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Vortrag: Luftwiderstand und Magnuseffekt Fachdidaktik Seminar Alexander Falger, 6.12.2005.

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Präsentation zum Thema: "Vortrag: Luftwiderstand und Magnuseffekt Fachdidaktik Seminar Alexander Falger, 6.12.2005."—  Präsentation transkript:

1 Vortrag: Luftwiderstand und Magnuseffekt Fachdidaktik Seminar Alexander Falger,

2 Überblick  Motivation (Bilder, Videoclips)  Unterschied: laminare und turbulente Strömung  Herleitung der Luftwiderstandskraft über Energieerhaltung  Alternative mikroskopische Herleitung der Luftwiderstandskraft  Der c w Wert  Beispiel 1: Freier Fall (Kugel und Papierzylinder)  Beispiel 2: Kraftstoffverbrauch einiger Autos  Magnuseffekt

3 Luftwiderstand im Alltag: Beim Radfahren: (Tour de France) Am Sternenhimmel: Die Sternschnuppe

4 Magnuseffekt im Alltag: Beim Fußballspielen: roberto carlos

5 laminar Unterscheidung: laminare und turbulente Strömung Wenn die Strömungsgeschwindigkeit von einem Medium eine gewisse Grenze überschreitet, dann geht die laminare in eine turbulente Strömung über. turbulent Stokes Reibung

6 Diese kritische Geschwindigkeit hängt von der Dichte  und der Viskosität  des Mediums sowie vom Radius r der Röhre ab. Eine wichtige Kennzahl zur Charakterisierung von Strömungen des Mediums ist die Reynolds-Zahl Re, die durch Re = 2r  v/  definiert ist, wobei v die mittlere Stömungsgeschwindigkeit des Mediums ist. entgegengesetzt rotierende Wirbel alternierende Wirbelablösung KarmanscheWirbelstrasse

7 Bei Außenströmungen, z.B. über einen Tragflügel geht die laminare Grenzschicht ab Re krit = 10 5 – 10 6 in eine turbulente Grenzschicht über typischer Radfahrer: Laminar: Turbulent:

8 Herleitung der Luftwiderstandskraft: Für die Strecke, die ein Fahrzeug mit der Querschnittsfläche A mit der Geschwindigkeit v in der Zeit zurücklegt, gilt Dabei wird von ihm ein Luftvolumen zur Seite geschoben, welches die Masse besitzt.

9 Man nehme an, dass die Luftmoleküle dabei eine Geschwindigkeit w erhalten, die der Geschwindigkeit v proportional ist. Für die kinetische Energie W der zur Seite geschobenen Luftmasse m gilt dann: oder mit w² = c W  v² (aus der Annahme w ~ v folgt w² ~ v²) Zum Beschleunigen der Luft muss das Fahrzeug diese Arbeit aufbringen. Weil das Fahrzeug nun die Luftwiderstandskraft F L erfährt und dieser bei der Geschwindigkeit v das Gleichgewicht halten muss folgt für F L :

10 Äquivalente Herleitung der Luftwiderstandskraft: (mikroskopische) Ein Luftmolekül mit der Masse m 0 und dem Impuls p i = - m 0 ve x prallt auf die Sphäre In unserem vereinfachten Modell nehmen Wir an, dass es sich um einen elastischen Stoß handelt.  p i = p f oder Quadrieren wir beide Seiten der Gleichung Erhalten wir: Und ausmultipliziert ergibt dies: oder Betrachten wir nun die x-Komponente unserer Ausgangsgleichung:

11 Setzen wir diese p fx in die vorherige Gleichung ein,so erhalten wir: Und somit: Wir haben nun einen möglichen Fall behandelt, aber welchen gemittelten Impuls erfährt unsere Sphäre bei allen Luftmolekülen? Dazu muss man dieses Integral lösen, wobei da ein Flächenelementstückchen der Sphäre beschreibt: Ergebnis: Betrachten wir n Moleküle:

