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Empirische Untersuchung einer Wissensstruktur für das Lösen mathematischer Textaufgaben durch Kinder [Arbeitstitel]

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Präsentation zum Thema: "Empirische Untersuchung einer Wissensstruktur für das Lösen mathematischer Textaufgaben durch Kinder [Arbeitstitel]"—  Präsentation transkript:

1 Empirische Untersuchung einer Wissensstruktur für das Lösen mathematischer Textaufgaben durch Kinder [Arbeitstitel]

2 Themenüberblick  Wissensraumtheorie  Kognitive Entwicklungstheorien  Erwerb mathematischer Kompetenzen  Fragestellung

3 Wissensraumtheorie (Doignon & Falmagne) formale Theorie der effizienten Erfassung von Wissen Konzept: Repräsentation eines Wissenszustands einer Person bezüglich eines speziellen Bereiches durch eine bestimmte Menge an Aufgaben, die eine Person in der Lage ist zu lösen

4 Theorie es gibt eine Aufgabenmenge Q innerhalb dieser Menge äußern sich Abhängigkeitsbeziehungen (surmise-relations) zwischen den Aufgaben als binäre Relation: q  t – aufgrund einer richtigen Lösung von t kann auf eine richtige Lösung von q geschlossen werden – werden dieser Realtion die Eigenschaften Transitivität und Reflexivität zugeschrieben, spricht man von einer Quasiordnung – diese surmise-relations können in Hasse-Diagrammen dargestellt werden

5 prerequisite-relation: – eine oder mehrere Aufgaben q sind nötige Voraussetzungen für das Lösen einer Aufgabe t – Hasse-Diagramm einer surmise-relation r t s q Nachteil: jede Aufgabe hat genau eine Menge vonVorgängeraufgaben

6 Wissenszustand: – Teilmenge von Aufgaben, die eine Person fähig ist zu lösen – Menge 2 n aller möglichen Wissenszustände wird aufgrund der surmise-relations auf theoretisch erwartbare reduziert Wissenstruktur: – geordnetes Paar (Q, K): Q... Aufgabenmenge K... Menge der Wissenszustände (Teilmengen aus A) Wissensraum: 3 Axiome: quasi-ordinal, wenn: – Menge Q und die leere Menge Zustände sind – jede Vereinigung von Zuständen ein Zustand ist – jede Durchschnittsbildung von Zuständen ein Zustand ist

7 eine Aufgabe kann mehrere Vorgängeraufgaben haben und/oder –Graphen r t v s  Surmise- system q der Lösung von r kann Lösung von s oder von q und t vorangehen mehrere Vorgängeraufgaben werden als Klauseln C bezeichnet in einer surmise-function  (x) wird jeder Aufgabe x die Menge ihrer Klauseln C zugewiesen geordnete Paar (Q,  ) wird als surmise-system bezeichnet

8 die Klauseln und die aus ihrer Vereinigung gewonnenen Zustände werden als Wissenzustände in die Wissensstruktur aufgenommen = Wissensraum eine Wissensstruktur kann auch in Form einer Basis dargestellt werden, die nur die Klauseln enthält, die in keiner Teilmengenbeziehung  untereinander stehen

9 Erweiterung der Theorie durch Albert & Held Komponentenbasierende Wissensräume: – stellen kognitive Anforderungen dar, die notwendig sind zur Lösung eines Problems – ihre Eigenschaften werden als Attribute bezeichnet Systematische Aufgabenkonstruktion: erleichtert Vergleich von Aufgaben – Konstruktionsprinzip: „componentwise ordering rule“

10 Beispiel zur Konstruktion von Aufgaben, die aus Komponenten mit verschiedenen Attributen bestehen Komponenten A und B, mit ihren Attributen: A = {a 1,a 2,a 3 } B = {b 1, b 2 } a 1 = reelle Zahlen b 1 =Berechnung von Potenzen a 2 = ganze Zahlen b 2 = Addition a 3 = natürliche Zahlen

