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A. Wynands, Uni Bonn 1 1 – 0 - π - e - i … Anmerkungen zur Mathematik-Didaktik am Beispiel π, e und i μάθημα - διδάσκω

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Präsentation zum Thema: "A. Wynands, Uni Bonn 1 1 – 0 - π - e - i … Anmerkungen zur Mathematik-Didaktik am Beispiel π, e und i μάθημα - διδάσκω"—  Präsentation transkript:

1 A. Wynands, Uni Bonn 1 1 – 0 - π - e - i … Anmerkungen zur Mathematik-Didaktik am Beispiel π, e und i μάθημα - διδάσκω

2 A. Wynands, Uni Bonn2 Gliederung 1. Absicht und Leitgedanken – Mathematik & (Entwicklungs-, Lehr- / Lern-) Psychologie & Pädagogik Mathematik-Didaktik 2. Ein Beitrag zur Frage: Was sollte Lernenden und Lehrenden im MU und in der Lehrerausbildung Mathe. Sek I / II angeboten werden? 3. (Basis-) Kompetenzen Mathematik Sek I (!) / Sek II (?) - Aufforderung zum Nach- und Mitdenken __________________________________________________________________________________________ 1.1 Mathematik hat Geschichte … auf den Schultern von Giganten: Thales v. Milet 624 – 546 Pythagoras um 570 - nach 510 Euklid 360 – 280 Archimedes um 287 – 212 L. Euler 1707 - 1783 Carl Friedrich Gauß 1777-1855 1.2 Algebraische Leitidee der Zahlentwicklung I, ١,, 1; 1 + 1 +1 + … N o (υδεν (UDEN = leer /nichts) Ist a + x = b immer lösbar? ja in Z Ist a*x = b immer lösbar? ja in Q (+,*) - minimaler Körper mit unendlich vielen El. (Char. 0) Q dicht mit Lücken R (+,*) – dicht, lückenlos, angeordnet … 1 + x*x = 0 soll Lösung haben – Adjunktion der Lösung C(+,*) algebraisch abgeschlossener Körper

3 A. Wynands, Uni Bonn3 2. Ein Beitrag zur Frage: Was sollte Lernenden und Lehrenden im MU und in der Lehrerausbildung Mathe. Sek I / II angeboten werden? Schule: ideal / real Ausschnitt aus … einer Ausstellung der Schule von Athen Mathematik zum Anfassen

4 A. Wynands, Uni Bonn4 Zahl und Zeichen: Striche / Kerben … Bündel IIII| IIII| II Babylon Maya Römer I II III IV V … X L C D M

5 A. Wynands, Uni Bonn5 0 – ουδεν (gr.) = nichts - Ptolemäus 367/66 - 283/82 Zahl Null zum Zählen und Rechnen 0 1 2 3 … Zahl + 0 = ZahlZahl * 0 = 0 1 + x = 0 negative Zahlen R. Descartes, 1596-1650 falsche – Zahlen L. Kronecker, 1823 - 1891 Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere [in der Mathematik] aber ist Menschenwerk Ziffer – Erfindung! – vgl. Georg IFRAH: Universalgeschichte der Zahlen, Campus Verlag, Frankfurt/New York, 1991; - http://de.wikipedia.org/wiki/Null#Babylonier

6 A. Wynands, Uni Bonn6 Kreiszahl π - Quadratur des Kreises Bodenplatte in Sardes / TR Säulen des Artemistempels in Sardes O – Skulptur München / Nähe Hbf

7 A. Wynands, Uni Bonn7 Definition für π ? Im MU: Verhältnis von Kreis-Umfang zum Kreis-Durchmesser. π := In Uni:

8 A. Wynands, Uni Bonn8 Wie groß ist π ? 1. Kön 7,23 und 2.Chr 4,2: aus Lutherbibel (1984) –Salomon-Tempel in Jerusalem ca. 1000 v.Chr. Und er machte das Meer, gegossen, von einem Rand zum andern 10 Ellen breit, ganz rund, fünf Ellen hoch, und eine Schnur von 30 Ellen konnte es umspannen.

9 A. Wynands, Uni Bonn9 Im Papyrus Rhind Quadratur der Möndchen ca. 1800 v.Chr. - Hippokrates v. Chios 5 Jh. v. Chr. π ca. Heute kennt man mehr als 1 000 000 000 000 Dezimalziffern von π

10 A. Wynands, Uni Bonn10 Archimedes (287-212 v. Chr.) versucht die Quadratur des Kreises mitAusschöpfung durch 6-, 12-, … 96-Eck

11 A. Wynands, Uni Bonn11 Vieta (1540 -1603):

12 A. Wynands, Uni Bonn12 Wallis (1616-1703) Brauncker (1620-1684) Gregory (1638-1675) und Leibniz (1646-1716) Euler (1707-1783)

13 A. Wynands, Uni Bonn13 Von welcher Zahl-Art ist π ? Lambert (1761): π ist irrational Lindemann (1882): π ist transzendent --------------------------------------------- Wallis, …, Euler, …,Lindemann,… haben ihren Platz in (Mathe.-) Vorlesung, (Didaktik-) Seminaren und Examensarbeiten

14 A. Wynands, Uni Bonn14 π im Mathematikunterricht – z.B. Maßstab/SEKUNDO

15 A. Wynands, Uni Bonn15 Geschichte(n) im MU - Aus (m)einem Schulbuch: Wer kannte mehr als 3 Ziffern von π? Was findest du dazu im www?

