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Matheprojekt Gruppenmitglieder des Leistungskurs Mathe ABI 09 Celina Schneider Johanna Petersen Liuyi Dai Franziska Andresen.

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Präsentation zum Thema: "Matheprojekt Gruppenmitglieder des Leistungskurs Mathe ABI 09 Celina Schneider Johanna Petersen Liuyi Dai Franziska Andresen."—  Präsentation transkript:

1 Matheprojekt Gruppenmitglieder des Leistungskurs Mathe ABI 09 Celina Schneider Johanna Petersen Liuyi Dai Franziska Andresen

2 Teil 1 Unsere Wahl: Eine Milchtüte Besitzt eine Milchtüte die optimalen Maße? Inhalt der Tüte: 1 Liter

3 Errechnung der optimalen Maße 1) Skizze einer Milchtüte 1) Skizze einer Milchtüte h a a

4 2) Zielfunktion 2) Zielfunktion [Oberfläche = O] O = 2(h a + h a + a²) 3) Nebenbedingung h a a

5 4) Verbesserte Zielfunktion 4) Verbesserte Zielfunktion

6 5) Berechnung des Minimums 5) Berechnung des Minimums Bedingung : O(a) = 0 ; O(a) > 0 Bedingung : O(a) = 0 ; O(a) > 0 O(a) = 0 O(a) = 0 0 = 4a – 4000a | a² 0 = 4a – 4000a | a² 0 = 4a³ | : 4 0 = 4a³ | : 4 0 = a³ | = a³ | = | 1000 = | 10= a 10= aÜberprüfung O(10) = 12 > 0 T !

7 6) Weitere Werte 6) Weitere Werte

8 Antwort auf die Frage nach den optimalen Werten Die Verpackung wäre ideal, wenn sowohl Länge, als auch Breite und Höhe 10 cm betragen würden. Die wirklichen Maße von 19,6 cm Höhe und 7 cm Breite, bzw. Länge stimmen also nicht mit den optimalen Maßen überein.

9 Um alle Dinge zu berücksichtigen, die für die Herstellung einer Milchpackung verwendet wurden, müssen Ränder für die Klebestreifen (in der folgenden Zeichnung grün markiert) berechnet werden. Wir haben den neuen Materialverbrauch unter Berücksichtigung eines konstanten Wertes von 0,7cm für die Klebestreifen benutzt.

10 Wenn man sich eine Milchtüte genau anschaut, fällt auf, dass nicht nur Klebestreifen zu berücksichtigen sind, sondern auch seitlich weggeknickte Seiten, die auch mit in den Materialverbrauch hineinzählen. Dieser Überschuss an Material ist in der folgenden Zeichnung ebenfalls grün markiert. Wir stellen uns nun die Frage, wie groß der optimale Materialverbrauch wäre!

11 _______________e_ _________________ _ _______________e_ _________________ _

12 Annahmen _______e_________ Annahmen _______e_________ d = 0, 7 cm d = 0, 7 cm e = 4a + d e = 4a + d c = c = f = h +a+ 2d f = h +a+ 2d O = Materialverbrauch O = Materialverbrauch

13 1) Zielfunktion 1) Zielfunktion O= O= 4ha + 4a² + 8ad +hd +ad +2d² O= O= 4ha + 4a² + 8ad +hd +ad +2d² 2) Nebenbedingung V = 960 cm³ (Nach unseren Messungen scheinen nur 960 cm³ hinein zu passen. Die restlichen 40 cm³ befinden sich vermutlich in den Ausbuchtungen der Milchtüte.) V = 960 cm³ (Nach unseren Messungen scheinen nur 960 cm³ hinein zu passen. Die restlichen 40 cm³ befinden sich vermutlich in den Ausbuchtungen der Milchtüte.) V = a² h V = a² h 960 = a² h 960 = h a² a²

14 3) Verbesserte Zielfunktion: O = a+4a²+8 0,7a+960 0,7+0,7a+0,98 a² a² O = a²+5,6a+672+0,7a+0,98 a a² O = 4a²+6,3a+0, a a²

15 4) Extrempunkte 4) Extrempunkte Bedingung: O=0 und O> 0 O= 8a+6,3-3840a -1344a O= 8a+6,3-3840a -1344a O = a +4032a O = a +4032a

16 Notwendige Bedingung 8a + 6,3 –3840a -1344a = 0 | a³ 8a + 6,3 –3840a -1344a = 0 | a³ 8a + 6,3a³ a – 1344 = 0 8a + 6,3a³ a – 1344 = 0 a= 7, 69 cm a= 7, 69 cm

17 5) Überprüfung O(7,69) = 26, 04 > 0 O(7,69) = 26, 04 > 0 => lokale Minimumstelle => lokale Minimumstelle

18 6) Weitere Werte 6) Weitere Werte 960 = h a² 960 = h (7, 59)² 16,23 = h (cm)

19 7) Neue Berechnung des Materialverbrauchs Materialverbrauchs O = 4a²+6,3a+0, a a² O = 4(7, 69)²+6,3(7, 69)+0, ,69 (7, 69)² O = 796, 68 (cm²)

20 Ergebnis Der Materialverbrauch der Milchindustrie ist nur etwas höher, als der errechnete optimale Verbrauch und das lässt sich dadurch erklären, dass bei Lebensmittelverpackungen auch die Hygiene mit im Vordergrund steht. Fazit: Die Milchindustrie nutzt die für sie und uns optimale Verpackung.


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