11 Durch Bildung des kartesischen Produkts von A und B erhält man 6 verschiedene Aufgabentypen: A x B  p = {(a 1 b 1 ), (a 1 b 2 ), (a 2 b 1 ), (a 2 b 2 ),(a 3 b 1 ),(a 3 b 2 )} Beispiel: (a 2 b 1 ) = Berechnung von Potenzen ganzer Zahlen  (-5) 2

12 Attribute und ihre Problemstruktur nach der koordinatenweisen Ordnung A x B  a 1  b 1  a 2 x  b 2  a 3 (a 1 b 1 ) o (a 2 b 1 ) o o (a 1 b 2 ) ( a 3 b 1 ) o o (a 2 b 2 ) o (a 3 b 2 )

13 Lexikographische Ordnung A x B  a 1  b 1  a 2 x  b 2  a 3 o (a 1 b 1 ) o (a 1 b 2 ) o (a 2 b 1 ) o (a 2 b 2 ) o (a 3 b 1 ) o (a 3 b 2 )

14 Ansatz von Held den Attributen werden Anforderungen, „skills“, zugeschrieben skills beziehen sich auf kognitive Anforderungen, die zur Lösung einer Aufgabe von Bedeutung sind sie werden aus der Analyse der Lösungswege von Aufgaben gewonnen:  Welches Wissen ist für die Lösung einer Aufgabe nötig?  Welche Eigenschaften der Aufgabe sind es, die einen bestimmten Lösungsweg bedingen?

15 Ordnung der Attribute erfolgt anhand der Annahmen über die erforderlichen skills basiert auf Inklusion der Menge von skills: – ein Attribut, das aus einer Teilmenge von skills eines anderen Attributs besteht, ist das leichtere mögliche Ordnungsprinzipien: – componentwise order oder die lexikographische Ordnung

16 Komponenten A und B: A = {a 1,a 2,a 3 } B = {b 1, b 2 } ρ a (a 1 ) = {O 1 }ρ b (b 1 ) = {O 4 } ρ a (a 2 ) = {O 1, O 2 } ρ b (b 2 ) = {O 4, O 5 } ρ a (a 3 ) = {O 1, O 2, O 3 } (a 3 ) {O 1, O 2, O 3 } (b 2 ) {O 4, O 5 } (a 2 ) {O 1, O 2 }(b 1 ) {O 4 } (a 1 ) {O 1 }

17 Kognitive Entwicklungstheorien Theorie von Piaget Informationsverarbeitungstheorie Konzept-Ansatz Transfer-Strategie-Ansatz Rolle von Textaufgaben Verbindung zur Wissensraumtheorie

18 Theorie von Piaget klassische Stadientheorie 4 Stadien jedes Stadium geht aus dem vorangehenden Stadium hervor und bereitet das darauffolgende vor inhaltsunabhängige, abstrakte Denkschemata allgemeine Repräsentationsfähigkeit Veränderung der Denkschemata durch radikale Umstrukturierung

19 Kritik an Piaget – Unterschätzungen der Kompetenz des Säuglings, – keine stadientypischen Einschränkungen des Denkens – keine stadientypische Homogenität  alle neueren Theorien sind aus der Auseinanderstetzung mit Piagets Theorie entstanden  befassen sich damit, welche kognitiven Strukturen zugegen sein müssen, um eine bestimmte Leistung erbringen zu können, bzw. welche Defizite Kinder daran hindern bestimmte Aufgaben zu lösen.

20 Informationsverarbeitungstheorien: 1. Neo-Piaget-Theorie: Pascual-Leone, Halford; Case Kind als Computer-Metapher: Grundannahmen: Denken ist Informationsverarbeitung, diese ist begrenzt, Leistungsfähigkeit beteht darin, Begrenzung zu erweitern auch als Neo-piaget-Theorie bezeichnet, da sie auch das Konzept bereichsübergreifender Stadien beinhaltet. Determinante kognitiver Veränderungen ist Veränderung der Informationskapazität. Informationen aus der Umgebung werden durch Sinnesorgane registriert, in den Kurzzeit-, oder Arbeitsgedächtnisspeicher überführt und können in das Langzeitgedächtnis kommen.

