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Hydraulik I W. Kinzelbach 2. Hydrostatik. Hydrostatik Druck und Piezometerhöhe Kräfte auf Flächen unter Wasser Unterscheidung: –ebene Flächen –gekrümmte.

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1 Hydraulik I W. Kinzelbach 2. Hydrostatik

2 Hydrostatik Druck und Piezometerhöhe Kräfte auf Flächen unter Wasser Unterscheidung: –ebene Flächen –gekrümmte Flächen Auftrieb und Schwimmen Schwimmstabilität

3 Druck (1) Definition Druckkraft ist normal zu der gedrückten Fläche Druck ist flächenspezifische Kraft, Einheit: 1 N/m 2 = 1 Pa

4 Druck (2) Ein ruhendes Fluid kann keine Scherkräfte aufnehmen Spannungen in jeder Ebene sind Normalspannungen (Druck) Druck ist ein Skalar

5 Druck (3) (Druckgradient in z Richtung) (hydrostatische Druckverteilung)

6 Druck (4) const ist Referenzdruck, frei wählbar Absolutdruck wichtig für Kavitation, Verdampfen Relativer Druck (Überdruck) entscheidend für Strömungsvorgänge

7 Druck, Druckhöhe, Piezometerhöhe (1) Druck p Druckhöhe Piezometerhöhe Pa mFS

8 Druck, Druckhöhe, Piezometerhöhe (2)

9 Druckeinheiten 1 Pa = 1 N/m 2 1 mWS = 0.1 at 1 mmHgS = 1 Torr = mWS 1 at = bar 1 bar = 10 5 Pa

10 Was ist die treibende Kraft für Strömungen? z = 0 Nicht Differenzen in p sondern Differenzen in h p A B

11 Druckverteilung in inhomogenen Fluiden (Schichtung)

12 Hydrostatisches Paradox Vergleiche Druckkraft am Boden bei gleicher Fläche und Gewicht des Wassers

13 Kommunizierende Gefässe

14 Messung des Drucks (1) U-Rohr Manometer misst relativen Druck Gleichgewicht:

15 Messung des Drucks (2) Piezoresistiver Halbleiterdruck- aufnehmer (Pressure transducer) nutzt Widerstandsänderung bei Deformation Druckdose

16 Messung des Drucks (3) Bourdon‘sche Röhre Alle messen relativen Druck!

17 Ölhydraulik

18 Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen K=  ghA A A A K=  ghA/2K= 

19 Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen Regeln: 1) Druckkraft auf Fläche = Gewicht des Druckkörpers = Volumen des Druckkörpers    g = gedrückte Fläche * Druck im Flächenschwerpunkt 2)Wirkungslinie der Druckkraft geht durch den Schwerpunkt des Druckkörpers (nicht durch den Schwerpunkt der gedrückten Fläche!! sondern durch ihren Druckmittelpunkt)

20 h Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen Druckkörper h Für ebene Flächen sind die Umrisse des Druckkörpers durch eine flächennormale Auftragung der Druckhöhe über der gedrückten Fläche gegeben.

21 Herleitung der Regeln (Fläche achsensymmetrisch um  -Achse) Daraus:  D

22 Regel 2: Allgemein Schwerpunkt eines homogenen Körpers Für symmetrische Körper (bezüglich  -Achse):  D = 0

23 Beispiel b   a a  b h  F Gesucht: F,  D dd dA=b d  Wegen Symmetrie:

24 Wie findet man J  ? In Formelsammlung ist gewöhnlich das Flächenträgheitsmoment um eine Achse durch den Schwerpunkt gegeben. Das Flächenträgheitsmoment um eine beliebige, dazu parallele Achse (z.B.  -Achse) folgt aus dem Steinerschen Verschiebungssatz: S  SS

25 Zerlegung von Kräften (1)

26 Zerlegung von Kräften (2) Horizontale KomponenteVertikale Komponente unterer Teil - oberer Teil = Resultierende

27 Kräfte auf gekrümmte Flächen (1) Die resultierende Kraft geht durch den Schnittpunkt der Wirkungslinien der Komponenten, der generell nicht mehr auf der gedrückten Fläche liegt.

28 Kräfte auf gekrümmte Flächen (2) Resultierende verläuft durch den Drehpunkt – Wasserlast bringt kein zusätzliches Moment

29 Kräfte auf gekrümmte Flächen (3) Oberflächennormale Auftragung zur Bestimmung der Gesamtkraft nicht mehr sinnvoll

30 Kräfte auf gekrümmte Flächen (4) Beispiel: P h b Gesucht: Kraft, Moment um P

31 Auftrieb Angriffspunkt der Auftriebskraft: Schwerpunkt des Deplacements Archimedisches Prinzip Auftrieb = Gewicht des verdrängten Fluids

32 Aräometer Auftriebskraft F B = Gewicht des Aräometers ist konstant Eintauchtiefe grösser oder kleiner, je nach spezifischem Gewicht des Fluids

33 Schwimmen und Schwimmstabilität (1) Deplacement sDsD sDsD sKsK sKsK s K unter s D : immer schwimmstabil

34 Schwimmen und Schwimmstabilität (2) s K über s D

35 Schwimmen und Schwimmstabilität (3) M: Metazentrum h M : metazentrische Höhe a FAFA SKSK SVSV G FAFA SKSK SVSV MrMr M hMhM O G

36 Schwimmen und Schwimmstabilität (4) Das entstehende Drehmoment ist A: In der Ruhelage von der Wasserlinie umschlossene Fläche Stabilitätsbedingung: SKSK SUSU SVSV a hMhM VV

37 Schwimmen und Schwimmstabilität (5) Beispiel Quader Quaderabmessungen: b,h,l t: Tiefgang f: Freibord  Quader =  Q  Fluid =  z=0 f t G FAFA h b Gesucht: Stabilitätsbedingung Lösung:

38 Sohlwasserdruck Welche Dichtung ist sinnvoller?

39 Der Operator  Nabla Operator: Definition Schreibweise, die uns das Leben leichter macht

40 Vier Anwendungen Anwendung auf Skalar: Gradient Ergebnis der Operation: Vektor Dieser gibt die Richtung der stärksten Abnahme des skalaren Felds p an. Beispiel: Höhenlinien

41 Vier Anwendungen Anwendung auf Vektor als Skalarprodukt: Divergenz Ergebnis der Operation: Skalar Die Divergenz eines Vektorfeldes gibt die Stärke einer lokalen Senke oder Quelle an Eine erhaltene Vektorgrösse hat Divergenz 0

42 Vier Anwendungen Anwendung auf Vektor als Vektorprodukt: Rotation Ergebnis der Operation: Vektor Die Rotation eines Vektorfeldes gibt die lokale Drehgeschwindigkeit an, mit der sich ein infinitesimaler Körper im Strömungsfeld drehen würde

43 Vier Anwendungen Anwendung auf Vektor als Tensorprodukt Ergebnis der Operation: Tensor zweiter Stufe Der Tensor enthält die Deformation durch ein Strömungsfeld. Symm. Anteil: Drehung, assym. Anteil: Scherung


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