-Technik zur Lösung von Entscheidungsproblemen-

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1 -Technik zur Lösung von Entscheidungsproblemen-
TOPSIS Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution -Technik zur Lösung von Entscheidungsproblemen- Technik zur Lösung von Entscheidungsproblemen und zur Effizienz-Analyse aus dem Bereich der Unternehmensforschung (Operations Research). Ziel dieser Technik ist es die relative Vorteilhaftigkeit von Alternativen zu bestimmen. Eine Situation, in der TOPSIS z. B. angewendet werden kann, ist der Kauf eines Autos

2 TOPSIS wurde von Hwang/Yoon 1981 konzipiert
simple Technik zur Effizienzanalyse, mit vergleichsweise geringem Arbeitsaufwand Zahlreiche Anwendungen in verschiedenen Einsatzgebieten Beispiele: Auswahl von Robotern für den industriellen Einsatz Auswahl von Bearbeitungsverfahren für industrielle Anwendungen betriebliche Standortwahl Bewertung von Transportsystemen Andere Effizienzanalysen (DEA oder OCRA) –> mathematisch anspruchsvoll und verursachen hohen Arbeitsaufwand <-> TOPSIS dagegen eher simpel und wenig arbeitsaufwändig

3 Gliederung Definition Effizienz Ablauf von TOPSIS Beispiele

4 Aufgabenfeld der multikriteriellen Effizienzanalyse – wie TOPSIS
= Verhältnis von eingesetzten Inputquantitäten zu erzielten Outputquantitäten Zwei Vergleichsmaßstäbe stehen zur Verfügung absolute Effizienz Vergleich mit einer bekannten effizienten Alternative. Die Produktionsfunktion ist bekannt. Voraussetzung: Eine optimale Alternative als Bezugspunkt relative Effizienz Vergleich der Alternativen untereinander, da die absolut effizienteste nicht bekannt ist. Die einzelnen Alternativen sind aber alle mehr oder weniger ineffizient. Die Produktionsfunktion ist nicht bekannt. Voraussetzung: Mindestens zwei Alternativen Unterschied Nutzen zu Effizienz: Effizienz ist ein Verhältnis der eingesetzten zur Outputmenge  TOPSIS kann nur angewendet werden, wenn mind. zwei Alternativen bekannt sind Aufgabenfeld der multikriteriellen Effizienzanalyse – wie TOPSIS

5 Ansatz von TOPSIS Die Effizienz einer Alternative (aus einer endlichen Anzahl von Alternativen) wird bewertet, indem jeweils der Abstand der einzelnen Merkmalsausprägungen der betrachteten Alternative zu einer „virtuellen Alternative“ bestimmt wird. Einfachstes Beispiel: Ziel: Den effizientesten Spieler auswählen 3 Alternativen: Output: Input: Tore: 25 Kosten 29 Mio € Tore: 10 Kosten 37 Mio € Tore: 21 Kosten 21 Mio € Effizienz: 1,16 Mio €/Tor 0,27 Tore/Mio € Ziel dieser Technik ist es die relative Vorteilhaftigkeit von Alternativen zu bestimmen Absolute Effizienz? Relative Effizienz? 25 Tore für 21 Mio € = 1,19 Tore/ Mio €

6 Prinzipieller Ablauf von TOPSIS
Alternativen bestimmen Kriterien bestimmen Entscheidungsmatrix aufstellen Entscheidungsmatrix normalisieren Gewichte ermitteln / festlegen Mit Hilfe von AHP, o.ä. Entscheidungsmatrix gewichten virtuelle Alternativen bestimmen Abstandsmaße berechnen Effizienzindex und Rangfolge bestimmen

7 Auswahl der Alternativen
Wie bei allen Verfahren für multikriterielle Entscheidungen steigt mit der Zahl der Alternativen und der Zahl der Kriterien der Aufwand. Man sollte anhand von K.O.-Kriterien die Zahl der Alternativen gering halten. Beispiel KO-Kriterium: jemand fährt nur schwarze Autos  alle anderen Farben sind K.O.-Kriterium

