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Das Problem der Museumswächter Antje Gottschalk 04.01.2012 Proseminar Das Buch der Beweise.

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Präsentation zum Thema: "Das Problem der Museumswächter Antje Gottschalk 04.01.2012 Proseminar Das Buch der Beweise."—  Präsentation transkript:

1 Das Problem der Museumswächter Antje Gottschalk Proseminar Das Buch der Beweise

2 Einleitung Das Problem der Museumswächter Einleitung Fragestellung der Algorithmischen Geometrie tritt auf: - in der Robotik - in der digitalen Bildbearbeitung - bei Beleuchtungsproblemen - Beobachtung von Tierpopulationen - Aufstellung der Infrastruktur für Wetterbeobachtung/ Warnung vor Naturkatastrophen APX-Problem aber es gibt scharfe obere Schranken für das Problem und seine Varianten Im folgenden: - Museumswächterproblem von V. Klee und dessen Beweis von S. Fisk - drei Varianten

3 Wie viele Wächter braucht man zur Überwachung eines Museums ? Bedingungen: die Wächter haben einen festen Standpunkt haben, jeder Punkt ist im Sichtfeld eines Wächters, die Wächter können sich um 360° drehen. Victor Klee, August 1973, Konferenz in Stanford: Die Fragestellung Das Problem der Museumswächter

4 WENN das Polygon konvex ist. Ein Wächter reicht aus. ABER i.A. ist es ein beliebiges geschlossenes ebenes UND… Die Fragestellung Das Problem der Museumswächter Grundriss des Museums = ein Polygon mit n Seiten Abb.1: Eine konvexe Ausstellungshalle [1]

5 Abb.2: Weisman Art Museum, Minneapolis, USA [1] [2] … es gibt ziemlich verwinkelte Museen! Die Fragestellung Das Problem der Museumswächter

6 Beobachtung: Die Vermutung Das Problem der Museumswächter Die Vermutung Geg.: Museum mit n = 3m Wänden. Vermutung: Für jedes n gibt es ein Museum mit n Wänden, für das man n / 3 Wächter braucht. Diese obere Schranke ist scharf. Punkt 1 kann nur von einem Wächter beobachtet werden, der im schattierten Dreieck steht (analog die Punkte 2,3,…,m) alle Dreiecke sind disjunkt man braucht mind. m Wächter. Wächter an den oberen Kanten der Dreiecke postieren m Wächter reichen aus

7 Satz. Für jedes Museum mit n Wänden reichen n / 3 Wächter aus. Der Museumswächtersatz Das Problem der Museumswächter Beweis von S.Fisk (1978): Schritt 1. Triangulierung des Polygons (Museumsgrundriss) Schritt 2. 3-Färbung der Triangulierung Schritt 3. Schlussfolgerung auf die obere Schranke Der Museumswächtersatz/ Art Gallery Theorem (Aufgestellt und bewiesen von Vašek Chvátal, 1975)

8 Fisks Beweis Schritt 1. Triangulierung des Polygons P. Definition. Die Triangulierung T eines einfachen Polygons P ist ein planarer Graph, der dadurch gebildet wird, dass man die Ecken von P mit soviel wie möglich sich nicht- kreuzenden, in P liegenden Diagonalen verbindet, bis der Innenraum in Dreiecke aufgeteilt ist. Abb.3: Ein Museum mit n = 12 Wänden. [1] Abb.4: Triangulierung eines Museums mit n = 12 Wänden. [1] Fisks Beweis; Schritt 1; Triangulierung des Polygons; Definition Das Problem der Museumswächter

9 Satz. Für ein ebenes nicht-konvexes Polygon P existiert immer eine Triangulierung. Beweis. Fisks Beweis; Schritt 1; Triangulierung des Polygons; Beweis Das Problem der Museumswächter Induktionsanfang. Induktionsvorraussetzung. mittels Induktion über die Anzahl n der Ecken n = 3 P ist ein Dreieck = P ist ein Triangulierung. Der o.g. Satz gilt für ein n-Eck und alle Polygone mit weniger als n Ecken. Induktionsschritt. 1.Irgendeine Diagonale d finden, die das n+1-Eck P in zwei Teile P 1 und P 2 zerlegt 2.Existiert d, dann haben t 1 und t 2 jeweils weniger als n+1-Ecken P 1 und P 2 können nach IV in Dreiecke zerlegt werden P besteht aus allen diesen Dreiecken. P ist triangulierbar.

