Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

1 Designerkurven - Bézierkurven im Unterricht Baoswan Dzung Wong Tag über Mathematik und Unterricht MNG Rämibühl, 12. September 2012.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "1 Designerkurven - Bézierkurven im Unterricht Baoswan Dzung Wong Tag über Mathematik und Unterricht MNG Rämibühl, 12. September 2012."—  Präsentation transkript:

1 1 Designerkurven - Bézierkurven im Unterricht Baoswan Dzung Wong Tag über Mathematik und Unterricht MNG Rämibühl, 12. September 2012

2 2 Übersicht Geschichtliches Arten von Bézierkurven Analytischer Zugang (nach Bézier) Geometrischer Zugang (nach de Casteljau) Eigenschaften von Bézierkurven Bézierflächen

3 3 Geschichtliches: das Kurvenlineal

4 4 Geschichtliches: Pierre Bézier

5 5 Geschichtliches: Paul Faget de Casteljau

6 6 Arten von Bézierkurven: Mit gegebenen Endpunkten 1. Ordnung 2. Ordnung 3. Ordnung

7 7 Arten von Bézierkurven: 2. Ordnung

8 8 Arten von Bézierkurven 2. Ordnung: Fadenspannbilder

9 9 Bézierkurve 2. Ordnung in der Architektur Fussgängerbrücke in Seoul, Korea

10 10 Arten von Bézierkurven 3. Ordnung

11 11 Bézierkurven in Zeichenprogrammen Schritt 1: Werkzeugpalette/Linien/ S-förmige Linie anklicken

12 12 Bézierkurven in Zeichenprogrammen Schritt 2: Grundlinie P 0 P 3 definieren: Anfangspunkt 1x anklicken Endpunkt 2x anklicken

13 13 Bézierkurven in Zeichenprogrammen Schritt 3: Grundlinie anklicken: ctrl+Maustaste/Punkte bearbeiten/ Anfangspunkt P 0 anklicken: ctrl+Maustaste/Eckpunkte/ Blauen Griff zu P 1 ziehen

14 14 Bézierkurven in Zeichenprogrammen Schritt 4: Endpunkt P 3 anklicken: ctrl+Maustaste/Eckpunkte/ blauen Griff zu P 2 ziehen

15 15 Eigenschaften von Bézierkurven 3. Ordnung Kurve beginnt in P 0 : P(0) = P 0 Kurve endet in P 3 : P(1) = P 3 Kurve startet in Richtung P 0 P 1 : P(0) = 3 P 0 P 1 Kurve kommt aus Richtung P 2 P 3 : P(1) = 3 P 2 P 3

16 16 Analytischer Zugang (Bézier) Ansatz: P(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 Bedingungen: P(0) = P 0, P(1) = P 3 P(0) = 3 P 0 P 1, P(1) = 3 P 2 P 3 Gleichungssystem nach a i auflösen a i in Ansatz einsetzen und nach P i ordnen Resultat:

17 17 Analytischer Zugang (Bézier) Kurvengleichung wobei B 0 (t) = (1-t) 3 B 1 (t) = 3 (1-t) 2 t B 2 (t) = 3 (1-t) t 2 B 3 (t) = t 3 die bekannten Bernsteinpolynome sind.

18 18 Analytischer Zugang (Bézier) Die Gleichung der Bézierkurve lautet also wobei

19 19 Geometrischer Zugang (de Casteljau) Konstruktion eines Kurvenpunktes Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3 P2P2 P0P0 P1P1 R2R2 R3R3 S3S3 P3P3

20 20 Geometrischer Zugang: Herleitung der Formel Die Q i, R i und S i sind konvexe Kombinationen der P i, Q i und R i : Q i = (1-t) P i-1 + t P i, i = 1,2,3 R i = (1-t) Q i-1 + t Q i, i = 2,3 S i = (1-t) R i-1 + t R i, i = 3 wobei 0 < t < 1. S 3 =P(t) durch die ursprünglich gegebenen Kontrollpunkte P 0 P 1 P 2 P 3 ausgedrückt ergibt P(t) = (1-t) 3. P 0 +3(1-t) 2 t. P 1 + 3(1-t) t 2. P 2 + t 3. P 3

21 21 Geometrischer Zugang: Bedeutung der Formel Ein Punkt der Bézierkurve ist das gewichtete Mittel der Kontrollpunkte P(t) = (1-t) 3. P 0 + 3(1-t) 2 t. P 1 + 3(1-t) t 2. P 2 + t 3. P 3 P(t) = B 0 (t). P 0 + B 1 (t). P 1 + B 2 (t). P 2 + B 3 (t). P 3 wobei 0 < t < 1 und B 0 (t) = (1-t) 3 B 1 (t) = 3 (1-t) 2 t B 2 (t) = 3 (1-t) t 2 B 3 (t) = t 3

22 22 Eigenschaften von Bézierkurven Konvexe Hülle Symmetrie Variationsverminderung Selbstähnlichkeit Schnelle Berechnung Lokale Kontrolle bei Zusammensetzung

23 23 Weitere Eigenschaft von Bézierkurven: Trapezhöhe = 4/3 Kurvenhöhe Bei trapezförmigem Kontrollpolygon: a) Kurvenhochpunkt bei t = 1/2 b) Kurvenhochpunkt auf 3/4 der Trapezhöhe P1P1 P2P2 P3P3 P0P0 P(1/2)

24 24 Schülerarbeiten: Bézierkurven

25 25 Schülerarbeiten: Piktogramme

26 26 Bézierkurven in der Typographie

27 27 Vektorgraphik vs. Pixelgraphik Vektorgraphik eignet sich für: Vergrösserung ohne Qualitätsverlust (vgl. nebenstehendes Bild) sparsamen Speicherplatz Pixelgraphik eignet sich für: Wiedergabe von Fotografien

28 28 Vektorgraphik Wolke aus Bézierkurven 10 Bézierkurven (12. Ordnung) 200 Bézierkurven (12. Ordnung)

29 29 Vektorbild: Wäsche im Schnee

30 30 Bézierflächen Methode beim Modellieren mit Ton: Überflüssiges Material abstreichen

31 31 Bézierflächen: Rechteckige Flächenstücke Erzeugung durch Aneinanderreihen von Bézierkurven

32 32 Bézierflächen: Rechteckige Flächenstücke Kontrollnetz aus =16 Kontrollpunkten

33 33 Bézierflächen: Anwendungen rechteckiger Flächenstücke Äussere Karosserieteile, wie Dach, Türe, Motorhaube, usw.

34 34 Bézierflächen: Dreieckige Flächenstücke Kontrollnetz aus =10 Kontrollpunkten Baryzentrische Koordinaten

35 35 Für kompliziertere Formen: innere Teile der Automobilkarosse, Lancôme-Werbung, usw. Bézierflächen: Anwendungen dreieckiger Flächenstücke


Herunterladen ppt "1 Designerkurven - Bézierkurven im Unterricht Baoswan Dzung Wong Tag über Mathematik und Unterricht MNG Rämibühl, 12. September 2012."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen