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Lebensdauer eines x-jährigen Manuel Sampl Proseminar Bakkalaureat TM 13.12.2005.

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Präsentation zum Thema: "Lebensdauer eines x-jährigen Manuel Sampl Proseminar Bakkalaureat TM 13.12.2005."—  Präsentation transkript:

1 Lebensdauer eines x-jährigen Manuel Sampl Proseminar Bakkalaureat TM

2 Modell Person mit Alter x Person mit Alter x zukünftige Lebensdauer T = T(x) zukünftige Lebensdauer T = T(x) x+T Todesalter der Person x+T Todesalter der Person

3 Verteilsfunktion von T T eine Zufallsvariable T eine Zufallsvariable Verteilsfunktion Verteilsfunktion G(t) = Pr(T t),t 0. G(t) = Pr(T t),t 0. t fest t fest G(t) die Wahrscheinlichtkeit, innerhalb von t Jahren zu sterben G(t) die Wahrscheinlichtkeit, innerhalb von t Jahren zu sterben

4 Verteilsfunktion von T Funktion Funktion stetig stetig Wahrscheinlichkeitsdichte Wahrscheinlichkeitsdichte g(t) = G(t) g(t) = G(t) Beispiel Beispiel g(t) dt = Pr(t < T < t + dt) g(t) dt = Pr(t < T < t + dt) Wahrscheinlichkeit des Todes in diesem Intervall Wahrscheinlichkeit des Todes in diesem Intervall

5 Symbolik internationale Symbolik in der Versicherungsmathematik internationale Symbolik in der Versicherungsmathematik t q x = G(t) t q x = G(t) t p x = 1 – G(t) t p x = 1 – G(t) s I t q x = Pr(s < T < s+t) = G(s+t) – G(s) s I t q x = Pr(s < T < s+t) = G(s+t) – G(s) = s+t q x - s q x = s+t q x - s q x

6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten t p x+s eine bedingte Wahrscheinlichkeit t p x+s eine bedingte Wahrscheinlichkeit t p x+s = Pr(T > s+t I T > s) t p x+s = Pr(T > s+t I T > s) = (1 – G(s+t)) / (1 – G(s)) = (1 – G(s+t)) / (1 – G(s)) t q x+s = Pr(T s+t I T > s) t q x+s = Pr(T s+t I T > s) = (G(s+t) – G(s)) / (1 – G(s)) = (G(s+t) – G(s)) / (1 – G(s))

7 Lebenserwartung ė x als Symbol f ü r die E(T) des x-j ä hrigen ė x als Symbol f ü r die E(T) des x-j ä hrigen ė x = t g(t) dt ė x = t g(t) dt 0 Verteilsfuntkion von T Verteilsfuntkion von T ė x = (1 – G(t)) dt = t p x dt ė x = (1 – G(t)) dt = t p x dt

8 Vereinfachungen der Notation Präfixe der Symbole Präfixe der Symbole t q x, t p x, s I t q x t q x, t p x, s I t q x für t =1 für t =1 q x, p x, s I q x q x, p x, s I q x

9 Die Sterblichkeitsintensität Definition Definition μ x+t = g(t) / (1 – G(T)) μ x+t = g(t) / (1 – G(T)) = - d/dt ln(1 – G(t)) = - d/dt ln(1 – G(t)) weil weil g(t) dt = Pr(t < T < t+dt) und t p x = 1 – G(t) g(t) dt = Pr(t < T < t+dt) und t p x = 1 – G(t) alternativer Ausdruck alternativer Ausdruck Pr(t < T < t+dt) = t p x μ x+t dt Pr(t < T < t+dt) = t p x μ x+t dt

10 Lebenserwartung Schreibweisen Schreibweisen ė x = t t p x μ x+t dt ė x = t t p x μ x+t dt 0 ė x = t g(t) dt ė x = t g(t) dt 0 ė x = (1 – G(t)) dt = t p x dt ė x = (1 – G(t)) dt = t p x dt

11 Analytische Verteilung von T analytisch bzw. mathematisch, falls G(t) durch eine einfache Formel beschrieben wird analytisch bzw. mathematisch, falls G(t) durch eine einfache Formel beschrieben wird Vorteil Vorteil wenig Paramter wenig Paramter Nachteil Nachteil ungenau ungenau

12 Beispiele von analytischen Verteilungen

13 De Moivre (1724) oberstes Alter ω oberstes Alter ω T gleichverteilt im Intervall (0, ω-x) T gleichverteilt im Intervall (0, ω-x) g(t) = 1 / (ω – x) g(t) = 1 / (ω – x) Sterblichkeitsintensität Sterblichkeitsintensität μ x+t = 1 / (ω – x – t) für 0 < t < ω – x μ x+t = 1 / (ω – x – t) für 0 < t < ω – x wachsende Funktion wachsende Funktion

14 Gompertz (1824) exponentielles Wachstum exponentielles Wachstum μ x+t = B c x+t mit B, c, t > 0 μ x+t = B c x+t mit B, c, t > 0 Vergleich zu De Moivre Vergleich zu De Moivre bessere Beschreibung menschlichen Alterns bessere Beschreibung menschlichen Alterns oberstes Alter ω überflüssig oberstes Alter ω überflüssig

15 Makeham (1860) Verallgemeinerung von Gompertz Verallgemeinerung von Gompertz μ x+t = A + B c x+t mit A > 0 μ x+t = A + B c x+t mit A > 0

16 konstante Sterblichkeitsintensität konstante Sterblichkeitsintensität Gompertz Gompertz μ x+t = B c x+t μ x+t = B c x+t c = 1 c = 1 Makeham Makeham μ x+t = A + B c x+t μ x+t = A + B c x+t B = 0 B = 0

17 Weibull (1939) Wachstum Wachstum nicht exponentiell nicht exponentiell wie eine Potenz wie eine Potenz μ x+t = k (x + t) n mit k, n > 0 μ x+t = k (x + t) n mit k, n > 0

18 Die gestutzte Lebensdauer Modell Modell μ x+t = g(t) / (1 – G(T)) μ x+t = g(t) / (1 – G(T)) = - d/dt ln(1 – G(t)) = - d/dt ln(1 – G(t)) Pr(t < T < t+dt) = t p x μ x+t dt Pr(t < T < t+dt) = t p x μ x+t dt

19 Zufallsvariabelen Zufallsvariabelen K = K(x) K = K(x) S = S(x) S = S(x)

20 Sei Sei K = [T] die ganzzahlig gestutzte zukünftige Lebensdauer K = [T] die ganzzahlig gestutzte zukünftige Lebensdauer Pr(K = k) = Pr(k < T < k+1) für k = 0, 1,... Pr(K = k) = Pr(k < T < k+1) für k = 0, 1,... Erwartungswert von K heißt die gestutzte Lebenserwartung bezeichnet mit e x Erwartungswert von K heißt die gestutzte Lebenserwartung bezeichnet mit e x

21 Sei Sei S der Bruchteil des Jahres im Todesjahr S der Bruchteil des Jahres im Todesjahr S im Intervall ( 0, 1 ) S im Intervall ( 0, 1 ) T = K + S T = K + S Approximation mit S = ½ Approximation mit S = ½ ė x e x + ½ als Näherung ė x e x + ½ als Näherung

22 Verwendung in der Praxis um die vollständige Lebenserwartung auszurechnen Verwendung in der Praxis um die vollständige Lebenserwartung auszurechnen Vorteil Vorteil einfacher auszuwerten einfacher auszuwerten Nachteil Nachteil nicht ganz so genau nicht ganz so genau


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