10 Fisks Beweis; Schritt 1; Triangulierung des Polygons; Beweis Das Problem der Museumswächter Für den Induktionsschritt, Teil 1: Irgendeine Diagonale d finden, die dieses n+1-Eck P in zwei Teile t 1 und t 2 zerlegt 1.Suche eine konvexe Ecke A des Polygons konvex = der innere Winkel an A ist kleiner als 180° Innenwinkelsumme(P) = (n-2)*180° es ex. mind. eine konvexe Ecke A Nach Schubfachprinzip ex. sogar mind. drei konvexe Ecken ! 2.Betrachte Nachbarecken B und C von A 1.Wenn Strecke BC innerhalb von P liegt Strecke BC ist Diagonale d. 2.Wenn nicht Dreieck ABC enthält weitere Ecken von P Verschiebung der Strecke BC Richtung A bis es die letzte Ecke Z trifft, die in ABC liegt. Strecke AZ liegt im Inneren von P Strecke AZ ist Diagonale d. Abb.5:Diagonale d finden [1]

11 Kann man dies auf den 3-dimensionalen Fall verallgemeinern ?? Fisks Beweis; Schritt 1; Triangulierung des Polygons; 3D Das Problem der Museumswächter Zerlegung in Tetraeder ohne zusätzliche Ecken Antwort: NEIN, denn es gibt ein Gegenbeispiel, das Schönhard-Polyeder. Das Schönhardt-Polyeder: entsteht aus einem Dreiecksprisma und Drehung des Deckels Triangulierung Tetraeder muss das Bodendreieck und eine weitere Ecke im Deckel enthalten solch ein Tetraeder existiert nicht Abb.6: [1]

12 Schritt 2. 3-Färbung der Triangulierung T. Definition. Mit der 3-Färbung einer Triangulierung T ist die Zuordnung von Farben zu den Ecken von T gemeint, so dass zwei benachbarte Ecken niemals die gleiche Farbe haben. Fisks Beweis; Schritt 2; Färbung der Triangulierung; Definition Das Problem der Museumswächter Abb.7: Triangulierung eines Museums [1] Abb. 8: 3-gefärbte Triangulierung eines Museums Farbe A Farbe B Farbe C

13 Das Problem der Museumswächter Fisks Beweis; Schritt 2; Färbung der Triangulierung ; Beweis Satz. Jede Triangulierung T eines Polygons P ist 3-färbbar. Beweis (mittels Induktion). Induktionsanfang. Induktionsvorraussetzung. Induktionsschritt. n = 3 P ist ein Dreieck = P ist 3-färbbar. Der o.g. Satz gilt für ein n-Eck und alle Polygone mit weniger als n Ecken. 1.P wird trianguliert, P hat n+1 Ecken 2.Wahl zweier beliebiger Ecken u,v von P, die durch eine Diagonale uv verbunden sind 3.Die Diagonale uv teilt P in zwei kleinere triangulierte Graphen P 1 und P 2 4.P 1 und P 2 enthalten jeweils weniger als n+1 Ecken 5.Nach IV sind P 1 und P 2 3-färbbar 1.In beiden Färbungen hat u Farbe A und v Farbe B 6.Zusammenkleben von P 7.P ist 3-färbbar

14 Fisks Beweis; Schritt 3; Schlussfolgerung auf die obere Schranke Schritt 3. Schlussfolgerung auf die obere Schranke Bisher gezeigt: Das Problem der Museumswächter Ein geschlossenes, ebenes Polygon mit n Wänden ist triangulisierbar 3-färbbar. Schritt 1 Schritt 2

15 Fisks Beweis; Schritt 3; Schlussfolgerung auf die obere Schranke Das Problem der Museumswächter Abb.8: 3-gefärbte Triangulierung eines Museums [1] Farbe A Farbe B Farbe C a, b, c entsprechen der Anzahl der Ecken pro Farbe (A, B, C), a, b, c n = die Gesamtzahl der Ecken, n n = a + b + c und a b c 3a n a n / 3 Jedes Dreieck enthält eine Ecke der Farbe A Volle Überwachung jeder Dreiecksfläche Volle Überwachung der Grundfläche des gesamten Museums Fazit: Die Anzahl der auf jeden Fall ausreichenden Wächter für ein Museum mit n Ecken ist n / 3.