21 2 Richtungen: mit ansteigendem Alter:  Erweiterung des Arbeitsgedächtnisspeichers oder  Steigerung der Effizienz in der Nutzung kognitiver Ressourcen ermöglicht Lösung komplexerer Aufgaben

22 2. Transfer-Strategie-Ansatz: Stern, Siegler, Kuhn intraindividuelle Variabilität und interindividuelle Unterschiede im Entwicklungsverlauf Wissen ist oft an Kontext seines Erwerbs gebunden Probleme bei der Übertragung von Wissen an neue Aufgaben Trennung von Strategieentdeckung und Strategieanwendung verschiedene Strategien sind parallel vorhanden und einsetzbar Frage nach Mechanismen der Selektion zwischen Problemlösungsalternativen

23 Bereichspezifische Theorie: Konzept-Ansatz: Gelman, Stern, Resnick Bereichspezifische Theorie: Konzept-Ansatz: Gelman, Stern, Resnick radikale Veränderungen inhaltsspezifischer Konzepte im Laufe der kognitiven Entwicklung konzeptuelle Umstrukturierung: restrukturierte Konzepte basieren auf abstrakteren Prinzipien, frühere konkrete Merkmale eines Konzepts verschwinden

24 Erwerb mathematischer Kompetenzen zur Bewältigung vieler Anforderungen in der Gesellschaft bedeutendes Ziel in der Schule  flexibel einsetzbare Basiskonzepte und Problemlösekompetenzen so vermitteln, dass sie in realen Situationen angewandt werden können

25 Suche nach den Ursachen für Hindernisse und Probleme der Kinder mit der Entwicklung mathematischen Verständnisses  Aufgabe der kognitiven Psychologie

26 Textaufgaben – zur Untersuchung von Lern- und Denkprozesse – Lösungen sind einfach – Stoffinhalt ist überschaubar ist – genaue Abbildung von Lösungsprozessen – Vergleich mit empirischen Daten 2 Textsysteme: - Handlungswelt und Sachwelt - mathematische Strukturwelt sprachlich miteinander verbunden Studium des Wechselspiels von sprachlichen, sachlichen und mathematischen Verarbeitungsprozessen bzw. Wissen.

27 Textaufgaben als Forschungsgegenstand der Lern- und Entwicklungspsychologie ermöglicht Studium von Verstehensprozessen: - die Situation verstehen - in mathematische Gleichung umsetzen  erfordert Repräsentation eines mentalen Modells: Wissensrepräsentation auf unterschiedlichem qualitativen und quantitativen Niveau, konstruiertes Modell der externen Umgebung, abstrakt, flexibel, komplex

28 3 Grundtypen von Textaufgaben zur Addition und Subtraktion 1.Kombinationsaufgaben 2.Austauschaufgaben 3.Vergleichsaufgaben  innerhalb eines Aufgabentyps unterscheiden sich die Aufgaben in der Art, nach welcher Menge gesucht wird

29 Kombinationsaufgaben 1. Teilmenge unbekannt Maria und Hans haben zusammen 8 Murmeln. Maria hat 6 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans? 2. Vereinígungsmenge unbekannt Maria hat 3 Murmeln. Hans hat 4 Murmeln. Wie viele Murmeln haben sie zusammen?

30 Austauschaufgaben 1. Endmenge unbekannt Maria hatte 5 Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans 3 (2) Murmeln. Wie viele Murmeln hat Maria jetzt? 2. Austauschmenge unbekannt Maria hatte 5 Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans einige Murmeln. Jetzt hat Maria 8 (3) Murmeln. Wie viele Murmeln hat ihr Hans gegeben? 3. Anfangsmenge unbekannt Maria hatte einige Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans 3 Murmeln. Jetzt hat Maria 5 (4) Murmeln. Wie viel Murmeln hatte sie am Anfang?