8 Kriterien Inputs sind Kostenkriterien Outputs sind Nutzenkriterien
minimale Wert maximale Wert Bei Topsis wird zwischen Kosten- und Nutzenkriterien unterschieden, Dies ist bei erwünschten Gütern so, bei unerwünschten Gütern, wie z.B. unerwünschte Emissionen oder Abfall ist es andersrum: hier sind diese als Input zu modellieren und die Kosten als Output zu werten

9 Die Entscheidungsmatrix D
Vektor der Ausprägungen des Kriteriums Cm über die Alternativen Für jede Alternative muss die Erfüllung von allen Kriterien ermittelt werden. Kriterien 1 bis m Vektor der Bewertungen der Alternative A1 TOPSIS grundsätzlich nur auf kardinal messbare Kriterien anzuwenden Kardinalskala = Intervall- (z.B. Datum) oder Verhältnisskala (z.B. Alter) Keine Vorgaben, wie die Bewertung der relativen Kriterienbedeutung vorzunehmen ist  oft: Punkteskala von 1-5 (1 = geringe Bedeutung, 5 = hohe Kriterienbedeutung) Ausprägungen Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

10 Die Normalisierung der Entscheidungsmatrix
Grund der Normalisierung: Wenn alle Kriterien kardinal gemessen werden konnten, aber jedes in seiner Dimension, sind die Zahlen in den Spalten-Vektoren sehr unterschiedlich groß. Ohne Normalisierung würden dadurch implizite Gewichtungen der Kriterien aufgrund von Skaleneffekten entstehen. Normierung überflüssig, wenn AHP zur Bewertung benutzt wurde (dann nämlich schon normiert), sonst schon nötig, weil die Kriterien unterschiedliche Dimensionen haben, Skaleneffekte: z.B. Mitarbeiterzahl = 20 und Umsatz = 5 Mio Euro.  stärkere Gewichtung durch fache Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

11 Normalisierung Ergebnismatrix Reihensummen Normalisieren
3,0000 1,7500 8,0000 5,3332 3, ,0000 1,1666 0,6667 3,0000 =12,7500 =22,3332 =4,8333 0,3194 0,5595 0,1211 39,9165 1,0000

12 Methode der Normalisierung von Hwang/Yoon
Über die Spalten wird die Summe der Quadrate der Kriterienausprägungen berechnet. Daraus wird die Wurzel gezogen. Dann wird jede Kriterienausprägung durch diese Wurzel dividiert. 𝑟 𝑖𝑗 = 𝑑 𝑖𝑗 𝑖=1 𝑛 𝑑 𝑖𝑗 2   es wird quadriert, um: 1) zu vermeiden, dass durch null geteilt werden kann, wenn dij < 0 2) werden durch das Quadrieren Kompensationseffekte zwischen Kriterienausprägungen größer null und kleiner null vermieden.

13 Bestimmung der gewichteten normalisierten Entscheidungsmatrix
Jeder Spaltenvektor der normalisierten Entscheidungsmatrix wird mit einem Kriteriengewicht multipliziert. Die Kriteriengewichte werden z.B. mit einer Technik zur Ermittlung von Kriteriengewichten – wie z.B. dem AHP – bestimmt. normalisierte Entscheidungsmatrix R * Kriteriengewichte = gewichtete normalisierte Entscheidungsmatrix V = Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

14 Entwicklung „virtueller Alternativen“
Aus der gewichteten normalisierten Entscheidungsmatrix werden jetzt zwei „virtuelle Alternativen“ entwickelt. Darunter ist die beste mögliche und die schlechteste mögliche Alternative zu verstehen. beste mögliche Alternative schlechteste mögliche Alternative die höchsten Werte der Nutzenkriterien die niedrigsten Werte der Kostenkriterien die geringsten Werte der Nutzenkriterien die höchsten Werte der Kostenkriterien werden miteinander kombiniert Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

15 Berechnung von Abstandsmaßen
Für jede reale Alternative werden nun zwei Abstandsmaße zu den beiden virtuellen Alternativen berechnet. Abstand zur Worst-case-Alternative Abstand zur Best-case-Alternative A min A1 real A max „Euklidische Abstände“ messen den Abstand zwischen zwei Punkten in einem mehrdimensionalen Raum. Die Dimensionalität des Raumes wird durch die Anzahl der Kriterien bestimmt. Abstandsmaße sind die euklidischen Abstände Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

