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Folie 1 § 27 Permutationen Zur Beschreibung von alternierenden multilinearen Abbildungen und insbesondere für den begriff der Determinante benötigen wir.

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1 Folie 1 § 27 Permutationen Zur Beschreibung von alternierenden multilinearen Abbildungen und insbesondere für den begriff der Determinante benötigen wir die Permutationen. Im folgende interessieren wir uns für den Fall M = {1,2,..., n} = n, für eine positive natürliche Zahl n : S n = S({1,2,..., n}). Erinnerung (vgl. 8.2): Für eine Menge M ist die Menge S(M) der bijektiven Abbildungen von M nach M in eine Gruppe, die symmetrische Gruppe bzw. die Permutationsgruppe. Die Gruppenmultiplikation ist dabei die Komposition von Abbildungen. Die Elemente p von S n schreibt man zum Beispiel in der Form

2 Folie 2 Kapitel III, §27 Es gibt also j zwischen 1 und n mit p(j) = j+1, p(j+1) = j, und p(i) = i sonst. Offensichtlich ist eine Nachbarnvertauschung eine Transposition. oder (27.1) Definition: Eine Nachbarnvertauschung ist eine Permutation p, die zwei benachbarte Zahlen vertauscht, und alle anderen Zahlen festlässt: (27.2) Definition: Eine Transposition ist (anders als in einer früheren Übungsaufgabe definiert) eine Permutation p, die zwei Zahlen vertauscht, und alle anderen Zahlen festlässt: Es gibt also j < k zwischen 1 und n mit p(j) = k, p(k) = j, und p(i) = i sonst. 1 o S n hat n! Elemente. (27.3) Lemma:

3 Folie 3 Kapitel III, §27 a(p) := #{(j,k) aus n : j p(k)}. (27.4) Definition: Zu p aus S n ist jedes Paar (j,k) aus n 2 ein Fehlstand, für das j p(k) gilt. Setze: 2 o Jede Permutation aus S n ist eine Komposition von Nachbarnvertauschungen. 3 o Jede Transposition ist Komposition einer ungeraden Anzahl von Nachbarnvertauschungen. 4 o Jede Permutation ist Komposition von Transpositionen. Sei a(p) die Anzahl der Fehlstände für p aus S n : p heißt gerade (bzw. ungerade), je nachdem, ob sgn(p) gerade (bzw. ungerade) ist. Wie berechnet man sgn(p) ? (27.5) Lemma: Für Nachbarnvertauschungen und für Transpo- sitionen p gilt sgn(p) = -1. sgn(p) := (-1) a(p), „Signum von p“

4 Folie 4 Kapitel III, §27 (27.5) Satz: ist also ein Gruppenhomomorphismus. (27.6) Satz: Es gilt sgn(pq) = sgn(p)sgn(q) für p,q aus S n. (27.7) Folgerung: Für p aus S n sei p = q 1 q q k. 1 o Sind alle q j Nachbarnvertauschungen, so gilt sgn(p) = (-1) k. 2 o Sind alle q j Transpositionen, so gilt sgn(p) = (-1) k. Allgemeiner: Bemerkenswert: In jeder Darstellung einer Permutation p von der Form p = q 1 q q k mit lauter Transpositionen q j (oder lauter Nach- barnvertauschungen q j ) ist k stets gerade oder stets ungerade.


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