31 Vergleichsaufgaben 1. Differenzmenge unbekannt Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 (2) Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans mehr (weniger) als Maria? 2. Vergleichsmenge unbekannt Maria hat 3 Murmeln. Hans hat 4 (2) Murmeln mehr (weniger) als Maria. Wie viel Murmeln hat Hans? 3. Referenzmenge unbekannt Maria hat 7 Murmel. Sie hat 4 (2) Murmeln mehr (weniger) als Hans. Wie viel Murmeln hat Hans?

32 Schwierigkeitsgrad der Aufgaben – konsistente Ergebnisse – Aufgaben, denen die gleiche mathematische Operation zugrunde liegt, unterscheiden sich deutlich in ihrer Schwierigkeit – Aufgaben zur Kombination sind allgemein gesehen am leichtesten, solche zum Vergleich am schwierigsten – innerhalb der Aufgabentypen gibt es in Abhängigkeit der Art der gesuchten Menge Schwierigkeitsunterschiede – innerhalb der Vergleichsaufgaben sind solche mit unbekannter Referenzmenge am schwierigsten

33 Was macht das Lösen von Textaufgaben so schwierig? viele Studien dazu 3 Hypothesen, was für die Schwierigkeit einer Aufgabe verantwortlich ist: 1. abstrakt-mathematisches Wissen 2. Sprachverständnis 3. Situationsverständnis

34 1. Bedeutung des abstrakt- mathematischen Wissens Modell von Riley, Greeno & Heller (1983): – manche Aufgaben sind deshalb schwieriger, da sie nicht mit einfachen Zählprozeduren lösbar sind, sondern arithmetische Kenntnisse, z.B. Teil-Ganzes-Schema, erfordern, wie zum Beispiel Vergleichsaufgaben – setzt Repräsentation eines abstrakten Problemmodells voraus – warum aber sind Aufgaben mit unbekannter Referenzmenge schwieriger als soche mit unbekannter Vergleichsmenge? – auch andere Faktoren müssen mitspielen

35 2. Bedeutung des Sprachverständnisses Modell von Cummins, Kintsch, Reusser und Weimer (1988): – Schwierigkeit liegt darin, abstrakte Sprache („mehr“ / „weniger“) zuverstehen – Experiment: Aufgabe vor oder nach ihrer Bearbeitung nacherzählen Frage zu einer unfertigen Aufgabe finden

36 Ergebnisse: – Lösungshäufigkeiten waren korreliert mit der Nacherzählung der Aufgabe und Finden einer angemessenen Frage – korrekte Lösungen waren korreliert mit korrekter Nacherzählung und angemessenen Fragen – Textaufgaben mit abstrakter Sprache führten eher dazu, die Aufgabe mißzuverstehen

37 Bedeutung des Situationsverständnisses Situationsmodell: Alltagswissen über die im Text beschriebene Situation erleichtert Aufgaben – Untersuchung von Stern: wirkt sich Aktivierung eines Alltagskontextes auf Lösen von Vergleichsaufgaben aus? vor der Aufgabe wird ein kurzer Text präsentiert, in dem es um den Vergleich von Mengen geht hat positive Wirkung, auch wenn Inhalt des Textes dem der Aufgabe widerspricht je enger die Beziehung zwischen der Geschichte und der Aufgabe ist (kompatibel), desto höher sind die Erleichterungseffekte –stützt die Annahme der Textverarbeitung, dass eine episodische Struktur den Aufbau eines mathematischen Problemmodells steuert

