Kapitel 6: Kombinatorik

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1 Kapitel 6: Kombinatorik
ACM ICPC Praktikum Kapitel 6: Kombinatorik

2 Übersicht Grundlegendes Zählen Binomialkoeffizienten Wichtige Folgen
Rekurrenzgleichungen Rekursion und Induktion

3 Grundlegendes Zählen Produktregel: - a Möglichkeiten für Menge A - b Möglichkeiten für Menge B ) a ¢ b Möglichkeiten für A £ B 1 1 A: 1 2 1 2 A £ B: B: 1 2 2 1 2 2

4 Grundlegendes Zählen Summenregel: - a Möglichkeiten für Menge A - b Möglichkeiten für Menge B - A und B disjunkt ) a+b Möglichkeiten für A [ B A: 1 2 1 2 A [ B: 3 4 B: 3 4

5 Grundlegendes Zählen Inklusion-Exklusion-Prinzip: Für beliebige Mengen A und B gilt: |A [ B| = |A| + |B| - |A Å B| Allgemein gilt für A1,…,An: |A1 [ … [ An| = k=1n (-1)k+1 i1<i2<…<ik |Ai1 Å … Å Aik|

6 Grundlegendes Zählen Bijektion: Finde Abbildung f:M ! N von einer zu zählenden Menge M zu einer bekannten Menge N, so dass - für jedes y 2 N höchstens ein x existiert mit f(x)=y (f injektiv) - für jedes y 2 N mindestens ein x existiert mit f(x)=y (f surjektiv) Dann heißt f auch bijektiv.

7 Grundlegendes Zählen Anzahl Permutationen auf n Zahlen: n! = 1 ¢ 2 ¢ … ¢ n Anzahl aller Teilmengen von n Zahlen: 2n Anzahl aller k-elementigen Folgen aus n Zahlen (ohne Zurücklegen): n!/(n-k)! Anzahl aller k-elementiger Teilmengen von n Zahlen: ( ) = n!/((n-k)! k!) n k

8 Grundlegendes Zählen Anzahl der k-elementigen Folgen von n Zahlen mit Zurücklegen und Beachtung der Reihenfolge: nk Anzahl der k-elementigen Folgen von n Zahlen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge: ( ) n-1+k k

9 Binomialkoeffizienten
( ) = 1, ( ) = 0 für alle k>n ( ) = ( ) + ( ) Für beliebige a und b gilt: (a+b)n = i=0n ( ) ai bn-I Berechnung von ( ): rekursive Formel oben (Pascal Dreieck) oder ( ) = i=0k-1 (n-i)/(k-i) n n k n k n-1 k-1 n-1 k n i n k n k

10 Rekurrenzgleichungen
a1 = 1 und an = an-1+1: an = n a1 = 2 und an = 2 an-1: an = 2n a1 = 1 und an = n an-1: an = n! a1 = 2 und an = (an-1)2: an = 22n

11 Rekurrenzgleichungen
Fibonacci Zahlen: F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn-1+Fn-2 Fn = (1/ 5 ) ( ( )n – ( )n ) Catalan Zahlen: C0 = 1, Cn = k=0n-1 Ck Cn-1-k Cn = 1/(n+1) ¢ ( ) Zählen z.B. Anzahl Möglichkeiten für n ()-Klammerungen. n=3: ((())), ()(()), (())(), (()()), ()()() 1+ 5 2 1- 5 2 2n n

12 Rekurrenzgleichungen
Eulersche Zahlen: h i = k h i + (n-k+1) h i Zählen die Anzahl der Permutationen über n Zahlen mit k aufsteigenden Sequenzen. Anzahl ganzzahliger Partitionen: P(1,1)=1, P(n,k) = 0 für k>n P(n,k) = P(n-k,k)+P(n,k-1) Zählen die Anzahl ganzahliger Partitionen mit größtem Teil k. n k n-1 k n-1 k-1

13 Rekurrenzgleichungen
Stirling Zahlen erster Ordnung: [ ] = [ ] + (n-1) [ ] Zählen die Anzahl der Permutationen auf n Zahlen mit genau k Kreisen. Stirling Zahlen zweiter Ordnung: { } = k { } + { } Zählen die Anzahl der Möglichkeiten, n Elemente in k Teilmengen aufzuteilen. n k n-1 k-1 n-1 k n k n-1 k n-1 k-1

14 Rekursion und Induktion
Aufzählen kombinatorischer Strukturen: verwende rekursive Verfahren Korrektheitsbeweis rekursiver Verfahren: üblicherweise viel einfacher als für nichtrekursive Verfahren, da Korrektheit rekursiver Verfahren durch vollständige Induktion bewiesen werden kann.

15 Rekurrenzen aufspüren
Oftmals sind kombinatorische Probleme nur schwer direkt zu lösen. Vorgehen dann: zunächst einfache Beispiele betrachten und Lösung berechnen. Dann Rekurrenzgleichung herleiten und ggf. Korrektheit beweisen.