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Stabilität von Gleichgewichten. Ausgangspunkt: MHD-Gleichungen Kontinuitätsgleichung Kraftgleichung Ohmsches Gesetz Maxwell- Gleichungen Adiabatische.

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Präsentation zum Thema: "Stabilität von Gleichgewichten. Ausgangspunkt: MHD-Gleichungen Kontinuitätsgleichung Kraftgleichung Ohmsches Gesetz Maxwell- Gleichungen Adiabatische."—  Präsentation transkript:

1 Stabilität von Gleichgewichten

2 Ausgangspunkt: MHD-Gleichungen Kontinuitätsgleichung Kraftgleichung Ohmsches Gesetz Maxwell- Gleichungen Adiabatische Zustandsänderung: Und dazu noch:

3 Nichtlineare Stabilität: numerische Lösung der MHD Gleichungen Einfacher: Lineare Stabilität: Betrachte kleine Störungen des GG Störungsansatz für, v, p, B: z.B. Stabilitätsuntersuchungen

4 Für statische Gleichgewichte findet man Gleichungen für die zeitliche Entwicklung der gestörten Größen 1, v 1, p 1, B 1 z.B. Statt v 1 anschaulichere Größe (Zeitintegral von v 1 ) verwenden : Verschiebungsvektor (kleine Verschiebung des GG-Zustandes) Man findet aus Kraftgleichung (+ Maxwell, Adiabatengesetz): Lineare Stabilitätsuntersuchungen

5 Keine Quellen und Senken in idealer MHD EW-Problem mit reellem 2 2 > 0: Schwingungen um GG-Lage => Alfvèn-Wellen 2 0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einer Anfangsstörung Eigenwertproblem in linearer MHD

6 Die treibenden Kräfte Einfachster Fall: homogenes Plasma Keine Instabilitäten, aber Wellenausbreitung Zusätzlich zu Schallwellen: Alfvèn-Wellen

7 Wellen im Gas bzw. im Plasma ohne Magnetfeld: Schallwellen Ausbreitungsgeschwindigkeit:

8 Scher- Alfvèn-Wellen Magnetfeld-Energie Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und Charakteristische (Alfvèn-) Geschwindigkeit

9 Kompressionale Alfvèn-Wellen Kompressions-Energie Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und Charakteristische Geschwindigkeit:

10 MHD-Instabilitäten 2 0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einer Anfangsstörung Anschaulicher : Energieprinzip Ideale MHD: Energieerhaltung, weil keine Dissipation Stabiles Gleichgewicht: Minimum der potentiellen Energie

11 Das Energieprinzip (1) Kann man umschreiben mit Betrachte stationäres GG => kin. Energie nur in Störung W kin = zu: W kin = Energieerhaltung fordert Gleichheit von (Störung der) kinetischen und der potentiellen Energie

12 Das Energieprinzip (2) K(, ) >0 W pot imaginär => exponentiell anwachsende Störung W pot > 0 2 > 0 => reell => oszillierende Störung

13 Das Energieprinzip (3) W pot = W VAC + W OF + W PL Beitrag durch Ströme auf der Plasmaoberfläche: W OF stabilisierend: Kompression des Vakuumfeldes erfordert Energie Vakuumbeitrag:

14 Das Energieprinzip (4) W pot = W VAC + W OF + W PL u.U. destabilisierend Immer stabilisierend

15 Das Energieprinzip (4): stabilisierende Beiträge W pot = W VAC + W OF + W PL stabilisierendEnergie zum Verbiegen von Feldlinien, Feldlinienspannung (W pot zu Scher-Alfvèn-Wellen) Energie zum Komprimieren von Feldlinien (W pot zu Kompr.-Alfvèn-Wellen) Energie zum Komprimieren des Plasmas (W pot zu Schallwellen)

16 Das Energieprinzip (5): destabilisierende Beiträge W pot = W VAC + W OF + W PL u.U. destabilisierend immer stabilisierend Druckgetriebene Instabilitäten Stromgetriebene Instabilitäten

17 Das Energieprinzip (5): destabilisierende Beiträge W pot = W VAC + W OF + W PL Anwendungen des Energieprinzips: Wenn man Testfunktion finden kann, für die W pot negativ wird, ist Gleichgewicht instabil!

18 Destabilisierender Term: Destabilisierend für p p Austauschinstabilität

19 Beispiel: Z-Pinch Zylindersymmetrie => Fourier-Zerlegung des Verschiebungsvektors

20 j || =0 bei m=0 Störfeld senkrecht zu GG-Feld: Feldlinienkrümmung: Beispiel: Z-Pinch (m=0)

21 Minimierung der potentiellen Energie bzgl. und Einsetzen liefert: Stabilitätskriterium: i.allg. nicht erfüllt Kompressionsterme stabilisierend, aber ungünstige Krümmung Beispiel: Z-Pinch (m=0) Druckgradient destabilisierend

22 Beispiel für instabile Profile (Bennet-Profile) B (r) p(r) I z (r) r/r 0 Stabilität nur für > 2, aber ideale MHD: = 5/3

23 Würstcheninstabilität (m=0)

24

25 Stabilitätskriterium: Beispiel: Z-Pinch (m>0) Unter Nutzung der GG-Bedingung folgt: => Z-pinch stabil für m>2! < 0, wenn j(r) nach außen abfällt Im Zentrum Stromdichte etwa konstant => instabil für m=1!

26 Kink-Instabilität (m=1)

27

28 x

29 Z-Pinch: Kink- und Würstchen-Instabilität Stabilisierung durch Kombination mit Theta-Pinch!

30 Bisher ideale MHD – Instabilitäten: MF-Topologie nicht geändert

31 Resistive Instabiliäten Ohmsches Gesetz Maxwell- Gleichungen Endliche Resistivität erlaubt Änderung der MF-Topologie!

32 Magnetische Inseln Verringerung der Feldlinienspannung durch Rekonnektion führt zu Zustand geringerer Energie!

33

34 Zusammenfassung MHD-Wellen (auch im homogenen Plasma): Schallwellen, Scher-Alfvèn-Wellen, Kompressionswellen Getrieben durch Druck- oder Stromgradienten: Bsp: Austauschinstabilität Würstcheninstabilität Knick-(kink) Instabilität Lineare Instabilitäten in idealer MHD: Eigenwertproblem ( 2 <0) Energieprinzip ( W pot <0) Resistive Instabilitäten: wachsen viel langsamer als ideale Instabilitäten können Magnetfeldtopologie ändern


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