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Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Potenzen und Wurzeln Zusammenfassung Jahrgang 8 G- Kurs Wenn dieses Symbol erscheint, musst.

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2 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Potenzen und Wurzeln Zusammenfassung Jahrgang 8 G- Kurs Wenn dieses Symbol erscheint, musst du die Taste drücken, damit es weitergeht

3 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Du bist jetzt hier: 1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln

4 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit 4³ = 4 · 4 · 4 12 5 = 12 · 12 · 12 · 12 · 12 6 8 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 7 7 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 Eine Potenz gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selber malgenommen wird:

5 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit 4 2 = 4 · 4 12 2 = 12 · 12 6 2 = 6 · 6 Eine besondere Potenz ist die Quadratzahl. Hier ist die Hochzahl immer die 2. Wir erinnern uns: Beim Quadrat ist die Fläche immer A = a · a = a² a a A

6 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit 4 3 · 4 = Man kann mit Potenzen rechnen, ohne diese jeweils auszuschreiben: 4 · 4 · 4 · 4 = Beispiel: 4 Das gilt, auch wenn es nicht ·4, sondern das Vierfache von heißt: 4 4 · 4 = Das geht doch auch direkt!? Einmal ·4 mehr, also … 4545 Das Vierfache von 4 7 = 4848 Das Vierfache, also ·4! 4·4·4·4·4·4·4 ·4 also 8 mal

7 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit (4 + 3)²+ 2 · 5 = Für Potenzen gelten Vorfahrtregeln wie für +, - · und : und () auch. Beispiel: 14 + 2 · 5 = Zuerst KLammer Dann + und - Zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Punkt- und zuletzt Strichrechnung. Dann Potenz 7 2 + 2 · 5 = Dann · und : 14 + 10 =24

8 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Es gibt noch andere Auffälligkeiten! 34 · 3534 · 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3 9 Aha, ich muss also nur 4 + 5 = 9 rechnen Das ist ne Rechenregel! 7 4 · 7 8 = 7 4+8 = 7 12 3 4 · 3 5 = 3 4+5 =3 9 Mit Buchstaben: x m · x n = x m+n Das ist ja viel weniger Arbeit!

9 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Du bist jetzt hier: 1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln

10 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit 10 2 = 10 · 10 = 100 10 3 = 10 · 10 · 10 = 1000 Bei genauer Betrachtung fällt auf, das die Hochzahl immer der Anzahl der Nullen entspricht! Eine weitere besondere Potenz ist die Zehnerpotenz. Hier ist die Grundzahl immer die 10. 10 7 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10000000

11 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Übrigens 1 000 000 000 000 = 10 12 Billionen 1 000 000 000 = 10 9 Milliarden 10 = 10 1 Zehn 100 = 10 2 Hundert 1000 = 10 3 Tausend 10 000 = 10 4 Zehn- Tausend 100 000 = 10 5 Hundert-Tausend 1 000 000 = 10 6 Millionen 10 000 000 = 10 7 Zehn- Millionen 100 000 000 = 10 8 Hundert-Millionen 10 000 000 000 = 10 10 Zehn- Milliarden 100 000 000 000 = 10 11 Hundert-Milliarden 10 000 000 000 000 = 10 13 Zehn- Billionen 100 000 000 000 000 = 10 14 Hundert-Billionen 1 000 000 000 000 000 = 10 15 Billiarden 10 000 000 000 000 000 = 10 16 Zehn- Billiarden 100 000 000 000 000 000 = 10 17 Hundert- Billiarden 1 = 10 0 Eins

12 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Du bist jetzt hier: 1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln

13 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Wir kennen: = 10 9 = 10 5 10 10 00000000 100000000 = 10 8 10000000 = 10 7 1000000 = 10 6 100000 10000 = 10 4 1000 = 10 3 100 = 10 2 = 10 1 10 -1 = 1 = 10 0 0,1 0,01 10 -2 = 0,001 10 -3 = 0,0001 10 -4 = 0,00001 10 -5 = Neu! Über die Hochzahl können wir auch kleine Zahlen definieren! Die Hochzahl zeigt, wie oft das Komma von der 1 weg verschoben wird!

14 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Zehnerpotenzen mit negativem Exponent beschreiben den Rechenschritt :10 Und weiter gilt Die negative Hochzahl einer Zehnerpotenz gibt also an, wie oft durch 10 geteilt wird. 10 -1 = = 0,1 1 10 10 -2 = = 0,01 1 10 · 10 10 -3 = = 0,001 1 10 · 10 · 10 Wenn wir :10 als Bruch ausdrücken, können wir schreiben:.. und so weiter!

15 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Du bist jetzt hier: 1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln

16 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Grosse Zahlen mit Zehnerpotenzen Man kann sehr große Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken ! 268900000000000 11 Nullen, (11 Kommastellen)! = 2689 · 10 11 Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle ! = 268,9 · 10 12 = 26,89 · 10 13 = 2,689 · 10 14

17 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen Man kann sehr kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken ! 0,0002689 4 Kommastellen = 2,689 · 10 -4 Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle, aber in die andere Richtung!! = 26,89 · 10 -5 = 268, 9 · 10 -6 = 2689 · 10 -7

18 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Du bist jetzt hier: 1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln

19 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Quadratwurzel Bisher haben wir das Ergebnis einer Potenzierung gesucht: 5² = Beispiel: 5 · 5 =25 Jetzt haben wir das Ergebnis und suchen die Zahl, die mit sich selber malgenommen das Ergebnis ergibt. ? · ? =16 Diese Berechnung hat eine bestimmte Schreibweise: ? = 16 2 Man sagt dazu: Wurzel, hier Wurzel 16.

20 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Quadratwurzel Aus dem 1 x 1 kennen wir schon verschiedene Ergebnisse Beispiel: 16 = 2 4 denn 4 · 4 = 16 9 = 2 3 denn 3 · 3 = 9 25 = 2 5 denn..... Andere Zahlen gehen nicht glatt auf: 8 = 2 2,8284271247461900976033774484194...5 = 2 2,2360679774997896964091736687313..

21 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Quadratwurzel Die Wurzel gilt nicht als Term, also Rechenanweisung, sondern als Zahl. Man könnte also schreiben: 1, 2, 9, 16, 5, 6, 7, 8, 81, 10, 11, = 2 22 1, 2, 3, 4, 25, 6, 7, 8, 9, 100, 11, = 2 22 oder: 9 = 2 3 Es ist also nicht nur 9 ist 2 3 usw. sondern 9 2 Damit liegt die Zahl zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 4. 2 7 (= 2,64575131106459...)... und die Zahl zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 3.

22 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Quadratwurzel Man kann bei einigen Zahlen vorhersehen, ob das Ergebnis einer Wurzel eine glatte Zahl ergibt: Beispiel: 16 = 4 2 1600 = 40 2 aber: 160 = 12,64911064 2 36 = 6 2 3600 = 60 2 aber: 360 = 18,97366596 2 Du kommst selber drauf. Achte auf die Anzahl der Nullen! 16000 = 126,4911064 2 36000 = 189,7366596 2


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