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Energiebänder im Festkörper. Inhalt Klassisch: Energieniveaus eines freien Atoms Energie des Bohrschen Atommodells –Aufspaltung der Energieniveaus durch.

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Präsentation zum Thema: "Energiebänder im Festkörper. Inhalt Klassisch: Energieniveaus eines freien Atoms Energie des Bohrschen Atommodells –Aufspaltung der Energieniveaus durch."—  Präsentation transkript:

1 Energiebänder im Festkörper

2 Inhalt Klassisch: Energieniveaus eines freien Atoms Energie des Bohrschen Atommodells –Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei Annäherung eines zweiten Atoms Quantenmechanik: Alle Elektronen eines Festkörpers bilden eine quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet –Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im „Kasten“ Daraus resultiert das Bändermodell für –Isolator –Halbleiter –Leiter

3 Kristalline Festkörper

4 Bohrsches Atommodell r1r1 r 2 =4r 1 r 3 =9r 1 r 4 =16r 1 E 1 =-13,6 eV E 2 =-3,4 eV E 3 =-1,5 eV E 1 =-0,85 eV

5 Klassisches Modell Aufbau der Atome nach Bohrs Modell Aufspaltung der Energieniveaus bei Kopplung an benachbarte Atome (analog dem Doppelpendel)

6 Energie der Elektronen in Bohrs Atommodell E [eV] mal 0,0529 [nm] Abstand vom Kern Bindungsenergie

7 Zwei Atome im Kasten, klassisch

8

9 Quantenmechanisches Modell Die Elektronen von den in einem Festkörper gebundenen Atome werden als ein „gebundener Zustand“ aufgefasst Anstelle der lokalisierten Atome treten stehende Wellen im „Kasten“ –Die Wellenlängen sind Teiler der doppelten Kastenlänge Anstelle der Energie der Elektronen in Abhängigkeit vom Bahnradius tritt die Energie der Wellen in Abhängigkeit von der Wellenzahl Berechnung mit der Schrödingergleichung für das Kastenpotential

10 Zwei Teilchen in einem Kasten, quantenmechanisch x=0 x=L Klassisch: Quantenmechanisch :

11 Erste Welle für zwei Teilchen in einem Kasten x=0x=L

12 Zweite Welle für zwei Teilchen in einem Kasten x=0x=L

13 1/m Wellenzahlen „die in den Kasten passen“ 1 J Energie zu Wellen mit Quantenzahl n 1 J Wellenzahl und Energie Was kostet die Anregung einer Welle mit Wellenzahl n ?

14 Erste Welle für zwei Teilchen in einem Kasten x=0x=L 1mWellenlänge 1 1/mWellenzahl 1 JEnergie

15 Zweite Welle für zwei Teilchen in einem Kasten 1mWellenlänge 1 1/mWellenzahl 1 JEnergie x=0x=L

16 Elektronen sind „Fermionen“ Wellenzahl und Energie zur Wellenzahl können für eine Spin-Richtung nur einmal vergeben werden Der Festkörper (zunächst eine lineare Kette) habe die Länge L, er enthalte N Elementarzellen mit 2N Elektronen Man beginnt mit der Wellenzahl k 1 =π/L und ordnet sie zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin zu Man erhöhe die Wellenzahl bis k N =N·π/L

17 De Broglie Beziehung zwischen Wellen- und Teilcheneigenschaft Eine Welle mit Wellenzahl k entspricht einem Teilchen mit Impuls p=ħ·k

18 11s ↓ Beispiel: Kristall mit vier Elementarzellen Jedem Elektronenpaar (↑↓), z. B. für He Atome, wird genau eine Energie ε n zugeordnet 11s ↑ 2 3 4

19 Wellen im Kristall mit vier Elementarzellen Vier Wellen mit Wellenzahlen k=n·π/L passen in dieses Gitter, d. h. sie zeigen Knoten an den Enden des Kristalls Gitter mit vier Elementarzellen

20 Vier Wellen im Kristall mit vier Elementarzellen Aufenthaltswahrscheinlichkeit für vier Wellen mit Wellenzahlen k=n·π/L n=2 n=1 n=3 n=4

