  u i b i = ((... (u n b + u n-1 )b + u n-2 ) b +... + u 2 )b + u 1 )b + u 0 = (v) c wobei die Basis b im Zahlensystem zur Basis c ausgedrückt wird Horner-Schema (u) b =  u i b i = ((... (u n b + u n-1 )b + u n-2 ) b +... + u 2 )b + u 1 )b + u 0 = (v) c wobei die Basis b im Zahlensystem zur Basis c ausgedrückt wird Methode 2: (1 1 0 0 1) 2 = 1  2 4 + 1  2 3 + 0  2 2 + 0  2 1 + 1  2 0 = 16 + 8 + 0 + 0 1 = (25) 10 Beispiel:

14 14 Konvertierung von dezimal nach binär (z) 10 ↦ (u) 10 Methode: Fortgesetzte Division mit Rest Vorüberlegung: Wird eine natürliche Zahl z durch eine andere natürliche Zahl d ganzzahlig geteilt, so erhalten wir einen Quotienten q und einen Rest r. Es gilt dann der Zusammenhang: z = q  d + r mit 0  r < d Die Operatoren div und mod l div bezeichnet die Operation des ganzzahligen Dividieren. Beispiel: 39 div 8 = 4 l Die Operation mod ordnet zwei Zahlen ihren Divisionsrest zu. Beispiel: 39 mod 8 = 7 (Probe: 39 = 4  8 + 7) l Unter Verwendung der Operatoren von div und mod erhält man: z = q  d + r (mit 0  r < d)  z = (z div d)  d + (z mod d)

15 15 Fortgesetzte Division mit Rest Gegeben: c-adische ganze Zahl y, neue Basis b Gesucht: b-adische Zahl x, so dass gilt: (y) c =  x i b i = (x) b mit 0  i  n Prinzip: Berechne nacheinander die Divisionsreste x 0, x 1... x n wie folgt: x 0 = y mod b x 1 = (y div b) mod b x 2 = ((y div b) div b) mod b.... x n = (((..... y div b) div b)... div b) mod b = 0 Die Reste ergeben dann in umgekehrter Reihenfolge x n x n-1 …x 2 x 1 x 0 aneinandergereiht die gesuchte Zahl x zur neuen Basis b. Probe: Durch Einsetzen in die Gleichung: (y) c =  x i b i = (x) c für 0  i  n Gegeben: c-adische ganze Zahl y, neue Basis b Gesucht: b-adische Zahl x, so dass gilt: (y) c =  x i b i = (x) b mit 0  i  n Prinzip: Berechne nacheinander die Divisionsreste x 0, x 1... x n wie folgt: x 0 = y mod b x 1 = (y div b) mod b x 2 = ((y div b) div b) mod b.... x n = (((..... y div b) div b)... div b) mod b = 0 Die Reste ergeben dann in umgekehrter Reihenfolge x n x n-1 …x 2 x 1 x 0 aneinandergereiht die gesuchte Zahl x zur neuen Basis b. Probe: Durch Einsetzen in die Gleichung: (y) c =  x i b i = (x) c für 0  i  n 29 : 2 = 14 Rest 1 = x 0 14 : 2 = 7 Rest 0 = x 1 7 : 2 = 3 Rest 1 = x 2 3 : 2 = 1 Rest 1 = x 3 1 : 2 = 0 Rest 1 = x 4 0, also fertig Das Ergebnis lautet: x 4 x 3 x 2 x 1, x 0 = ( 1 1 1 0 1 ) 2 Beispiel: (29) 10 ↦ (???) 2

16 16 Konvertierung: dezimal ↦ binär Beispiel: (2001) 10 ↦ (???) 2 zz div 2z mod 2 200110001 = x 0 10005000 = x 1 5002500 = x 2 2501250 = x 3 125621 = x 4 62310 = x 5 31151 = x 6 1571 = x 7 731 = x 8 311 = x 9 101 = x 10 z = (11111010001) 2 Man benutzt fortgesetzte Division mit Rest auch für die Umwandlung von Dezimalzahlen in Oktal- und Hexadezimalzahlen.

17 17 Oktal- und Hexdezimalsystem Binärsystem, Oktalsystem und Hexadezimalsystem werden in der Informatik häufig benutzt, da man diese Systeme leicht in einander umrechnen kann. Beispiel: Gruppieren wir jeweils drei Ziffern einer Binärzahl und ordnen jeder Dreiergruppe die entsprechende Oktalziffer zu, so erhalten wir die Oktaldarstellung der Zahl. Beispiel: (10110001110011) 2 = (10 1100 0111 0011) 2 = (2C73) 16 2 C 7 3 (10110001110011) 2 = (10 110 001 110 011) 2 = (26163) 8 2 6 1 6 3 Anmerkungen: Eine Gruppe von 4 Bits nennt man auch ein Halb-Byte oder ein Nibble. Weitere gebräuchliche Schreibweisen für Hex-Zahlen sind: 61 16 = 61h = 0x61

18 18 Konvertierung Beobachtung: In einigen Spezialfällen ist die Konvertierung sehr einfach – nämlich dann, wenn sich eine Basis als Potenz der anderen schreiben lässt. ( A B C ) 16 = ( 10  16 2 + 11  16 1 + 12  16 0 ) 10 = ( 2560 + 176 + 12 ) 10 = (2748) 10 ( 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 ) 2 ( 5 2 7 4 ) 8 Kontrolle: 2 10 + 2 9 + 2 7 + 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 = 2048 + 512 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 = 2748 Kontrolle: 5  8 3 + 2  8 2 + 7  8 1 + 4  8 0 = 2560 + 128 + 56 + 4 = 2748

19 19 Grundrechenarten im Dezimalsystem Grundrechenarten a la Schularithmetik für Dezimalzahlen x = 1 2 6 0 3 1 5, 2 y = 1 2 7 1 4 2 3, 3 x + y = 2 5 3 1 7 3 8, 5 1 Addition mit Übertrag 1 4, 2  3 7, 4 4 2 6 0 0 9 9 4 0 5 6 8 5 3 1,0 8 1 1112 21 Multiplikation Die in der Grundschule erlernten Verfahren zur Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen lassen sich direkt auf alle anderen Zahlsysteme übertragen. Man benutzt allerdings das „n-adische Ein- mal-Eins“.

