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Statistik: 1.3.04 Quantitative Merkmale. 1.3.04PI Statistik, SS 20042 Metrische Merkmale 22718484621318579912482696 1631536979718799740371576 655660800750949478566718.

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1 Statistik: Quantitative Merkmale

2 1.3.04PI Statistik, SS Metrische Merkmale Beispiel: 50 Rechnungsbeträge in der Elektroabteilung eines Einkaufszentrums (in Euro)

3 1.3.04PI Statistik, SS Klasse Häufig keit größer0 Metrisches Merkmal: Tabelle Beispiel: Rechnungsbeträge in der Elektroabteilung eines Einkaufszentrums (in Euro)

4 1.3.04PI Statistik, SS Metr. Merkmal: Histogramm Beispiel: Rechnungsbeträge

5 1.3.04PI Statistik, SS Histogramm Klassenhäufigkeiten: Häufigkeiten, mit der die Klassen der Merkmalsausprägungen besetzt sind Darstellung der Klassenhäufigkeiten als Flächen Größe der Fläche ist proportional zur Häufigkeit Am einfachsten sind Klassen gleicher Breite (dann ist Höhe proportional zu Häufigkeit) Histogramm (für stetige Merkmale) Balkendiagramm (für diskrete Merkmale)

6 1.3.04PI Statistik, SS „Histogramm“ in EXCEL Beispiel: Rechnungsbeträge

7 1.3.04PI Statistik, SS Histogramm in EXCEL Teil der Analyse-Funktionen Probleme und deren Lösung: Balken (vergl. Balkendiagramm) statt Flächen Anklicken eines Stabes -> Datenpunkt formatieren -> Optionen -> Abstandsbreite auf „0“ setzen Klassengrenzen werden als Klassenmitten angezeigt Bereich mit Klassenmitten erzeugen Diagramm anklicken -> als „Beschriftung der Rubrikenachse (X)“ den Bereich mit Klassenmitten angeben X-Achse anklicken -> Muster -> Hauptstriche auf „innen“ setzen -> Hilfsstriche auf „außen“ setzen ->

8 1.3.04PI Statistik, SS Verbessertes Histogramm Beispiel: Rechnungsbeträge

9 1.3.04PI Statistik, SS Histogramm-Konstruktion 1. Ordne die n Beobachtungen nach steigender Größe, bestimme die Spannweite der Häufigkeitsverteilung. 2. Zur Festlegung der Klassen unterteile die Spannweite in Intervalle gleicher Länge; die Zahl k der Klassen soll zwischen fünf und 20 liegen. Die Klassenmitten sollen „einfache“ Zahlen sein. 3. Bestimme die Zahl der Beobachtungen jeder Klasse, d.s. die (absoluten) Klassenhäufigkeiten. 4. Zeichne das Histogramm. Bei gleichen Klassenbreiten sind die Höhen der Flächen proportional den Häufigkeiten; bei ungleichen Klassenbreiten sind die Höhen proportional den Quotienten aus Häufigkeit und Klassenbreite.

10 1.3.04PI Statistik, SS Zahl k der Klassen nn√n k so, dass k ≤ √n k soll nicht kleiner als 5 nicht größer als 20 sein

11 1.3.04PI Statistik, SS Beispiele von Verteilungen Rechnungsbeträge CO-Emission von PKWs Lebensalter Schäden durch Wirbelstürme (in Mio USD)

12 1.3.04PI Statistik, SS Schäden durch Wirbelstürme

13 1.3.04PI Statistik, SS Schäden durch Wirbelstürme KlasseKl.-BreiteHäufigk'trel.Häufigk'tDichte 0 – ,500, – ,110, – ,260, ,130, ,00 Dichte: Relative Häufigkeit/Klassenbreite Dichtehistogramm: Fläche beträgt 1

14 1.3.04PI Statistik, SS Schuh- und Körpergröße Nach R. Hatzinger, 2003

15 1.3.04PI Statistik, SS Charakteristika von Verteilungen Beschreiben durch Kennzahlen wesentliche Eigenschaften der Verteilung Dazu gehören: Quantile, Minimum, Maximum Lagemaße Streuungsmaße Schiefe: charakterisiert Symmetrie Wölbung (Kurtosis): Vergleich von symmetrischer Verteilung mit Gauss‘scher Glockenform

16 1.3.04PI Statistik, SS Populationskenngrößen Analyse-Funktion in EXCEL Rechnungsbeträge Mittelwert772,46 Standardfehler50,10 Median714,62 Modus718,46 Standardabweichung354,29 Stichprobenvarianz125518,49 Kurtosis3,29 Schiefe1,60 Wertebereich1746,15 Minimum226,92 Maximum1973,08 Summe38623,15 Anzahl50