16 A. Wynands, Uni Bonn16 Mehr Archimedisches besonders im Gymnasium … Approximation, Konvergenz (-Geschwindigkeit) - Erlebnis Frage: Wie viel Termumformung braucht der Mensch? Antwort: Im MU (9. Kl.) Gy so viel …

17 A. Wynands, Uni Bonn17 Vom n-Eck- zum Kreisumfang 1. Versuch mit… führt zu einer Subtraktions-Katastrophe n Ecken 61,00E+003,0000000 125,18E-013,1058285 242,61E-013,1326286 481,31E-013,1393502 966,54E-023,1410320 50.331.6481,25E-073,1374751 100.663.2966,32E-083,1819805 201.326.5922,98E-083,0000000 402.653.1841,49E-083,0000000 805.306.3680,00E+000,0000000

18 A. Wynands, Uni Bonn18 2. Versuch mit 1,25E-073,14159265361,98E-150,25000 6,24E-083,14159265362,83E-160,14286 3,12E-083,14159265362,83E-161,00000 1,56E-083,14159265360,00E+000,00000 7,80E-093,14159265360,00E+00#DIV/0! s(n)Pi(n) 1,00E+003,0000000000.-.K-Faktor 5,18E-013,10582854123,53E-02 2,61E-013,13262861338,63E-030,24461 1,31E-013,13935020302,15E-030,24866 6,54E-023,14103195095,36E-040,24967 n Ecken 6 12 24 48 96 50.331.648 100.663.296 201.326.592 402.653.184 805.306.368

19 A. Wynands, Uni Bonn19 Von 2-hoch n über Wachstumsprozesse mit Euler zu e = … 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966 967627724076630353547594571382178525166427427466391932003 059921817413596629043572900334295260595630738132328627943 490763233829880753195251019011573834187930702154089149934 884167509244761460668082264800168477411853742345442437107 539077744992069551702761838606261331384583000752044933826 560297606737113200709328709127443747047230696977209310141 692836819025515108657463772111252389784425056953696770785 449969967946864454905987931636889230098793127736178215424 999229576351482208269895193668033182528869398496465105820 939239829488793320362509443117301238197068416140397019837 679320683282376464804295311802328782509819455815301756717 361332069811250996181881593041690351598888519345807273866 738589422879228499892086805825749279610484198444363463244 968487560233624827041978623209002160990235304369941849146 314093431738143640546253152096183690888707016768396424378 140592714563549061303107208510383750510115747704171898610 687396965521267154688957035035

20 A. Wynands, Uni Bonn20 Felix Klein 1849-1925Felix Klein 1849-1925 (* Düsseldorf, Bonn, Berlin, Göttingen) Hyperbel-Integration Logarithmus Exponentialfunktion. Leonard Euler : zeigte den Weg von b x zu log (x), der in den 1970er Jahren von Arnold Kirsch u.a. für den MU gangbar wurde. Ausgangspunkte sind Wachstumsprozesse in der Sek. I… … in Märchen, Schachbrettgeschichten, Kapital, Populationen … Wachstum/Zerfall pro Zeittakt um p% mit immer gleichem Faktor q := 1 + p/100 Arbeiten mit Hand und Verstand : 2 hoch - Stäbe aufstellen …in gleichmäßigen Abständen, Stäbe für Zwischenplätze n-te Wurzeln, Einpassen anderer Stäbe log-Werte, Verändern der Abstände alle EXP-Funktionen f(x) = b x sind zueinander affin (gedehnt / gestaucht).

21 A. Wynands, Uni Bonn21 e – die besondere Basis für proportionales Wachstum …

22 A. Wynands, Uni Bonn22 Was folgt aus der Definition von e? Die 1., 2., …Ableitung von e x ist wieder e x. Die Approximation von e x durch ein Polynom muss die Bedingungen erfüllen : 1 = e 0 = a 0, 1 = (e x )´ x=0 = a 1 … 1 = k! · a k

23 A. Wynands, Uni Bonn23 Definition des Logarithmus ln (x) als Umkehrfunktion der (streng monotonen ) Funktion e x. Algorithmus zur Berechnung von e x und ln (x) mit der Beziehung e x = ( e x/2 ) 2. 1. x-Wert wird n-mal halbiert, bis x/2 n =: x n sehr klein, 2. damit wird die Näherung berechnet: 1 + x n + ½ (x n ) 2 =: y 0, 3. y 0 wird n-mal quadriert; man erhält den Näherungswert für e x. Der Umkehrweg führt von einem gegebenem Wert y := e x in 3. über n-maliges Wurzelziehen zu y 0, in 2. wird die pos. Wurzel x 0 von 1 + x n + ½ (x n ) 2 = y 0 berechnet, in 1. gilt damit 2 n x 0 ln (y).