20 20 Rechnen im Binärsystem Addition mit Übertrag Multiplikation 1 0 1 0 1 + 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 9  11 90 9 99 dezimal: 1001  1011 1001000 000000 10010 1001 1100011 binär: 1 + 01 001 11 10 binäres „1+1“ binäres „1  1“  01000101 01000101

21 21 Rechnen im Binärsystem Subtraktion Gegeben seien die beiden Zahlen a = a n a n-1... a 2 a 1 a 0 und b = b m b m-1... b 2 b 1 b 0. Gesucht ist die Zahl d = d n d n-1... d 2 d 1 d 0 mit d = a – b. Berechnung der Differenz d erfolgt nach dem Prinzip der stellenweisen Addition des arithmetischen Komplements der Zahl b. Im Zehnersystem ist das Komplement die Ergänzung auf 10. Es treten zwei Fälle auf: – Ergebnis ist größer als 10 ⇨ Ziffer wird übernommen – Ergebnis ist kleiner als 10 ⇨ Ziffer wird übernommen und es gibt einen Übertrag auf die nächste Stelle 245  61 1 184 Teilrechnung: 5 – 1 = (5 + 9) – 10 = 14 – 10 = 4 4 – 6 = (4 + 4) – 10 = 8 – 10 Beispiel: 245 – 61 im Zehnersystem

22 Rechnen im Binärsystem Beispiel: Subtraktion von Zahlen mit maximal 3 Ziffern 9-er-Komplement: Alle Ziffern zu 9 ergänzen: 9 = 941 10-er-Komplement: 9-er-Komplement + 1: 10 = 942 a – b = a + 10 – 1000 127 127 33 33 – 58+ 942 – 58 + 942 1 ???? 1069 => ???? = 69???? 975 – 1000 – 25 Problem: Bei negativen Zahlen ist die Subtraktion von 1000 aufwändiger. Lösung: Rafinierte Darstellung von negativen Zahlen suchen. 

23 23 Subtraktion im Binärsystem Gegeben: die beiden binären Zahlen a = a n a n-1... a 2 a 1 a 0 und b = b m b m-1... b 2 b 1 b 0 Gesucht: die Binärzahl d = a - b arithmetischen Komplemente: Komplement zu (0) 2 ist (10) 2 weil (0) 2 + (10) 2 = (10) 2 = (2) 10 Komplement zu (1) 2 ist (1) 2 weil (1) 2 + (1) 2 = (10) 2 = (2) 10 Es treten zwei Fälle auf: -Ergebnis ist größer als (10) 2 => Ziffer wird übernommen -Ergebnis ist kleiner als (10) 2 => Ziffer wird übernommen und es gibt einen Übertrag auf die nächste Stelle 100 –  10 1 010 Teilrechnung: 0 – 0 = (0 + 10) – 10 = 0 0 – 1 = (0 + 1) – 10 = 1 – 10 Beispiel: Berechne im Binärsystem die Differenz: 100 – 10

24 Rechnen im Binärsystem Beispiel: Subtraktion von Binär-Zahlen mit maximal 3 Ziffern 1-er-Komplement: Alle Ziffern zu 1 ergänzen: 1 = 101 2-er-Komplement: 1-er-Komplement + 1: 2 = 110 a – b = a + 2 – 1000 101 (5) 101 01 (1) 01 – 10 (2)+ 110 – 10 (2) + 110 1 ???? 1011 => ???? = 11(3)???? 111 Problem: Bei negativen Zahlen ist die Subtraktion von 1000 aufwändiger. Lösung: 111 als –1 interpretieren ⇨ verallg. 2-er-Komplement-Darstellung. 

25 25 Rechnen im Binärsystem: Division Division 2 9 9 : 1 3 = 2 3 – 2 6 3 9 – 3 9 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 : 1 1 0 1 = 1 0 1 1 1  1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1  0 1 0 1 1 0  1 1 0 1 1 0 0 1 1  1 1 0 1 1 1 0 1  1 1 0 1 0 binär dezimal 2 9 9 : 1 3

26 26 Multiplikation und Division durch Bitverschiebung Einige Programmiersprachen (C, Java,...) erlauben das Verschieben von Bits nach links bzw. nach rechts. Beispiel: Links-Shift-Operator „ >“ Idee: Verwende Verschiebeoperationen zum schnellen Multiplizieren u. Teilen und zwar: – a << n entspricht einer Multiplikation mit 2 n – a >> n entspricht einer Division durch 2 n Beispiel: 5<<3 = 5 * 2 3 = 40 00000000000000000000000000000101 -> 0000000000000000000000000101000 40 >> 3 = 40 / 2 3 = 5 0000000000000000000000000101000 -> 00000000000000000000000000000101

27 27 Darstellung ganzer positiver und negativer Zahlen Forderung: Darstellung eines Zahlbereiches A = { a n, a n +1,..., –2, –1, 0, 1, 2,,..., b m –1, b m } a n 0 b m Möglichst symmetrisch zum Nullpunkt: n ~ m Konvertierung von dezimal nach binär und zurück möglichst einfach realisierbar. Arithmetische Operationen auf codierten Zahlen möglichst einfach und effizient realisierbar. Möglichkeiten: Darstellung einer Zahl durch Vorzeichen + Betrag Exzess-q-Darstellung Komplement-Darstellung (Zweier-Komplement, Einer-Komplement)

28 28 Darstellung einer Zahl durch Vorzeichen + Betrag Format: VZ Betrag mit 4 Bit kann man z.B. die Zahlen von -7 bis +7 wie folgt darstellen: 0000 = +0 0001 = +1 0010 = +2 0011 = +3 0100 = +4 0101 = +5 0110 = +6 0111 = +7 1000 = -0 1001 = -1 1010 = -2 1011 = -3 1100 = -4 1101 = -5 1110 = -6 1111 = -7 Nachteile der Darstellung: – Die Zahl Null ist durch zwei verschiedene Bitfolgen dargestellt, durch ' 0000 ' und durch ' 1000 ', also +0 und -0. – Das Rechnen ist komplizierter geworden. Man kann zwar eine Methode angeben, wie man die obigen Bitfolgen korrekt addieren kann. Technisch würde diese Methode auch problemlos in Rechnern verwendet werden können – es gibt aber geschicktere Darstellungen von ganzen Zahlen, die alle genannten Probleme vermeidet!