12 Diese Zeichnung zeigt die reale und die angenäherte Volumenverschiebung der Moleküle, diese beiden können als äquivalent angesehen werden. Daraus ergibt sich: oder In vorangegangener Gleichung einsetzen: So erhalten wir: und

13 Der c w Wert:

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16 Wie bestimmt man diesen c w Wert:

17 Beispiel freier Fall mit Luftwiderstand: Link

18 Freier Fall der Kugel: Wir vernachlässigen den Luftwiderstand, da F L = 7, v 2  bei einer Geschwindigkeit v = 13,3 m/s entspricht F L = 0,01 F g Die Kugel fällt auf der ganzen Strecke gleichmäßig beschleunigt mit der Fallbeschleunigung g = 10 m/s 2. Für sie gelten die bekannten Gleichungen für den "Freien Fall": s = 1/2 g t 2 v = g t

19 Fall des Papiertrichters: Der Papiertrichter fällt zunächst ebenfalls beschleunigt. Je größer seine Fallgeschwindigkeit v wird, desto mehr nimmt die Luftwiderstandskraft F L zu. Sie wirkt der Gewichtskraft F g entgegen, so dass die Gesamtkraft F ges auf den Papiertrichter im Verlauf der Fallbewegung immer kleiner wird. Daher nimmt die Beschleunigung a immer mehr ab. Ist die Luftwiderstandskraft F L betragsmäßig gleich der Gewichtskraft F g, wird die Gesamtkraft F ges und damit auch die Beschleunigung a null. In diesem Augenblick bleibt der Papiertrichter nicht etwa stehen, sondern er fällt ab diesem Zeitpunkt mit konstanter Geschwindigkeit weiter. (Dies ist etwa am Ende der Animation erfüllt) F W = F G

20 Das s-t-Diagramm ist die bekannte (nach unten geöffnete) Parabel. Nach t = 2 s ist die Kugel z.B. bei s = 1/2 -10 m/s 2 (2 s) 2 = -20 m. Das v-t-Diagramm ist eine Ursprungsgerade mit negativer Steigung. Der Betrag der Geschwindigkeit nimmt linear mit der Zeit zu. Nach t = 2 s hat die Kugel z.B. die Geschwindigkeit v = -g t = -10 m/s 2 2 s = -20 m/s. Diagramme:

21 Berechnung des Kraftstoffverbrauchs einiger Modelle: Audi A4:

22 BMW 740i:

23 Porsche 911:

24 Motorrad:

25 Dazu benötigen wir: sowie:  Dichte der Luft:  = 1,29 kg/m 3  Wirkungsgrad der Fahrzeuge:  = 30% = 0,3  Heizwert des Kraftstoffes:H = 32,6 MJ/Liter

26 Berechnung der Kraft zur Überwindung des Luftwiderstandes: Berechnung der daraus resultierenden Verschiebungsarbeit auf s = 100 km: Die Verschiebungsarbeit entspricht der genutzten Energie:

27 Berechnung der notwendig zugeführten Energie: Die zugeführte Energie entspricht der Energie; die durch Verbrennung frei wird: Berechnung der Kraftstoffmenge:

28 v [m/s] Verbrauch [l] Porsche 911 Audi A4 BMW 740i Motorrad

29 Der Magnuseffekt: Benannt nach seinem Entdecker Heinrich Gustav Magnus ( ) 1)Ein Ball wird von Luft umströmt 2)Ein rotierender Ball versetzt Luftschichten in seiner Umgebung Ebenfalls in Rotation. Es entsteht eine Zirkulationsströmung. 3)Treten beide Fälle gleichzeitig auf, überlagern sich diese. Dabei werden die Stromlinien auf einer Seite zusammengedrängt  Unterdruck. Auf der entgegengesetzten Seite sind die Stromlinien auseinander gezogen  Überdruck. Dadurch entsteht eine Kraft, die quer zur Strömung gerichtet ist. Diese wird als Querkraft bezeichnet.

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