16 Bestimmung der relativen Nähe zur Best-case- Alternative
Auf Basis der Abstandsmaße kann für jede Alternative ein Abstands-Index für die relative Nähe zur Best-case-Alternative berechnet werden. Diesem Index liegt die Idee zugrunde, daß eine effiziente Alternative möglichst nahe am effizienten Rand einer Technologiemenge liegen sollte und gleichzeitig möglichst weit von ineffizienten Alternativen entfernt sein sollte. Übliche Effizienzmaße sind Quotienten, bei denen der Output zum Input ins Verhältnis gesetzt wird. Bei dem TOPSIS-Effizienzmaß – auch einem Quotienten – steht im Zähler der Abstand zur Worst-case-Alternative. Im Nenner steht die Summe der Abstände zu beiden Alternativen. Technologiemenge = tatsächliche Produktionsfunktion Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

17 Bestimmung des TOPSIS-Effizienzindexes
Der Indexwert ist null, wenn der Abstand zur schlechtesten denkbaren Alternative null ist. je höher der Abstand zum schlechtest denkbaren Fall, desto höher der Indexwert Abstand zur Worst-case-Alternative Abstand zur Best-case-Alternative + Abstand zur Worst-case-Alternative Der Indexwert ist eins, wenn der Abstand zur besten denkbaren Alternative null ist. je geringer der Abstand zum besten denkbaren Fall, desto höher der Indexwert Rangfolge kann erstellt werden, 0 = schlechtester Wert, 1 = bester Wert Zähler/Nenner Hoch minus  worst-case Hoch plus  best-case Der Indexwert liegt also zwischen 0 und 1. Dadurch ist die Interpretation erleichtert. Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

18 Beispiel: Effizienz von Filialen
Es soll die Effizienz von vier Filialen eines Handelskonzern verglichen werden. Die folgenden Kriterien sollen verwendet werden: Umsatz Freundlichkeit des Personals Wartezeiten an den Kassen Aktualität und Frische der Produkte Kosten Output Input Zwei Kriterien können in Geldeinheiten gemessen werden. Die übrigen drei Kriterien werden auf einer Skala mit Punkten (1-5) gemessen, wobei 1 = geringe Kriterienbedeutung und 5 = hohe Kriterienbedeutung. Skalenbruch Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

19 Beispiel 1 – Entscheidungsmatrix D
Für die Filialen 1 bis 4 und die 5 Kriterien wurden die unten dargestellten Kriterienausprägungen ermittelt. Filiale Umsatz € Freundlich-keit Personal Warte- zeiten Produkt-frische Kosten € 1 5 2 4 3 Die Entscheidungsmatrix wird im ersten Rechenschritt normalisiert: Für die Kriterienausprägung 1/1 gilt: Skalenbruch !!: da hier Umsatz und Kosten kardinal skaliert sind und die anderen drei Kriterien: ordinal skaliert sind  werden aber im weiteren Verlauf wie kardinal skaliert behandelt 𝑟 𝑖𝑗 = 𝑑 𝑖𝑗 𝑖=1 𝑛 𝑑 𝑖𝑗 2 Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

20 Beispiel 1 – normalisierte Entscheidungsmatrix R
Filiale Umsatz € Freundlichkeit des Personals Warte- zeiten Produkt-frische Kosten € 1 0,447 0,680 0,577 0,640 0,449 2 0,547 0,544 0,462 0,512 0,543 3 0,472 0,272 0,346 0,256 0,468 4 0,527 0,408 0,533 Diese normalisierte Entscheidungsmatrix ist nun mit den Kriteriengewichten zu gewichten. Diese sind: Umsatz € Freundlichkeit des Personals Warte- zeiten Produkt-frische Kosten € Gewicht 0,42 0,06 0,04 Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

21 Beispiel 1 – gewichtete normalisierte Entscheidungsmatrix V
z.B. 0,447 * 0,42 Filiale Umsatz € Freundlichkeit des Personals Warte- zeiten Produkt-frische Kosten € 1 0,188 0,041 0,035 0,026 2 0,230 0,033 0,028 0,020 0,228 3 0,198 0,016 0,021 0,010 0,197 4 0,221 0,024 0,224 Wartezeiten = nicht gemeint: Dauer der Wartezeit, sondern die Eingruppierung der Wartezeit Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