29 29 Exzess-q-Darstellung Motivation Man möchte vermeiden, mit negativen Zahlen rechnen zu müssen. Idee Verschiebe den darzustellenden Zahlenbereich um einen Betrag q, so dass die kleinste darzustellende Zahl a n nicht mehr negativ ist. A = { a n, a n +1,..., -2, -1, 0, 1, 2,,..., b m -1, b m } a n 0 b m A' = { a n +q, a n +1+q,..., -2+q, -1+ q, 0+q, q+1, q+2,,..., q+ b m -1, q+b m } a n +q (= 0) q q+ b m

30 30 Exzess-q-Darstellung Beispiel Darzustellen sei der Bereich Z = [-16, -15, -14,..., 0, 1, 2,..., 15] im Exzess-q-Format mit q = 16. => Z wird wie folgt auf Z‘ abgebildet und Z‘ anschließend auf Bool 5. 00000 00001 00010 01110 01111 10000 10001 10010 11111 -16 ↦ -16 + q = 0 -15 ↦ -15 + q = 1 -14 ↦ -14 + q = 2... -2 ↦ -2 + q = 14 -1 ↦ -1 + q = 15 0 ↦ 0 + q = 16 1 ↦ 1 + q = 17 2 ↦ 2 + q = 18... 15 ↦ 15 + q = 31 -2 4 2 4 –1 0 q =16 31 0

31 Exzess-q-Darstellung Anmerkungen Meistens wählt man q = 2 m bei (m+1) verfügbaren Stellen im Binärwort. Der darstellbare Zahlenbereich ist dann: [ -2 m..., 0,..., + 2 m –1 ] Beispiel: m = 4 (also insgesamt 4+1 Bits für die Zahlendarstellung) => q = 2 4 = 16 => darstellbarer Zahlenbereich: [-16..., 0,..., +15] wird abgebildet auf: [0,..., 31] Darstellung der Zahl (3) 10 als (x) 2ex (3) 10  (3) 10 + (2 4 ) 10 = (00011) 2 + (10000) 2 = (10011) 2ex

32 32 Rechnen mit Zahlen in Exzess-q-Darstellung Beispiel Ausführung der Addition 5 + 6 = 11 in Exzess-Darstellung (5) 10 = ( 10101 ) 2ex resultiert aus (101) 2 + (10000) 2 + (6) 10 = ( 10110 ) 2ex resultiert aus (110) 2 + (10000) 2 (1 01011 ) 2ex entspricht (11) 10 + (32) 10 = (43) 10 Vorbereitung der Rückkonvertierung: (1 01011 ) 2ex - (10000) 2 (- 16) 10 Kompensation 1. Addition von q - (10000) 2 (- 16) 10 Kompensation 2. Addition von q (01011) 2 rückkonvertieren  (11) 10 Der bei der Rechnung entstandene Überlauf kompensiert sich bei der Rückrechnung. Überlauf

33 33 Weitere Möglichkeiten zur Codierung von Zahlenbereichen 0111 0110 0101 7 6 5... 2 1 0 -2... -8 2 3 - 1 0010 0001 0000 1111 1110 1000 -2 3 0 Darzustellen ist der Bereich Z = [-8, -7,..., -1, 0, 1, 2,... 7 ] => Z besteht aus insgesamt 16 Zahlen => wir benötigen alle Codewörter aus Bool 4 c Z : Z Bool 4 Welche Eigenschaften hat die Codierung c Z ? -Eineindeutigkeit der Codierung? -Symmetrie um 0 ? -Schrittweite? -Konvertierbarkeit? -Eignung für arithmetische -Operationen („+“ und „–“) ? Eine wie c Z aufgebaute Codierung nennt man auch Zweierkomplement- Darstellung.

34 34 Zweierkomplement-Darstellung -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +0 ↦ 0000 +1 ↦ 0001 +2 ↦ 0010 +3 ↦ 0011 +4 ↦ 0100 +5 ↦ 0101 +6 ↦ 0110 +7 ↦ 0111 -1 ↦ 1111 -7 ↦ 1001 -6 ↦ 1010 -5 ↦ 1011 -4 ↦ 1100 -3 ↦ 1101 -2 ↦ 1110 -8 ↦ 1000 => Es ergibt sich folgende Zuordnung: Konvertierbarkeit: Mit 4 Bits kann man den Bereich von [-8,.., -1, 0, 1,... +7] abdecken. Zur Codierung des Teilbereichs [0, 1,... +7] zählt von 0 beginnend aufwärts, bis man die obere Grenze +7 erreicht. Zur Codierung des Teilbereichs [-8, -7,..., -2, -1] beginnt man bei –1 mit dem Codewort 1111 und zählt abwärts bis zur -8 mit dem Codewort 1000

35 35 Zweier-Komplementdarstellung -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c(-z) = Komplement( c(z) ) + 1 Was bedeutet „Zweierkomplement-Darstellung“: Die Bezeichnung „Komplement-Darstellung“ leitet sich von einer speziellen Eigenschaft der Codewörter ab: Um zur positiven Zahl z das Codewort c(-z) der negativen Zahl -z zu erhalten, nimmt man das Bit-Komplement des Codeworts c(z) und addiert 1 auf. 0000 1111 0001 1110 0010 1101 0011 1000 0111 1001.........

36 36 Zweier-Komplementdarstellung -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c(z) = Komplement(c(-z)) + 1 Rückkonvertierung negativer Zahlen in Komplementdarstellung Gegeben: Eine negative Zahl -z in Zweier-Komplementdarstellung. Wie kommt man zur Codierung der positiven Zahl z? Ansatz 1: Subtrahiere 1 von c(-z) und komplementiere das Ergebnis Ansatz 2: Komplementiere c(-z) und addiere 1 auf. 0000 1111 0001 1110 0010 1101 0011 1000 0111 1001.........

37 37 Zweierkomplement-Darstellung im Zahlenring 0000 0001 0010 0011 1000 0100 0101 0110 0111 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0 1 2 3 4 5 6 7 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 Beachte: Die Zahlen sind modulo 16 in natürlicher Reihenfolge. 8 9 10 11 12 13 14 15 Ringdarstellung ist vorteilhaft, um die Eignung des Codes für die Durchführung arithmetischer Operationen (Addition) klar zu machen.

