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Die Korrespondenz zwischen Automaten und Logik Logische Aspekte von XML (SS03) Jens Kerber Betreuer: Tim Priesnitz Gert Smolka Programming Systems Lab.

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Präsentation zum Thema: "Die Korrespondenz zwischen Automaten und Logik Logische Aspekte von XML (SS03) Jens Kerber Betreuer: Tim Priesnitz Gert Smolka Programming Systems Lab."—  Präsentation transkript:

1 Die Korrespondenz zwischen Automaten und Logik Logische Aspekte von XML (SS03) Jens Kerber Betreuer: Tim Priesnitz Gert Smolka Programming Systems Lab Universität des Saarlandes [Moshe Vardi: A match made in heaven]

2 Einführendes Beispiel q0 q1 a b b a

3 Überblick Darstellungen mit Hilfe der charakteristischen Mengen schwache SkS Korrespondenz zwischen Baumautomaten und schwacher SkS Komplexität Anwendung auf Presburger Arithmetik

4 Isomorphie zwischen Prädikaten und Mengen Charakteristische Funktion: Charakteristische Menge:

5 String als Matrix

6 Charakterisierende Mengen als String

7 String als Matrix

8 Tupel-Automat

9 String als Matrix Tupel-Automat Logik * * * * d c b a f f f f

10 schwache SkS Nur Variablen 2. Ordnung Atomare Formeln: Logische Verknüpfungen:

11 Abgeleitete Prädikate Teilmenge

12 Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel

13 Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung

14 Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge

15 Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge Disjunkte Zerlegung

16 Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit

17 Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit Gleicheit

18 Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit Gleicheit Leerheit

19 Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit Gleicheit Leerheit Einelementige Menge

20 Abgeleitete Prädikate Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittmenge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit Gleicheit Leerheit Einelementige Menge Ordnung auf Individuen

21 Kodiere Bäume in schwacher SkS Nicht leer

22 Kodiere Bäume in schwacher SkS Nicht leer X disjunkte Vereinigung von X 1,...,X n

23 Kodiere Bäume in schwacher SkS Nicht leer X disjunkte Vereinigung von X 1,...,X n Präfixabgeschlossen

24 Kodiere Bäume in schwacher SkS Nicht leer X disjunkte Vereinigung von X 1,...,X n Präfixabgeschlossen Anzahl Nachfolger entspricht Stelligkeit

25 Wörter und Bäume in schwacher SkS Wort:Baum:

26 Entscheidbarkeit Satz: [Büchi,1960][Thatcher&Wright,1968] schwache SkS ist entscheidbar Beweisidee: Rückführung auf Automaten

27 Satz: [Büchi,1960][Thatcher&Wright,1968] Schwache SkS und Baumautomaten haben die gleiche Expressivität Beweisidee Automat nach Formel: Entwickle Formel die genau dann erfüllt ist wenn der entsprechende Automat den Baum akzeptiert Beweisidee Formel nach Automat: - Induktion über die Struktur der Formel - Baue Automaten für jede Basisformel - Verknüpfe Automaten für Basisformeln

28 Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS Es existiert Zustandsfolge

29 Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS Es existiert Zustandsfolge Baum markiert mit Funktionssymbolen

30 Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS Es existiert Zustandsfolge Baum markiert mit Funktionssymbolen Baum markiert mit Zuständen

31 Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS Es existiert Zustandsfolge Baum markiert mit Funktionssymbolen Baum markiert mit Zuständen Wurzel im Endzustand

32 Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS Es existiert Zustandsfolge Baum markiert mit Funktionssymbolen Baum markiert mit Zuständen Wurzel im Endzustand Alle Transitionsregeln im Lauf respektiern Δ

33 Endlicher Automat für atomare Formel q0

34 Endlicher Automat für atomare Formel q0

35 Endlicher Automat für atomare Formel q0 q1

36 Endlicher Automat für atomare Formel q0 q1

37 Baumautomat für atomare Formel q qq 0 q qq 1 q qq 0 1 q

38 Endlicher Automat für atomare Formel q0q1 q2

39 Endlicher Automat für atomare Formel q0q1 q2

40 Endlicher Automat für atomare Formel q0q1q2 q3

41 Endlicher Automat für atomare Formel q0q1q2 q3

42 Baumautomat für atomare Formel q q´q 0 1 q´´ q 0 q´´ qq 1 0 q´ qq´´ 0 q´´

43 Akzeptierter Baum für 0 0 1… 1 0 …… …

44 Endliche charakteristische Funktion in schwacher SkS fXfX Shape(X)

45 Endliche charakteristische Funktion in schwacher SkS fXfX Shape(X)

46 Endliche charakteristische Funktion in schwacher SkS fXfX Shape(X)

47 Verknüpfung Negation: Determinisierung Automat vervollständigen Normal- und Endzustände vertauschen Disjunktion: Zylindrifikation Existenzquantifizierung: Projektion

48 Zylindrifikation am Beispiel der Transitivität q0 q1q2

49 Automat für q0 q5 q1 q2 q3 q6 q7 q8 q9

50 Projektion am Beispiel q0 q1 q2 q3 q4

51 Projektion am Beispiel q0 q1 q2 q3 q4

52 Rückführung k-när auf binär

53 WSkSWS2S

54 Komplexität Existenz (Projektion) führt zu ND-Automaten Negation führt zu D-Automaten ND nach D führt zu exponentieller Größenzunahme Sei N Anzahl Quantoralternierungen: Sogar WS1S nicht elementar

55 Presburger Arithmetik Satz: [Presburger,1929][Büchi,1960][Elgot,1961] Presburger Arithmetik ist entscheidbar

56 Binärdarstellung in schwacher S1S

57 Binärdarstellung der Zahl (11) 10 :

58 Endlicher Automat für Addition q0 q1 q2

59 Endlicher Automat für Addition q0 q1 q

60 Referenzen [1] Hubert Comon, Max Dauchet, Remi Gilleron, Florent Jacquemard, Denis Lugiez, Sophie Tison, Marc Tommasi; Tree Automata Techniques and Applications; Online Publication 2002 [2] Wolfgang Thomas; Languages, Automata and Logic; Technical Report 1996 [3] Erich Grädel, Wolfgang Thomas, Thomas Wilke; Automata, Logics, and Infinite Games: A Guide to Current Research; Springer 2002 (LNCS 2500) [4] Bakhadyr Khoussainov, Anil Nerode; Automata Theory and Its Applications; Birkhäuser 2001 [5] Frank Neven; Automata, Logic, and XML; CSL 2002 [6] Frank Neven, Thomas Schwentick; Query Automata on finite trees; Theoretical Computer Science 2002 [7] Frank Neven; Automata theory for XML researchers; to appear in Sigmod Record


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