21 Energie ε n der Elektronen von He im Kristall mit vier Elementarzellen Energie ε n =n 2 h 2 /(8mL 2 ) Impuls ~ n Zu jeder Welle mit Wellenzahl k=n·π/L gehört die Energie ε n ~n 2 Nummer n der Wellenzahl 11s ↑ 2 3 4

22 Volle Besetzung des 1s Niveaus im He-Kristall 1 s mal 0,0529 [nm] Abstand vom Kern Bindungsenergie E [eV] Energie Band

23 Einbau von vier weiteren Elektronen in den Kristall mit vier Elementarzellen, z. B. Übergang von He mit zwei Elektronen zu Li mit drei Elektronen Kristall aus He-Atomen Kristall aus Li-Atomen

24 Wellen zu den Wellenzahlen n=5,6,7,8 n=6 n=5 n=7 n=8 Vier weitere Elektronen benötigen weitere Wellenzahlen

25 Zuordnung der Wellenzahlen ↑ und ↓ besetzt Nur ↑ besetzt, vier ↓ Wellen noch frei! 11s ↓ s ↑ s ↓ s ↑ 2 3 4

26 Vier freie Wellenzahlen (↓) in der 2s Schale des Li-Kristalls 1 s mal 0,0529 [nm] Abstand vom Kern Bindungsenergie E [eV] 2 s ↑ und ↓ besetzt Nur ↑ besetzt, vier ↓ Wellen noch frei! Bandlücke Band

27 Alternative Zuordnung: ↑ und ↓ besetzt Nur zwei Paare ↑ ↓ besetzt, zwei Paare sind noch frei! 11s ↓ s ↑ s ↓ s ↑ 2 3 4

28 Zwei freie Wellenzahlen (↑↓) in der 2s Schale des Li-Kristalls 1 s mal 0,0529 [nm] Abstand vom Kern Bindungsenergie E [eV] 2 s Bandlücke Band ↑ und ↓ besetzt Nur zwei Paare ↑ ↓ besetzt, zwei Paare sind noch frei! Leiter

29 Freie Plätze im „Band“, elektrische Leiter Freie Wellenzahlen in einem Band erlauben den Elektronen –Energie und –Impuls (p=ħ·k) aufzunehmen, –das Material ist elektrisch leitfähig Im Beispiel der Li-Kristall

30 Voll Besetzte Bänder, Nichtleiter Voll besetzt ist ein Band, wenn alle Wellenzahlen vergeben sind In diesen Bändern können die Elektronen keine Energie und keinen Impuls aufnehmen –Im Beispiel der He-Kristall diese Materialien sind Nichtleiter

31 Volle Besetzung des 1s Niveaus des He Kristalls 1 s mal 0,0529 [nm] Abstand vom Kern Bindungsenergie E [eV] Energie Band ↑ und ↓ besetzt Nichtleiter

32 Kleine Bandlücke: Halbleiter Bei genügend kleiner Bandlücke Zwischen einem voll besetzten und dem nächsten, unbesetzten Band genügt eine kleine Energiezufuhr, um das Material vom nichtleitenden in den leitenden Zustand zu überführen Diese Materialien nennt man Halbleiter

33 Modell eines Halbleiters: Kleine Bandlücke über dem Valenzband 1 s mal 0,0529 [nm] Abstand vom Kern Bindungsenergie E [eV] 2 s ↑ und ↓ besetzt Bandlücke Band Valenz Band Leitungs Band Leeres Leitungsband Halbleiter Kleine Bandlücke

34 Zusammenfassung Klassisch: Energieniveaus eines freien Atoms Energie des Bohrschen Atommodells –Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei Annäherung eines zweiten Atoms Quantenmechanik: Alle Elektronen eines Bandes bilden eine quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet –Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im „Kasten“ Daraus resultiert das Bändermodell für –Isolator –Halbleiter –Leiter

35 Formel- zeichen WertSI EinheitAnmerkung e1, CElementarladung 1, Js Plancksches Wirkungsquantum h6, meme 9, kg Masse des Elektrons 8, F/m Elektrische Feldkonstante Konstanten,


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