38 38 Arithmetik in der Zweier-Komplementdarstellung Beispiel: Zweierkomplementdarstellung der Zahl (– 6) 1. Bilde Binärdarstellung von 6, also 0110. 2. Bilde bitweises Komplement. 3. Addiere 1 auf das Bit-Komplement. Beispiel: Berechne ( 2 - 6 ) 1. Erzeuge -6 im Zweierkomplement. 2. Führe binäre Addition 2 + (-6) durch: 0010 + 1010 = 1100. 60110 1001 +0001 1010 2 - 62 + (-6) 0010 +1010 1100-4 – Das erste Bit zeigt, dass das Ergebnis eine negative Zahl ist. – Den Betrag der Zahl finden wir, indem wir das Bit-Komplement bilden (hier 0011) und dazu 1 addieren, also 0011 + 0001= 0100. – Rückkonvertieren von 0100 ins Dezimalsystem ergibt 4. – Somit (1100 ) 2c -> (-4) 10.

39 39 Arithmetik mit Zweierkomplement-Darstellung Addition: a + n – Mit positiver Zahl n: Von a ausgehend n Schritte im Zahlenring im Uhrzeigersinn. – Mit negativer Zahl n: Von a ausgehend n Schritte gegen den Uhrzeigersinn. Subtraktion: – Durch Addition des Komplements, d.h., es genügt, die verschiedenen Fälle der Addition zu betrachten. Beispiel: 7+ (-3) Multiplikation / Division: -Zurückführung auf Addition. (Naiv, es gibt bessere Methoden.) 0000 0 1 2 3 4 5 6 7 77 66 55 44 33 22 11 0001 0010 0011 0100 0101 0110 01111001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 88 1000 7 7 10 = 0111 2c -3 10 = 1101 2c 7 10 + -3 10 = 1 0100 2c 4 10

40 40 Eigenschaften der Zweierkomplement-Darstellung Darstellung des Zahlbereiches { -2 n-1,..., -1, 0, 1,..., 2 n-1 -1 } -> B n unsymmetrisch zum Nullpunkt einfache Negation einer Zahl durch Kippen aller Bits und Addition von 1 Subtraktion durch Addition des Komplements Überlaufbehandlung: Reduktion mit mod 2 n, (d.h. durch „Ignorieren“ des Überlaufs) 0000 0 1 2 3 4 5 6 7 77 66 55 44 33 22 11 0001 0010 0011 0100 0101 0110 01111001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 88 1000

41 41 Logisches vs. arithmetisches Komplement Logisches Komplement (Einer-Komplement) bezeichnet das bitweise Invertieren eines Bitwortes => entsteht durch "kippen" aller Bits Beispiel: n=5, b=2, x = 11001 => 1-er-Komplement von x = 00110 Zweierkomplement (arithmetisches Komplement) Für eine n-stelligen Zahl (x) b ist das Komplement (k) b diejenige Zahl, für die (x+k) b die nächst höhere Potenz der Basis b ergibt, die mit den verfügbaren n Stellen gerade nicht mehr darstellbar ist. Beispiel: n=5, b=2, x = 11001 => k = 00111 (11001 + 00111= 100000) Es gilt: Zweierkomplement = Einerkompelent + 1. Motivation für die Verwendung einer Komplementdarstellung Im Binärsystem ist die Komplementbildung einer Zahl besonders einfach. Unter Verwendung des arithmetischen Komplements kann man die Subtraktion zweier Zahlen auf eine Addition des Komplements der zu subtrahierenden Zahl zurückführen.

42 42 Ähnlichkeit der Darstellungsformen am Beispiel Ohne Vorzeichenbit : –77  0100 1101 2 Einerkomplement : –77  1011 0010 2 Zweierkomplement : –77 = 1011 0011 2c Die Zahl –77 10 soll mit 8 Bit dargestellt werden: (77) 10 = (0100 1101) 2 bitweise Komplementbildung Addition von 1 Ohne Vorzeichenbit : –20  0001 0100 2 Einerkomplement : –20  1110 1011 2 Zweierkomplement : –20 = 1110 0100 2c bitweise Komplementbildung Addition von 1 Durch die Addition von 1 kann sich das Bitmuster jedoch auch an einer anderen Stelle ändern: Beispiel: Darstellung der Zahl –20 10 mit 8 Bit: 1100 1101 mit Vorzeichenbit 1001 0100 mit Vorzeichenbit

43 43 Darstellung von gebrochenen Zahlen Die Ziffernfolge b n b n-1....b 1 b 0,c 1 c 2....c m-1 c m bezeichnet die folgende gebrochen Dezimalzahl: (z) 10 = b n  10 n + b n-1  10 n  1 +... + b 1  10 1 + b 0  10 0 + c 1  10  1 + c 2  10  2 +... + c m-1  10  (m  1) + c m  10  m Beispiel: 111,111 = 1  2 2 + 1  2 1 + 1  2 0 + 1  2  1 + 1  2  2 + 1  2  3 = 4 + 2 + 1 + ½ + ¼ + 1/8 = (7,875 ) 10 Analog können gebrochene Binärzahlen gebildet werden. Die Ziffernfolge b n b n-1....b 1 b 0,c 1 c 2....c m-1 c m bezeichnet dabei die folgende gebrochen Binärzahl: (z) 2 = b n  2 n + b n-1  2 n-1 +... + b 1  2 1 + b 0  2 0 + c 1  2 -1 + c 2  2 -2 +... +c m-1  2 -(m-1) + c m  2 -m Beispiel: 123,456 = 1  10 2 + 2  10 1 + 3  10 0 + 4  10  1 + 5  10  2 + 6  10  3

44 44 Konvertierung von Brüchen Zur Konvertierung eines Dezimalbruchs in seine Binärdarstellung kann man zuerst Nenner und Zähler konvertieren und anschließend im Binärsystem die Division durchführen. Beispiel: (0.2) 10 = (1/5) 10 = (1) 2 / (101) 2 = (1 / 101) 2 = (0.0011) 2 Division: 1.0000 … : 101 = 0.00110 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0  1 0 1 0 0 1 1 0  1 0 1 1 0 0 Durch Basiswechsel kann es vorkommen, dass eine Zahl nur noch als unendlich lange, periodische Binärzahl darstellbar ist.