17 1.3.04PI Statistik, SS Lage- und Streuungsmaße Lagemaße Mittelwert Median, getrimmter Mittelwert Modus Streuungsmaße Standardabweichung s Varianz s 2 Interquartilsabstand I Spannweite R

18 1.3.04PI Statistik, SS Lagemaße Mittelwert: Median: nach der Größe geordnete Beobachtungen: den Index i nennen wir den Rang von Median: wenn n=2m+1 ungerade (m ist Rang der mittleren Beobachtung): wenn n=2m gerade:

19 1.3.04PI Statistik, SS Robuste Lagemaße Median: extreme Werte („Ausreißer“) haben keinen Effekt Getrimmter Mittelwert: Mittelwert von 80% der Beobachtungen, je 10% größte und kleinste Beobachtungen bleiben unberücksichtigt

20 1.3.04PI Statistik, SS Quantil (Perzentil) Quantil der Ordnung p aus n Beobachtungen x 1, …, x n ist die Beobachtung x (r) mit Rang r = (n+1)p wenn (n+1)p keine ganze Zahl ist: Mittel der benachbarten Beobachtungen Runden des Ranges (n+1)p Beispiel: Rechnungsbeträge (50 Beobachtungen) Quantil der Ordnung 0.8 (oder 0.8-Quantil): Mittel aus Beobachtungen mit Rängen 40 und Quartil oder 0.25-Quantil: Mittel aus Beobachtungen mit Rängen 12 und 13

21 1.3.04PI Statistik, SS Einige Quantile Quartile: 0.25-Quantil oder 1. Quartil (Q 1, Q u ) 0.75-Quantil oder 3. Quartil (Q 3, Q o ) 0.5-Quantil ist der Median Dezile Unteres Dezil oder 0.1-Quantil Oberes Dezil oder 0.9-Quantil

22 1.3.04PI Statistik, SS Standardabweichung Ist die Wurzel aus der Varianz s 2 : Varianz oder Stichprobenvarianz: Eigenschaften der Standardabweichung: s kann nicht negativ sein s = 0: alle Beobachtungen haben gleichen Wert s wird in den gleichen Einheiten gemessen wie X

23 1.3.04PI Statistik, SS Überdeckung Intervall Anteil der Beobachtungen 2/3 95% ~ 100% Gilt für die Normalverteilung exakt Gilt weitgehend für alle symmetrischen, unimodalen Verteilungen

24 1.3.04PI Statistik, SS Andere Streuungsmaße Interquartilsabstand I = Q o – Q u = Q 3 – Q 1 überdeckt die zentralen 50% der Beobachtungen Spannweite (range) R = x (n) – x (1) Variationskoeffizient (s in Prozent des Mittelwertes): für nicht-neg. Merkmale; unabhängig von Maßeinheit MAD (mean absolute deviation)

25 1.3.04PI Statistik, SS Schiefe und Wölbung Schiefe: Maß für Asymmetrie (unimodale Verteilung) rechtsschief: Modus < < Momentkeoffizient (Fisher): mit Wölbung: g 2 = 0: Gauss‘sche Glockenkurve g 2 < 0: abgeplattet, platykurtisch, heavy tail g 2 > 0: spitz, leptokurtisch, light tail

26 1.3.04PI Statistik, SS Box Plot Darstellung einer Häufigkeitsverteilung; gibt die wesentlichen Charakteristika wieder. (siehe Hackl & Katzenbeisser, S ) Ausreißer Whisker Q o Median Q u Whisker 50% der Daten

27 1.3.04PI Statistik, SS Beispiel: Heilmittelkosten Heilmittelkosten je Patient (in Euro) bei 1682 Praktischen Ärzten (AM) 176 Internisten (IN) 242 Orthopäden (OP) WGKG, 2002

28 1.3.04PI Statistik, SS Box Plot: Elemente Box: mittlere 50% der Beobachtungen; Begrenzungen sind Quartile; Median als Mittellinie Innere Grenzen (inner fences): Q u - 1.5I, Q u + 1.5I Äußere Grenzen (outer fences): Q u - 3I, Q u + 3I Beobachtungen innerhalb der Inneren Grenzen werden verbunden (whiskers) Beobachtungen außerhalb der Inneren Grenzen und innerhalb der Äußeren Grenzen: einzeln mit einem + einzeichnen (outlier) Beobachtungen außerhalb der Äußeren Grenzen: einzeln mit einem * einzeichnen (far outlier)

29 1.3.04PI Statistik, SS Fragestellungen In welchem Bereich kann man einen Mittelwert in der Grundgesamtheit erwarten ? Ist ein Mittelwert anders (kleiner, größer, oder ungleich) als eine bestimmte Vorgabe ?


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