38 Reformulierungseffekte: Hudson (1983) Aufgaben mit unbekannter Differenzmenge – 5 Vögel haben Hunger. Es gibt 3 Würmer. Wieviel mehr Vögel als Würmer gibt es? Konnten nur 25 % der untersuchten Kinder lösen – 5 Vögel haben Hunger. Es gibt 3 Würmer. Wie viele Vögel bekommen keinen Wurm? konnten 96% lösen –Ergebnis wurde von Stern (1993) bei Vergleichsaufgaben repliziert –Interpretation: Sprache beeinflußt Lösung –ABER: es kommt neben Sprachveränderung auch zu einer Veränderung des Situationsverständnisses:..bekommen keine.. = vertraute Alltagssituation: Angleichung von Objekten –weiter bezieht sich Umformulierung auf eine konkrete Menge, was wiederum Aufbau des math. Problemmodells erleichtert, da es nicht das Verständnis des Teil-Ganzes-Schem erfordert

39 Weitere Ergebnisse von Stern Einfluss von: – Intelligenz und spezifischem Wissen Einfluß von Intelligenz verringert sich bei Einbezug des spezifischen Wissens – Aufgabenauswahl strukturorientierte Aufgaben, die auf Vermittlung mathematischer Prinzipien abzielen, verbessern Leistung eher als performanzorientierte, die Einübung von Rechenprozeduren und mathematischen Fakten beinhalten – Vorstellungen der Lehrer über Erwerb mathem. Kompetenzen positivere Auswirkung von konstruktivistischer Grundhaltung, Freiheit in der Art wie man Aufgaben löst, als rezeptive Haltung, nur Aufgaben vorgeben, für deren Lösung genaue Anweisungen gegeben wurden – mathematisch-numerischen Prinzipien

40 Erklärung der Schwierigkeit von Verleichsaufgaben von Stern Vergleichsaufgaben erfordern Konzept des Relationszahlverständnisses –...4 Murmeln mehr als... – mit der Zahl wird keine konkrete Menge beschrieben, sondern eine Beziehung zwischen Zahlen Defizite in der kognitiven Umstrukturierung – Umstrukturierung des Zahlkonzeptes und Konzept von Addition und Subtraktion wären notwendig – entspricht dem Konzept-Ansatz Defizite im Sprachverständnis können Schwierigkeitsunterschiede weniger gut erklären

41 Erklärung der anderen kognitiven Entwicklungstheorien nach der Informationsverarbeitungstheorie erfordern Vergleichsaufgaben mehr Speicherkapazität und sind somit schwieriger zu lösen der Transfer-Strategie-Ansatz besagt, dass die Schwierigkeit in der Übertragung von Wissen auf neue Aufgaben liegt, Textaufgaben kommen seltener vor als numerische Beispiele und sind daher schwieriger zu lösen

42 Ableitung der Fragestellung je nach Entwicklungstheorie werden eben unterschiedliche Bereiche als zentral für das Vertändnis mathematischer Textaufgaben gesehen diese Dimensionen müßten aus mindestens zwei Ausprägungen bestehen, komplett variiert und permutiert werden  aufwendige Problemkonstruktion und Daten-Analyse  mit Hilfe der Wissensraumtheorie können Hypothesen geprüft werden, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit bestimmte Probleme gelöst werden können  auch bei komplexen Aufgabenstrukturen, in denen mehrere Dimensionen variiert werden

43 Ansatz von Held nach diesem Ansatz werden Aufgaben systematisch konstruiert, indem zuerst Komponenten definiert werden, die aus mehreren Eigenschaften bestehen, für die dann bestimmt wird, welche kognitiven Anforderungen sie an eine Person stellen Aufgaben, für die mehr Anforderungen nötig sind, sind schwieriger anhand dieser Informationen werden die Wissensstrukturen erstellt je nach kognitiven Entwicklungstheorien, die jeweils andere Bereiche (Komponenten) als zentral sehen, werden sich unterschiedliche Strukturen ergeben

44 Fragestellung Ist es möglich, im Rahmen der Wissensraumtheorie eine auf einer kognitiven Entwicklungstheorie beruhende Wissensstruktur zu erstellen, die die Schwierigkeitsunterschiede im Lösen von Textaufgaben beschreiben kann? Können Textaufgaben in Anforderungen zerlegt werden, die eine Bildung von Relationen ihrer Voraussetzung ermöglichen?


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