45 45 Konvertierung von Brüchen Weitere Beispiele Umwandlung eines binären Bruchs in Dezimaldarstellung: gebrochene Binärzahlgebrochene Dezimalzahl 0.10.5 = 1/2 0.010.25 = 1/4 0.110.75 = 3/4 1.111.75 = 7/4 111.1117.875 = 57/8 0.00011001100110011....0.1 = 1/10 (10000) 2 (1011) 2 = (11) 10 (16) 10 = (0.6875) 10 (0.1011) 2 = (1111) 2 (1011) 2 = (11) 10 (15) 10 = (0.73) 10 (0.1011) 2 = Ungenauigkeiten durch begrenzte Wortlänge (z.B nur 4 Bits):

46 46 Konvertierung von Brüchen Potenz-Methode (dezimal -> binär): Beispiel: Umwandlung der Zahl +39,625 10 in das Dualsystem. Rest Zweierpotenz Dezimalwert Binärwert 39,625 5 32 1 = a 6 7,625 4 16 0 = a 4 7,625 3 8 0 = a 3 7,625 2 4 1 = a 2 3,625 1 2 1 = a 1 1,625 0 1 1 = a 0, 0,625 -1 0,5 1 = a -1 0,125 -2 0,25 0 = a -2 0,125 -3 0,125 1 = a -3 0 Ergebnis: 39,625 10 = 100111,101 2

47 47 Konvertierung von nicht ganzen Zahlen Die Umwandlung einer nicht ganzen Dezimalzahl b n b n-1....b 1 b 0,c 1 c 2....c m-1 c m in eine Binärzahl kann mit der Quotient-Produkt-Methode erfolgen: 1.Der Teil b n b n-1....b 1 b 0 links vom Komma wird mit der fortgesetzten Division mit Rest umgewandelt. 2.Der Teil c 1 c 2....c m-1 c m rechts vom Komma wird mit fortgesetzter Multiplikation mit 2 umgewandelt. Beispiel: 11,625 11 div 2 = 5 Rest 11,25 = 0.625  2 5 div 2 = 2 Rest 10,5 = 0.25  2 2 div 2 = 1 Rest 01,0 = 0.5  2 1 div 2 = 0 Rest 1 1011,101

48 48 Konvertierung von Brüchen Quotient-Produkt-Methode (dezimal ↦ binär): Beispiel: Umwandlung der Zahl 39,625 10 in das Dualsystem. 1. Konvertierung des Vorkommateils: Division Quotient Rest 39:2 19 1 19:2 9 1 9:2 4 1 4:2 2 0 2:2 1 0 1:2 0 1 Zwischenergebnis Vorkommateil: 100111

49 49 Konvertierung von Brüchen Umwandlung der Zahl 39,625 10 in das Dualsystem. 2. Konvertierung des Nachkommateils: MultiplikationProduktVorkomma Nachkomma Binärwert 0,625*2 1,25 1 0,25,1 0,25 *2 0,5 0 0,5 0 0,5 *2 1,0 1 0,0 1 Ergebnis: Nachkommateil:,101 3.Zusammenfassungen von Vorkommakonvertierung: 100111 u. Nachkommakonvertierung:,101 100111,101

50 50 Darstellung reeller und rationaler Zahlen als n-Bit-Worte Motivation: Für viele Anwendungen benötigt man reelle bzw. rationale Zahlen, z.B.  = 3.14..., e = 2.71..., trigonometrische Funktionen, Wurzeln, Logarithmen, etc. Problem: Für unendlich vielen Dezimalstellen ist nur eine approximative Darstellung möglich. Dadurch Ungenauigkeiten durch Auslöschungs- effekte und Einschränkungen der Gültigkeit von Rechenregeln. Beispiel: Assoziativgesetz der Addition: (11111113.   11111111. )  7.5111111 = 2.0000000  7.5111111 = 9.5111111 11111113.  (  11111111.  7.5111111) = 11111113.   11111103. = 10.000000 

51 51 Darstellung reeller und rationaler Zahlen als n-Bit-Worte Möglichkeiten der Darstellung als n-Bit-Wort: Festpunkt-Darstellung Gleitpunkt-Darstellung (die gebräuchlichste Darstellung) Format der Festpunkt/Fixpunkt-Darstellung: Exakte Darstellung von m „Nachpunktstellen“ in der Binär-Darstellung einer Zahl im n-Bit Wort. Geeignet sowohl für positive als auch für negative reelle Zahlen. … VZ (n-m-1) Vorkommastellenm Nachkommastellen n-m-1  z = (-1) vz   z i b i i =  m

52 52 Gleitpunktzahlen (1) Zielsetzung lErfassung eines möglichst großen Intervalls der reellen Zahlen. lKleine Zahlen benötigen wenige Stellen vor dem Dezimalpunkt. => Mehr Stellen hinter dem Punkt (Komma) für eine größere Genauigkeit nutzen. lBei großen Zahlen geht man umgekehrt vor. => Benötigte Flexibilität kann durch Verschieben der Punkt- Position erreicht werden. lAnlehnung an technisch wissenschaftlichen Notation mit Exponent. Motivation lBei bisherigen Darstellungen war Größenordnung der Zahlen fest. lBei technisch- wiss. Anwendungen haben Zahlen oft von sehr unterschiedlicher Größenordnung. z.B.: – Avogadro-Zahl (Maß für Stoffmengen ) : N A = 6.0221367  10 23 – Planck‘sches Wirkungsquantum h = 6.6260755  10  34 => Statt Fixpunktzahlen verwendet man auf Computersystemen praktisch ausschließlich Gleitpunktzahlen.

53 53 Gleitpunkt-Darstellung Komponenten der Gleitpunkt-Darstellung: vz  mant  b exp lVorzeichenbit gibt an, ob die vorliegende Zahl positiv oder negativ ist. lMantisse (Nachkommastellen) besteht aus Zifferfolge, die zu einer Basis b interpretiert wird. Mit Basis b = 2 wird m 1....m n interpretiert als: m 1  2  1 + m 2  2  2 +... + m n-1  2  (n  1) + m n  2  n lCharakteristik (oder Exponent exp) ist eine Binärzahl in Exzess- Darstellung. Sie gibt an, mit welcher 2-er-Potenz die vorliegende Mantisse zu multiplizieren ist. Format der Gleitpunkt-Darstellung VZ: sign Charakteristik (Exponent : exp) Mantisse: mant... 010011101110 Beispiel: 12-Bit Wort

54 54 Konvertierung von Gleitpunktzahlen Dezimale Gleitpunktzahlen und binäre Gleitpunktzahlen kann man ineinander umrechnen. Diese Umrechnung geht aber in beiden Richtungen nicht immer auf, wenn wir jeweils eine bestimmte Zahl von Ziffern für die Mantisse vorschreiben. So läßt sich zum Beispiel die dezimale Zahl 0.1 nicht exakt durch eine binäre 32-Bit-Gleitpunktzahl darstellen (siehe Tabelle) VexpMantisse Zahlenwert 001111101 110001100110011001100110 0 0.0999999940... 001111101 110001100110011001100110 1 0.1000000015... Bereits beim Umrechnen dezimaler Gleitpunktzahlen in binäre Gleitpunktzahlen treten also Rundungsfehler auf. Weitere Ungenauigkeiten entstehen beim Rechnen mit Gleitpunktzahlen. Vorsicht, da die mit Gleitkommazahlen erzielten Ergebnisse fast nie exakt sind.

55 55 Gleitpunkt-Darstellung Die Größenordnung einer Gleitpunktzahl wird bestimmt durch die Charakteristik (und die gewählte Basis b). Die Genauigkeit wird bestimmt durch die Länge der Mantisse. => Stehen Bitwörter der Länge n zur Verfügung, so ist die Aufteilung der Bits für Charakteristik und Mantisse entscheidend für den darstellbaren Wertebereich und die erzielbare Genauigkeit. Problem Eine Zahl x hat beliebig viele Gleitpunkt-Darstellungen. Beispiel: z = 0.00123 = 0.0123  10  1 = 0.123  10  2 =... 0.0000123  10 2.... (Auch wenn nur n-Bit-Wörter zur Verfügung stehen, bleiben viele Varianten zur Auswahl.) Ziel Wähle ein normiertes (vereinheitlichtes) Format für Gleitpunktzahlen zur Basis 2 für ihre Darstellung in einem n-Bitwort.

56 56 Normierte Gleitpunktzahlen z = 1.m 1 m 2...m n-1 m n  2 exp Satz: Jedes x  0 besitzt genau eine Darstellung der Form: x = m  2 exp mit 1  m|  2 (oder wahlweise 0  m|  1) Normierte Darstellung Bei einer zur Basis 2 normierten Gleitpunktzahl x  0 wird der Exponent so gewählt, dass für die Mantisse gilt: 1  |m|  2 und der Betrag der Zahl folgende Form hat: z = 0.1m 2...m n-1 m n  2 exp Andere Möglichkeit der Normierung: Normiere so, dass für Mantisse gilt 0  |m|  1 und erste Ziffer nach dem Punkt eine 1 ist:

57 Normierte Gleitpunktzahlen Vorteile normierter Gleitpunktzahlen: - für Mantissen mit 1  m|  2 braucht man die führende 1 nicht zu speichern, da sie immer da ist. -Jede Gleitpunktzahl kann in eine normierte Gleitpunktzahl umgewandelt werden, weil eine Verschiebung der Bits um eine Stelle nach rechts bzw. links den Zahlenwert nicht ändert, wenn gleichzeitig der Exponent um 1 erhöht bzw. erniedrigt wird. - Die Mantissen-Bits können optimal ausgenutzt werden, da keine überflüssigen Nullen gespeichert werden müssen. Eine auf das Format 1. m 1 m 2... m n normierte Gleitpunktzahl mit Vorzeichen VZ, und Exponent exp stellt also folgenden Zahlenwert dar. (-1) VZ  (1 + m 1  2  1 + m 2  2  2 +... + m n  2  n )  2 exp Formal ist die Zahl 0 nicht normalisiert darstellbar, weil 0  0.1xxxx  2 exp Man interpretiert deshalb die kleinste darstellbare Gleitpunktzahl als 0.

58 58 Gleitpunkt-Darstellung in Programmiersprachen Java, C, C++, C# Datentyp float: 32 Bit breite Gleitkommazahl (nach IEEE 754-1985) größtmögliche positive Zahl: 3.40282347e+38f kleinstmögliche positive Zahl: 1.40239846e-45f Datentyp double: 64 Bit breite Gleitkommazahl (nach IEEE 754-1985) größtmögliche positive Zahl: 1.79769313486231570e+308 kleinstmögliche positive Zahl: 4.94065645841246544e-324 Anmerkung Die meisten Computer-Prozessoren haben sog. Floating-Point Coprozessoren (oder auch „Synergistic Processing Elements“), die auf Gleitpunktarithmetik spezialisiert sind. Die Leistungsfähigkeit solcher Prozessoren wird in FLOPS (Floating-Point-Operations Per Second) gemessen. - z.B. „cell-Microprozessor“ schafft mehrere Giga-FLOPS - Supercomputer schaffen bereits einige Peta-FLOPS

59 59 Arithmetik mit Gleitpunkzahlen Addition: Sei z 1  z 2, somit e1  e2: erg = z 1 + z 2 = m 1  2 e1 + (m 2  2 e2  e1 )  2 e1 Exponentenabgleich = (m 1 + m 2  2 e2  e1 )  2 e1 Addition der Mantissen = m  2 e noch nicht normalisiertes Ergebnis Führe Normalisierung für erg = m  2 e durch: Falls (m 1 + m 2  2 e2  e1 ) < 2 dann: m := (m 1 + m 2  2 e2  e1 ) und e := e1 sonst: m := (m 1 + m 2  2 e2  e1 ) / 2 und e := e1 +1 Seien z 1 und z 2 normierte GPZ mit z 1 = m 1  2 e1 und z 2 = m 2  2 e2 Vergleich von z 1 und z 2 z 1 < z 2 gdw. (e1 < e2) oder (e1 = e2 und m 1 < m 2 ) z 1 = z 2 gdw. (e1 = e2) und (m 1 = m 2 )

60 60 Gleitpunkt-Darstellung Beispiel: Gleitpunktzahl mit 12 Bit Wortlänge: Darstellbarer Zahlenbereich Die betragsmäßig größte Zahl ist die mit größtem Exponenten und der größten Mantisse. Die betragsmäßig kleinste Zahl > 0 hat den kleinsten Exponenten (= 0 – Exzess) und die kleinste Mantisse, die in normalisierter Form darstellbar ist. Vorzeichen: 1 Bit für Vorzeichen der Mantisse Exponent: 5 Bit für Exzess-q-Darstellung => Die größte positive Zahl ist 2 4 – 1 = 15. Interpretiert als Exponent zur Basis 2 ist exp somit 2 15. Mantisse: 6 Bit. mit 0 < mant < 1 ist die größte Mantisse: 1 – 2 –m  Die größte darstellbare Zahl ist (1 – 2 -m )  2 q-1 = (1 – 2 -6 )  2 15. 010011101110 VZ mant exp

61 61 Addition und Subtraktion mit Gleitpunkzahlen Konvertierung Normalisierung Exponent anpassen Addition Rückkonvertierung z 1 + z 2 z1z1 Exponent anpassen Normalisierung Konvertierung z2z2

62 62 Beispiel: Addition mit Gleitpunkzahlen Gegeben: z 1 = (-15.2) 10 und z 2 = (-5.75) 10 Gesucht: erg := z 1 + z 2 Ressource: 16 Bit Wörter: 9 Bit für Mantisse, 6 für Charakteristik, 1 VZ-Bit. Schritt 1: Konvertierung von z 1 und z 2 z 1 = (-15.2) 10 ↦ (-1111.0011 0011....) 2 z 2 = (-5.75) 10 ↦ (-101.11) 2 Schritt 2: Normalisieren von (z 1 ) 2 und (z 2 ) 2 ins Format: 1.m 1...m 9  2 e Schritt 2.1: Verschieben der Mantisse z 1 = (-1111.0011 0011....) 2 ↦ (-1.1110011 0011....) 2  2 3 z 2 = (-101.11) 2 ↦ (-1.0111) 2  2 2 Schritt 2.2: Exponenten in Exzess-q Format darstellen Mit 6 Bit für Charakteristik folgt: q = 2 6  1 = 2 5 = 32 Exponent von (z 1 ) 2 = (3) 10 + q = (3) 10 + (32) 10 = (35) 10 = (100011) 2 Exponent von (z 2 ) 2 = (2) 10 + q = (2) 10 + (32) 10 = (34) 10 = (100010) 2

63 63 Beispiel: Addition mit Gleitpunkzahlen Nach Schritt 2 sind z 1 = (-15.2) 10 und z 2 = (-5.75) 10 normalisiert und wie folgt als 16-Bitwörter abgelegt: Schritt 3: Anpassung der Exponenten von (z 1 ) 2 und (z 2 ) 2, so dass Addition durchgeführt werden kann. Weil (z 1 ) 2 > (z 2 ) 2 wird der Exponent von (z 2 ) 2 angepasst: (z 2 ) 2 = (-1.0111) 2  2 2 ↦ ((-1.0111) 2  2 2  3 )  2 3 = (-0.10111) 2  2 3 (z 1 ) 2 = VZexpmant (z 2 ) 2 = 11001111110001100001110101000110 VZexpmant (z 2 ) 2 = 0011101011000110

64 64 Beispiel: Addition mit Gleitpunkzahlen Schritt 4: Addition der Mantissen von (z 1 ) 2 + (z 2 ) 2 Schritt 5: Normalisierung des Ergebnisses (z 1 ) 2 + (z 2 ) 2 Notwendig, weil Überlauf der Mantisse am linkesten Bit. Man darf hier nicht den für den Exponenten reservierten Bereich überschreiben! Normalisierung erfolgt durch verschieben der Mantisse um 1 Stelle nach rechts und Erhöhung des Exponenten um 1. (z 1 ) 2 = VZexpmant 1100111100100110 (z 2 ) 2 = 0011101000100110 + 1111001000100110 1 1 (z 1 +z 2 ) 2 = 1110010110100111 Zwischen -ergebnis

65 65 Beispiel: Addition mit Gleitpunkzahlen Schritt 6: Rückkonvertierung des Ergebnisses (z 1 +z 2 ) 2 in die Dezimal-Darstellung. Schritt 6.1: Bestimmung des Exponenten (100101) 2exzess -> (100101) 2exzess – q = (000101) 2 = (5) 10 somit: (0.101001111) 2  2 5 = (10100.1111) 2 Schritt 6.2: Konvertierung von (10100.1111) 2 1 2 4 + 0  2 3 + 1  2 2 + 0  2 1 + 0  2 0 + 1  2 -1 + 1  2 -2 + 1  2 -3 + 1  2 -4 =(20.9375 ) 10 Schritt 6.3 Berücksichtigung des Vorzeichens: => Ergebnis lautet: - 20.9375 (exaktes Ergebnis wäre – 20.95) (z 1 +z 2 ) 2 = 1110010110100111

66 66 Arithmetik mit Gleitpunkzahlen Subtraktion: Im Prinzip wie Addition erg = z 1 - z 2 = z 1 + (- z 2 ) Addition einer negierten Zahl = m 1  2 e1 + (- (m 2  2 e2-e1 ))  2 e1 Exponentenangleichung = (m 1 + (- (m 2  2 e2-e1 ))  2 e1 Addition der Mantissen, wobei die negative Zahl ins Zweier- Komplement zu überführen ist und ein etwaiger Überlauf ignoriert wird. = m  2 e (Übungsblatt!) Multiplikation: durch Multiplikation der Mantissen und Addition der Exponenten erg = z 1  z 2 = (m 1  m 2 )  2 e1+e2 Beachte: Berechnung der Vorzeichen erfolgt separat!

67 67 Multiplikation von Gleitpunkzahlen Konvertierung Normalisierung Multiplikation Mantisse / Addition Exponent Rückkonvertierung z 1  z 2 z1z1 Normalisierung Konvertierung z2z2 Normalisierung

68 68 Multiplikation von Gleitpunkzahlen Beispiel: (  15.2) 10  (  5.75) 10 = ? Addition der Exponenten in Exzess-q-Format  15.2  (1111.0011....)  (0.11110011)  2 4  exp 2ex = 100100  5.75  (101.11)  (0.10111)  2 3  exp 2ex = 100011 1 000111 – 100000 Exzess 100111 – 100000 (111) 2 = 7 10 Multiplikation der Mantissen m 1  m 2 : 0. 1 1 1 1 0 0 1 1  0. 1 0 1 1 1 0.1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 10 101010 10 1 1 1 1 0. 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 mant abschneiden  Rundungsfehler Exzess

69 69 Rundung Forderung im IEEE-Standard: Das Ergebnis, das man durch eine arithmetische Operation mit dem Rechner erhält, soll dasselbe sein, als wenn man exakt rechnet und anschließend entsprechend eines geeigneten Modus rundet. Vier definierte Rundungsmodi für „die Rundung zum nächstliegenden Gleitkommawert“: Falls der Abstand zu zwei Gleitkommawerten gleich ist, wird zu jenem Wert gerundet, dessen niederwertigste Stelle eine gerade Zahl ist ("round-to-even"-Regel). Rundung zum nächsten Gleitkommawert in Richtung 0 Rundung zum nächsten Gleitkommawert in Richtung +  Rundung zum nächsten Gleitkommawert in Richtung - 

70 70 Rundung bei Addition Rundung aufgrund eines auftretenden Übertrags und anschließender Normalisierung Beispiel: Basis 10, drei signifikante Stellen 2,34  10 2 (Übertrag)+8,51  10 2 ------------ 10,85  10 2 wird zu 1,08  10 3 gerundet Rundung im Zuge einer Exponentenanpassung Beispiel: Basis 10, drei signifikante Stellen 2,34  10 2 2,3400  10 2 +2,56  10 0 --Exponentenanpassung--> +0,0256  10 2 ------------------- 2,3656  10 2 wird zu 2,37  10 2 gerundet IEEE-754 Normalisierung der Mantisse auf 1.xx

71 71 Rundung bei Addition Rundung aufgrund eines Übertrag sowie einer Exponentenanpassung Beispiel: Basis 10, drei signifikante Stellen 9,51  10 2 +0,642  10 2 ---------------- 10,152  10 2 wird zu 1,02  10 3 gerundet.

72 72 Probleme mit Gleitpunkzahlen Überlauf („Overflow") des Exponenten (z.B. bei Multiplikation sehr großer Zahlen: 0.9E25*0.9E25 nicht in für den Exponenten vorgesehener Länge darstellbar) Unterlauf („Underflow") des Exponenten (z.B. bei Multiplikation sehr kleiner Zahlen: 0.9E-25*0.9E-25 nicht in für den Exponenten vorgesehener Länge darstellbar) Große Rundungsfehler möglich z.B. – durch Exponentenangleich bei Addition sehr unterschiedlich großer Zahlen – durch Stellenauslöschung bei Subtraktion gleich großer Zahlen Beispiel: 1023 ( (10  9 +1) -1) liefert den Wert 0 1023 (10  9 +(1-1) ) liefert den Wert 1014 !!! Fazit: Ergebnisse von Gleitpunktberechnungen können u.U. erheblich von dem exakten Wert abweichen!!

73 73 Probleme mit Gleitpunkzahlen Die üblichen Rechengesetze gelten i. Allg. nicht (insbesondere nicht das Assoziativgesetz). Rechnungen im techn./wiss. Bereich mit reellen Zahlen können im schlimmsten Fall um Größenordnungen falsche Ergebnisse liefern. Es gibt zahlreiche Beispiele für technisches Fehlverhalten aufgrund ungenügender Berücksichtigung der Fehlerquellen beim Rechnen mit Gleitpunktzahlen: Raketenabstürze, am Ziel vorbeifliegende Raumsonden, fehlerhafte Steuerungen industrieller Anlagen,... Vorsichtsmaßnahmen: Bei Abfragen: – Nicht auf x == 0 testen, sondern |x| 0. – Statt x == y besser |x – y| < d verwenden. Verwendung einer exakten Arithmetik, z.B. die Intervallarithmetik von Kulisch (Univ. Karlsruhe).

74 74 Rechenungenauigkeiten mit fatalen Folgen 1996: Ariane 5 explodiert beim Testflug Grund: Leitsystem speichert Horizontalgeschwindigkeit (64 Bit) in 16-Bit-Variable. Es kommt zum Überlauf => Fehlermeldung => Abschaltung => unkontrollierter Flug => automatische Selbstzerstörung. 1991: US Abwehrrakete verfehlt Ziel (1. Golfkrieg) Folge: 28 Tote, über 100 Verletzte Grund: Berechnung der Flugbahn greift auf die Systemuhr mit einer Auflösung von 1/10 Sek. (binär: 0.00011) zurück. Wert wird mit 24- stelliger Gleitpunktzahl multipliziert. Nach 100 Stunden hatte sich der Fehler auf 0.34 Sekunden Abweichung aufgeschaukelt. Bei der ballistischen Berechnung der Flugbahn gab das eine Abweichung von 687 Metern. Folge: Abwehrgeschoss fliegt an gegnerischen Rakete vorbei. Neben groben Fehlern, wie im Fall der Ariane 5, können auch kleinste Abweichungen gravierende Auswirkungen haben, die für Menschen jedoch kaum antizipierbar sind (Beispiele aus der Chaostheorie).

75 75 Zahlenwerte und Ihre Darstellung im User Interface 2007: Microsofts Tabellenkalkulation Excel spuckt den Wert 100.000 aus, wenn ein Rechenergebnis eigentlich 65.535 bzw. 65.536 lautet. 2007: CO2 Calculator www.gdrc.org/uem/ co2-cal/co2-calculator.html- Was bedeutet hier „NaN“ ?

76 76 Online-Quellen zum Üben: Umwandlung binär dezimal und andere http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/Zahlensysteme.htm IEEE 754 Umrechner (beachte: Normierung auf 1,xxx) http://www.h-schmidt.net/FloatApplet/IEEE754de.html Codierung von Zahlen http://math.hws.edu/TMCM/java/DataReps/index.html


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