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Newton‘s Mechanics Stellar Orbits Gravity Leibniz Galilei Gaub1WS 2014/15.

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Präsentation zum Thema: "Newton‘s Mechanics Stellar Orbits Gravity Leibniz Galilei Gaub1WS 2014/15."—  Präsentation transkript:

1 Newton‘s Mechanics Stellar Orbits Gravity Leibniz Galilei Gaub1WS 2014/15

2 Statistical Mechanics Steam Engine Chemical Reactions A + B   AB Mayer Joule Helmholtz Clausius Kelvin Boltzmann Gibbs Gaub2WS 2014/15

3 GaubWS 2014/153 Molekular-Dynamik Rechnungen Nobelpreis 2013!!!

4 GaubWS 2014/154 Hy3CqXA MD Simulations Water 5YvzQ

5 §7 Gase makroskopische Betrachtung  Teilchen bewegen sich frei mit beliebig großem Abstand Kinetische Energie der Teilchen größer als die potentielle Energie der gegenseitigen Anziehung Boyle-Mariotte‘sches Gesetz: bei konstanter Temperatur gilt p V = const.  Def: Kompressibilität => für konstante Temperatur ist p ~ ρ T=const. Gaub5WS 2014/15

6 Makroskopische Betrachtung Möglichkeit zur Messung des Druckes:Quecksilbermanometer Im Gleichgewicht gilt: Bei Zimmertemperatur ist der Dampfdruck von Quecksilber vernachlässigbar. Normaldruck: Gaub6WS 2014/15

7 Luftdruck und barometrische Höhenformel Herleitung der barometrischen Höhenformel Abnahme des auf der Fläche A lastenden Gewichts mit der Höhe: mit mit p o = 1013hPa und  0 = 1.24 kg/m 3

8 Luftdruck und barometrische Höhenformel  Für einen Ballon mit Masse M und Volumen V gilt: Wie in Flüssigkeiten tritt in Gasen Auftrieb auf. Schweben entspricht Schwimmen in Luft! Gaub8WS 2014/15

9 §7.3 Kinetische Gastheorie Das ideale Gas Gas aus starren Kugeln (Atome oder Moleküle) mit r 0 Stöße der Teilchen untereinander und mit der Gefäßwand erfüllen Energie- und Impulssatz Wechselwirkung nur bei Berührung  Wechselwirkungspotential V: (Hardcore-Potential) Gaub9WS 2014/15

10 Das ideale Gas Vorraussetzung: Atomradius << mittlerer Atomabstand  Behandlung der Atome/Moleküle als Massenpunkte Druck p des Gases wird über Impulsübertrag auf die Gefäßwand verstanden: Treffen im Zeitintervall dt N dt Moleküle mit der Geschwindigkeit v senkrecht auf die Fläche A, dann ist der pro Sekunde übertragene Impuls 2 N m v.  Gaub10WS 2014/15

11 Grundgleichung der kinetischen Gastheorie Nur Betrachtung der Translation, keine Rotation oder Schwingung! Anzahl Z der in der Zeit Δt auf das Wandstück A treffenden Moleküle: wobei die Dichte der Moleküle ist, die sich mit der Geschwindigkeit in x-Richtung bewegen. Jedes Molekül überträgt den Impuls Gaub11WS 2014/15

12 Grundgleichung der kinetischen Gastheorie Bewegung in y- und z-Richtung bleibt beim Stoß unbeeinflußt. Da der Druck eine isotrope Größe ist, gilt: Im Mittel fliegen gleich viele Moleküle in +x- wie in –x-Richtung Gaub12WS 2014/15

13 Mittlere kinetische Energie und absolute Temperatur Experimentell ergibt sich für konstantes N, dass p V nur von T abhängt. hängt nur von T ab.  Es gibt eine Temperaturskala, für die gilt: Definition der absoluten Temperatur T: mit der Bolzmann-Konstante  allgemeine Gasgleichung Gaub13WS 2014/15

14 Mittlere kinetische Energie und absolute Temperatur Jedes Teilchen kann sich in x-, y- und z-Richtung bewegen. 3 Freiheitsgrade der Translation  Die mittlere kinetische Energie eines Teilchens bei der Temperatur T ergibt sich zu: pro Freiheitsgrad  mehr Freiheitsgrade Reale Moleküle können Energie auch in Rotation und Schwingung aufnehmen Gleichverteilungssatz: (allgemeine Herleitung in T4) In einem Gas verteilt sich die Energie stets gleich auf alle Freiheitsgrade. Bei f Freiheitsgrade hat jedes Teilchen im Mittel die Energie Gaub14WS 2014/15

15 Verteilungsfunktion Allgemeine Herleitung des Drucks erfordert mathematische Definition der Verteilung der Geschwindigkeit auf die Moleküle. Verteilungsfunktion f(v)  Für die Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung muss gelten: mit  Die Anzahl der Teilchen im Intervall ist dann:  Die Anzahl der Teilchen mit ist: Bem: 15

16 Auf ein Flächenelement dA prallen während des Zeitintervalls Δt im Mittel dZ Moleküle im Geschwindigkeitsfenster v+dv aus dem Raumwinkelbereich dΩ, der um den Winkel ϑ gegen die Flächennormale geneigt ist Impulsübertrag durch dZ Teilchen im Zeitintervall Δt ist dann Die Impulsänderung eines Teilchens ist : Von allen Seiten des Halbraums prallen Moleküle auf die Wand 2π/3 Gaub16

17 Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung Aus der barometrischen Höhenformel ergibt sich durch Erweitern mit dem Volumen V einer Gasmenge der Masse M = mN =  V und der Teilchenzahldichte n=N/V Modell: Moleküle starten auf der Erdoberfläche mit der Geschwindigkeit v z senkrecht nach oben und erreichen die Höhe h: => Die Anzahl der Moleküle, über die Höhe h hinausfliegen, ist gleich der Zahl, die von z = 0 aus mit Geschwindigkeiten v z >u starten. 17

18 Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung Aus der Annahme einer isothermen Atmosphäre folgt, dass die Geschwindigkeitsverteilungs- funktion unabhängig von der Höhe ist.  Allgemein gilt für die Anzahl N(v z ) der Moleküle mit der Geschwindigkeit v z die pro Zeit ∆t durch ein Flächen- stück ∆A fliegen (Flussdichte): Nicht die mittlere Geschwindigkeit, wohl aber die Flussdichte nimmt mit der Höhe ab: Const (T) Es gilt aber auch:  18

19  Symmetrische Gaussverteilung Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung  Ist die mittlere kinetische Energie sehr groß gegen die Differenz der potentiellen innerhalb eines abgeschlos- senen Volumens V, ist keine Richtung ausgezeichnet. Differentiation nach u liefert: mit: weilund 19

20 Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung Geschwindigkeitsvektoren mit der Länge v+dv enden in einer infinitesimalen Kugelschale mit dem Betrag der Geschwindigkeit als Radius. Ingegration über alle Richtungen liefert den Faktor: Zahl der Moleküle pro Volumen- einheit mit einer Geschwindigkeit im Betrag zwischen v und v+dv Mittlere Geschwindigkeit Wahrscheinlichste Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeitsquadrat

21 Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung Die Geschwindigkeitsverteilung hat eine ausgeprägte Temperaturabhängigkeit 21WS 2014/15


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