24 A. Wynands, Uni Bonn24 Die Transzendenz von e – nach Charles Hermite (1822- 1901/ Beweis 1873) - ist (Pflicht-?)Stoff im Studium. Die Irrationalität (Euler 1737) ist ein schönes Thema einer Facharbeit im Gy. Mit Folgt Widerspruch, weil rechts von = eine ganze Zahl steht!

25 A. Wynands, Uni Bonn25 Überraschend schön: Der komplexe Kitt i := (-1) verbindet π und e mit den neutralen Zahlen 0 und 1.

26 A. Wynands, Uni Bonn26 Die eingebildete imaginäre Einheit i ist ein Konstrukt, eine Erfindung menschlichen Denkens. Problem: x 2 + 1 = 0 Lösung: i i 2 + 1 = 0 i 2 = -1 i 3 = -i, i 4 = 1 … Erst C.F. Gauß (1777 - 1855) verhalf i zum Durchbruch. Ohne i gäbe es heute weder reine noch angewandte Mathematik!17771855

27 A. Wynands, Uni Bonn27

28 A. Wynands, Uni Bonn28 Gauß: z = x + iy 1 + i π/ n z = x + i y auf dem Einheitskreis (r = 1) Für große n ist α := π / n sehr klein und es gilt: Einerseits wegen n-fach-Drehung um α := π / n z n = -1 und Andererseits wegen für unendlich große n bzw. : z n = e i π also e i π + 1 = 0 Eli Maor zitiert in seinem Buch Die Zahl e Benjamin Peirce (Mathematiker, Harvard, 19 Jh):Die Formel ist gewiss absolut paradox; wir können sie nicht verstehen und wir wissen nicht, was sie bedeutet. Aber wir haben sie bewiesen und wissen daher, dass sie wahr ist.

29 A. Wynands, Uni Bonn29 Die schön(st)e Formel i := (-1) verbindet π und e mit 1 und 0. π e i*π + 1 = 0

30 A. Wynands, Uni Bonn30 3. (Basis-) Kompetenzen Mathematik Sek I (!) / Sek II (?) - Aufforderung zum Nach- und Mitdenken zum Sek. I – Abschluss Didaktische Literatur Mathematik - Cornelsen Didaktische Literatur Mathematik - Cornelsen

31 A. Wynands, Uni Bonn31 3. Basiskompetenzen Mathematik Wer sagt was über (Basis-)Kompetenzen Mathematik am Ende der Sek. II / Abi? MNU – GDM - … ? Und was sollten Basiskompetenzen von Lehramts-Studierenden sein? ?

32 A. Wynands, Uni Bonn32 Literatur Beckmann, P. (1989): A History of π, St. Martin´s, New York, Blankenagel, Jürgen (1988): Überlegungen zur Brauchbarkeit dreier Rekursionsformeln für die Pi- Berechnung nach Archimedes. Didakt. Math. v. 16(2) p.128-135. Euler, L. (1748): Introductio in Analysin Infinitorum, Bousquet, Lausanne Kneser, Martin (2004): Ein etwas anderer Zugang zur Exponentialfunktion; Math. Semesterberichte 51, 225-229, (mit Einarbeitungen von historischen Bemerkungen durch R. Remmert). Maor, Eli (1996):Die Zahl e – Geschichte und Geschichten, Birkhäuser, Basel. Posamentier/Lehmann (2004): A Biography of the World´s Most Mysterious Number; Prometheus Books, New York Schröder/Wurl/Wynands (2007): Schulbücher Maßstab/Faktor 9. Klasse für Haupt- und Realschulen, Schroedel-Verlag Wynands, A. (2007): π und e – Anmerkungen eines Didaktikers zu zwei Zahlen; DMV- und GDM- Jahrestagung, Berlin Wynands, A. (2007): π und e ­Zwei besondere Zahlen für Schüler und Lehrer; Festschrift für Michael Neubrand zum 60. Geburtstag. Franzbecker, Hildesheim Wynands, A. (2009): Mindeststandards / Basiskompetenzen und Risikogruppe GDM-Mitteilungen 87-2009 Drüke-Noe e.a. (2011): Basiskompetenzen Mathematik für Alltag und Berufseinstieg am Ende der allgemeinen Schulpflicht - Handreichungen für den Unterricht mit CD-ROM.CornelsenVerlag


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