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Computer Algebra für Brüche --- angepasst an Ausbildungszwecke ISAC – Projekt Stefan Karnel Institut für Mathematik Institut für Softwaretechnologie an.

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Präsentation zum Thema: "Computer Algebra für Brüche --- angepasst an Ausbildungszwecke ISAC – Projekt Stefan Karnel Institut für Mathematik Institut für Softwaretechnologie an."—  Präsentation transkript:

1 Computer Algebra für Brüche --- angepasst an Ausbildungszwecke ISAC – Projekt Stefan Karnel Institut für Mathematik Institut für Softwaretechnologie an der TU-Graz

2 Fragestellung Wie rechnet man es per Hand bzw. wie erklärt man es im Unterricht? Was macht die Mathematik-Software? Wie kann man beides vereinen? Schüler Software Computer Lehrer

3 Rechnen mit Brüchen Kürzen –ggT von Zähler und Nenner Auf gleichen Nenner bringen –kgV von den zwei Nennern –kgV(a,b)=a*b / ggT(a,b) Ausmultiplizieren (im Weiteren wird nur das Kürzen betrachtet)

4 Wie von Hand Anwendung von bekannten Rechenregeln Umformen Übliche Methode (1)

5 Übliche Methode (2) RechenschrittRegeln !

6 CAS (1) Euklidscher Algorithmus Modularer Algorithmus Faktorisierungsalgorithmus Vorteil: –schnelle Berechnung –„leicht“ zu implementieren Nachteil: –keine Zwischenschritte –keine Einschränkungen !!!

7 CAS (2) z.B. Mathematica keine Zwischenschritte keine Einschränkungen wie

8 Vereinigung Gegeben sei ein Bruch Berechne den ggT von Zähler und Nenner Bringe den Zähler mittels Rewriting in die die ursprüngliche Form (Rückwärtsrechnung) Zeige die einzelnen Schritte an  ISAC - Projekt

9 ISAC-Projekt (1) Kernstück ggT-Algorithmus Verwendet wird der modulare ggT- Algorithmus für multivariate Polynome EineVerallgemeinerung des euklidschen Algorithmus auf die Menge der multivariaten Polynome ist nicht möglich, da diese Menge kein euklidscher Ring ist

10 ISAC-Projekt (2) Man führt, durch Einsetzen von Werten für die Hauptvariable, die multivariaten Polynome auf Polynome mit einer geringeren Anzahl von Variablen Der univariate Fall wird durch einen eigenen Algorithmus (z.B. Euklid) berechnet Mit Hilfe des chinesischen Restsatzen werden die Zwischenergebnisse zum ggT zusammen gefügt.

11 ISAC-Projekt (3) Algorithmus stützt sich auf folgenden Lemma:

12 ISAC - Beispiel (4) RechenschrittRewriting - Regeln  a * 1 = a  a ( b + c ) = a b + a c  ( b + c ) a = b a + c a (2x)  a * 1 = a (2x)  a – a = 0  a + 0 = a  a * a = a²  a = a * 1  a b + a c = a ( b + c )  b a + c a = ( b + c ) a (2x)  a = a * 1 (2x)  0 = a – a  a = a + 0  a² = a * a falls 2 x – 2 == 0

13 Zusammenfassung Computer Algebra braucht ein sehr tiefgreifendes Wissen Die Algorithmen werden immer allgemeiner  komplexer Besondere Herausforderung die algebraischen Umformungen so zu präsentieren, wie sie gelehrt werden ISAC ist der erste Schritt in diese Richtung

14 Weitere Informationen WebSite:


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