22 Beispiel 1 – Berechnung der „virtuellen Alternativen“
Aus den Spalten werden nun die jeweils besten und schlechtesten Werte herausgesucht. Umsatz € Freundlichkeit des Personals Warte- zeiten Produkt-frische Kosten € Best-C 0,230 0,041 0,035 0,026 0,188 Worst-C 0,016 0,021 0,010 0,228 Beim Kostenkriterium ist der geringste Wert der beste und der höchste der schlechteste! Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

23 Beispiel 1 – Berechnung der Abstandsmaße
Umsatz € Freundlichkeit des Personals Warte- zeiten Produkt-frische Kosten € Best-C 0,230 0,041 0,035 0,026 0,188 Worst-C 0,016 0,021 0,010 0,228 Nun werden die euklidischen Abstände berechnet (am Beispiel Filiale 2): 2 0,230 0,033 0,028 0,020 0,228 Abstand zur besten virtuellen Alternative: Abstand zur schlechtesten virtuellen Alternative: Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

24 Beispiel 1 – Abstandmaße und Effizienzindex
Filiale Abstand zum Best-case Abstand zum Worst-Case Effizienz-Index Rangplatz 1 0,042 0,051 0,548 2 0,047 0,528 3 0,033 0,413 4 0,041 0,038 0,481 Beispiel für die Berechnung des Effizienz-Index für Filiale 2 𝐶 2 = 0,047 0,042+0,047 ≈0,528 Braucht keine spezielle Software, empfohlen wird Excel Nachteile: oft sind die Daten nicht ausreichend bekannt, z.B. Gewichtungen oder Input/Outputquantitäten… Voraussetzung von Kriterienausprägung auf Kardinalskala, um die Abstandsmaße berechnen zu können  nicht breit einsetzbar! Abstand zur Worst-C-Alternative Abstand zur Best-C-Alternative + Abstand zur Best-C-Alternative Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

25 Beispiel 2 – Auswahl des richtigen Bewerbers
Entscheidungsmatrix mit objektiven Kriterien Shih/Shyr/Lee, An extension of TOPSIS for group decision making, 2007

26 Beispiel 2 – Auswahl des richtigen Bewerbers
Entscheidungsmatrix mit subjektiven Kriterien Shih/Shyr/Lee, An extension of TOPSIS for group decision making, 2007

27 Beispiel 2 – Auswahl des richtigen Bewerbers
Gewichtung der einzelnen Kriterien Shih/Shyr/Lee, An extension of TOPSIS for group decision making, 2007

28 Beispiel 2 – Auswahl des richtigen Bewerbers
Euklidische Abstände, Effizienzindex und Rangfolge Formel für Effizienzindex: Abstand zur Worst-case-Alternative : (Abstand zur Best-case-Alternative + Abstand zur Worst-case-Alternative) Shih/Shyr/Lee, An extension of TOPSIS for group decision making, 2007

29 Vergleich AHP vs. TOPSIS
Eigenschaften AHP TOPSIS Skala kardinal Hauptaugenmerk der Vorgehensweise Paarweiser Vergleich Abstandsmaße von Best-Case und Worst-Case Kriterien gegeben Erhebung der Gewichtung Konsistenzcheck möglich nicht möglich Anzahl der empf. Kriterien 7 ± 2 oder hierarchische Zerlegung mehr möglich Anzahl der empf. Alternativen 7 ± 2 Sonstiges multikriterielle Entscheidungsfindung TOPSIS braucht keine Spezial-Software, Excel ist aber ratsam Problem: dadurch, dass nur kardinale Skalen verwendet werden können, kann dieses Verfahren nur begrenzt verwendet werden Shih/Shyr/Lee, An extension of TOPSIS for group decision making, 2007

30 Literatur Peters, Malte L. und Zelewski, Stephan: TOPSIS als Technik zur Effizienzanalyse. Wirtschaftsstudium, Heft 1, 2007, S. 9-15 Hwang und Yoon: Multiple Attribute Decision Making- Methods and Applications A State of the Art Survey, Berlin, Heidelberg, New-York, 1981 Shih, Shyur, Lee: An extension of TOPSIS for group decision making, Mathematical and Computer Modelling 45 (2007), S