16 Variationen und Erweiterungen 1. Die Wandwächter (G. Toussaint) Definition. Ein Wandwächter ist ein Wächter, der an einer Wand des Museums entlang läuft, und alles überwacht, was von irgendeinem Punkt der Wand aus zu sehen ist. Antwort. I.A. können n / 4 Wächter nötig sein (siehe Abb.) Vermutung: Diese Anzahl reicht auch aus (außer für einige kleine Werte von n). Ein Beweis ist nicht in Sicht. Variationen und Erweiterungen 1 Das Problem der Museumswächter Frage. Wie viele solche Wandwächter brauchen wir, um das gesamte Museum zu überwachen? Abb. 9: Dieses Polygon hat n = 28 Seiten/Ecken (und 4m Seiten i.a. Fall). [1]

17 Variationen und Erweiterungen 2. Orthogonale Polygone (Kahn, Klawe, Kleitman. 1980) Variationen und Erweiterungen 2 Das Problem der Museumswächter Definition. Ein orthogonales Polygon hat ausschließlich die Innenwinkel 90° und 270°. Satz. Zur Bewachung eines jedem überschneidungs- und lochfreien sowie planaren und orthogonalen Polygons mit n Seiten sind n / 4 Wächterpunkte stets ausreichend und manchmal notwendig. Beweis des Bedarfs. siehe Abbildung Beweis der Notwendigkeit. basiert darauf, dass jedes orthogonale Polygon in konvexe Quadrilaterale zerlegt werden kann zeigt dann, dass der resultierende Graph 4-färbbar ist Platzierung der Wächter an den Ecken mit der wenigsten Farbe Abb.10: Orthogonaler Kamm hat n=4m Seiten/Ecken [3] m

18 Zusammenfassung Variationen und Erweiterungen 2 Das Problem der Museumswächter Formfestmobil allgemein n / 3 n / 4 orthogonal n / 4 (3n+4) / 16 Tab.1: Zusammenfassung [6] Benutzt man Wandwächter, braucht man ¼ weniger als feste Wächter.

19 Variationen und Erweiterungen 3. Das Festungsproblem (D. Wood, J. Malkelvitch, 1970er, unabhängig voneinander) Variationen und Erweiterungen 3 Das Problem der Museumswächter Frage. Wie viele feste Eckwächter brauchen wir, um die gesamte äußere Umgebung einer Festung zu überwachen? Antwort. 1)Einfache konvexe Polygone höchstens n / 2 Wächter 2)Allgemeine Polygone P höchstens n / 2 Wächter, denn 1.Trianguliere die konvexe Hülle von P 2.Verbinde alle äußeren Ecken mit einer neuen Ecke v 3.Teile einen Knoten x in x und x 4.Bilde Triangulierung T des gesamten Graphen 5.3-Färbung von T 6.Platzierung der Wächter in den Ecken mit der seltensten oder zweitseltensten Farbe 3)Orthogonale Polygone höchstens n / 4 +2 Wächter Abb. 11: Das Festungsproblem [6]

20 Quellen Das Problem der Museumswächter [1] M. Aigner, G. Ziegler, Das Buch der Beweise, 3. Auflage, Springer, 2009, S [2] [3] [4] [5] D. Avis, G. T. Toussaint, An efficient algorithm for decomposing a polygon into star-shaped polygons, Pattern Recognition, 13, Nr. 6, 1981, S [6] [7]

21 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit !

22 Fisks Beweis; Schritt 1; Triangulierung des Polygons; Beweis Das Problem der Museumswächter Das Schubfachprinzip Informell. Falls man n Objekte auf m Mengen (n,m > 0) verteilt, und n größer als m ist, dann gibt es mindestens eine Menge, in der mehr als ein Objekt landet. [3] Vorstellung. Falls man eine bestimmte Anzahl von Schubfächern hat, und man mehr Objekte in die Fächer legt als Fächer vorhanden sind, dann landen in irgendeinem Schubfach mindestens zwei dieser Objekte. [3]

23 Fisks Beweis; Schritt 1; Triangulierung des Polygons; Beweis Das Problem der Museumswächter Das Festungsproblem: Allgemeine Polygone 1. Trianguliere die konvexe Hülle von P 2. Verbinde alle äußeren Ecken mit einer neuen Ecke v 3. Teile einen Knoten x in x und x 4. Bilde Triangulierung T des gesamten Graphen 5. 3-Färbung von T 6. Platzierung der Wächter in den Ecken mit der seltensten oder zweitseltensten Farbe


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