Innermathematische Aufgaben Dirk Hadasik. Produktive Aufgaben sind komplexer als die üblichen, meist auf eine Lösung und einen Lösungsweg zugeschnittenen.

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1 Innermathematische Aufgaben Dirk Hadasik

2 Produktive Aufgaben sind komplexer als die üblichen, meist auf eine Lösung und einen Lösungsweg zugeschnittenen Aufgaben, Sind auf eine Diskussion und Reflexion unterschiedlicher Lösungen und unterschiedlicher Lösungswege angelegt Trauen den Schülerinnen und Schülern in einem weiter gesteckten, aber klar begrenzten Rahmen selbständige Leistungen zu, Ermuntern zu unterschiedlichen Zugangsweisen:  Probieren, Experimentieren, Messen, …  Produzieren, Skizzieren, Zeichnen, …  Argumentieren, Belegen, Begründen, …  Begriffliches Deduzieren, Analysieren, mit symbolischen Kalkülen arbeiten … Herget, Jahnke und Kroll: 2001, S. 3

3 Produktive Aufgaben sind dazu gedacht, den laufenden Unterricht zu curricularen Kernthemen zu unterstützen, indem sie die Einführung neuer Begriffe und Verfahren vorbereiten, intelligente Übungsmöglichkeiten bereitstellen, mathematikhaltige Probleme aus der Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler aufgreifen oder eine mathematische Modellbildung fordern. Aber natürlich nicht alles gleichzeitig. Herget, Jahnke und Kroll: 2001, S. 3

4 Produktive Aufgaben können die Gestaltung des Unterrichts beeinflussen und verändern, indem sie Aktivitäten der Schülerinnen und Schüler hervorrufen und ihnen mehr Raum und Bedeutung geben, durch ihre Lösungsvielfalt und weiterführende Fragen eine Binnendifferenzierung ermöglichen, die Fixierung auf Routineverfahren und –lösungen aufweichen, dem Üben von Verfahren zunächst das eigene Suchen und Testen von Verfahren voranstellen, ein lebendiges Bild von Mathematik entstehen lassen. Herget, Jahnke und Kroll: 2001, S. 3

5 1. Exposition Darstellung eines Problems und Formulierung einer Fragestellung durch die Lehrperson. Muss klar formuliert werden, am besten schriftlich. Wichtig: Übergang in die nächste Phase muss klar akzentuiert sein. Herget, Jahnke und Kroll: 2001, S. 10 ff

6 2. Schülerarbeit Sollte ernsthaft und verbindlich angelegt sein. Den Schülerinnen und Schülern sollte der experimentelle Charakter der Aufgaben klar sein. Ebenfalls sollte kommuniziert werden, dass keine bestimmte Technik verlangt wird und dass die Schülerinnen und Schüler das Ergebnis nicht kennen können.

7 3. Klassengespräch Vorstellung der Arbeitsergebnisse der Schülerinnen und Schüler an die Klasse an der Tafel. Austausch von Erfahrungen beim Lösen. Lehrer fungiert als Moderator, der sich weitestgehen zurückhält, interveniert, klärend nachfragt und für angenehme Lernatmosphäre sorgt.

8 4. Regularisierung Lehrer fasst die Ergebnisse zusammen und stellt den Anschluss an die Sprache und Begriffe, die in den Schulbüchern stehen, her.

9 Sechs Kriterien interessanter Aufgaben: 1. Anwendungsrelevanz 2. Aktueller Bezug 3. Kognitiver Konflikt 4. Der Bezug zur Wahrnehmungswelt der Schüler 5. Präsentationsform 6. Innermathematische Eigenschaften Leuders: 2001, S. 121 - 140

10 1. Anwendungsrelevanz Hier geht es um die Wahrnehmung der Schüler: Ist die Aufgabe realitätsnah und wird vom Schüler auch so wahrgenommen? Realitätsnah, wenn eine vorstellbare Handlungssituation vorhanden ist und wenn die Aufgabe offen ist. Leuders: 2001, S. 122 ff

11 Beispiel: Um beim Anstreichen eines Zimmers den richtigen Farbton Zitrus zu treffen, soll man laut Herstellerzur weißen Farbe etwa 2-3% gelber Tönung hinzugeben. Für 10 m² braucht man laut Angabe auf dem Farbeimer etwa 4 Liter Farbe. Wie würdest Du vorgehen, wenn du dein Zimmer vollständig im Farbton Zitrus streichen wolltest? Peters Zimmer ist 3,2m lang, 2,3m breit und 2,2m hoch, hat eine Tür (2m hoch, 1m breit 9 und ein Fenster (1,2m hoch, 1m breit). Wie viel Farbe braucht man, wenn 4l für 10m² reichen? Welche Aufgabe ist warum realitätsnah? Leuders: 2001, S. 122 ff

12 2. Aktueller Bezug Aktuelles Tagesgeschehen kann Schülern transparent gemacht werden wo ihre Umwelt von Mathematik durchdrungen ist, wie Mathematik einen mündigen Umgang mit Informationen ermöglicht, wie eine mathematische Perspektive den Wahrnehmungshorizont erweitern kann. Leuders: 2001, S. 124 - 127

13 Beispiele: - Sonnenfinsternis 1999 - Schaltjahr - Werbung - Wahlen Leuders: 2001, S. 124 - 127

14 3. Kognitiver Konflikt Durch das Stellen und lösen eines Konfliktes wird ein Lernprozess in Gang gesetzt, der es ermöglicht weitere Fragestellungen zu formulieren und zu entdecken. Leuders: 2001, S. 128 - 133

15 Beispiele: - Ziegenproblem - Statistische Wahrscheinlichkeit vs. Gesetz der großen Zahlen - Fremdartige Geometrie - Wettlauf des Archimedes gegen die Schildkröte (Problem der Unendlichkeit) Leuders: 2001, S. 128 - 133

16 4. Der Bezug zur Wahrnehmungswelt der Schüler Die Wahrnehmungswelt der Schülerinnen und Schüler ist der Alltag. Hier soll Bezug genommen werden auf mathematische Problemstellungen der Alltagserfahrungen der Schülerinnen und Schüler aus unmittelbaren Erfahrungen mittelbaren Erfahrungen hypothetischen Erfahrungen Leuders: 2001, S. 133 - 137

17 Beispiele: - Einkauf, Fahrrad fahren, Musik hören (unmittelbare Erfahrungen) - Informationen aus Medien wie beispielsweise Wirtschaft, Technik, Natur (mittelbare Erfahrungen) - Wandanstrich aus 1., Lotto (hypothetische Erfahrungen) Leuders: 2001, S. 133 - 137

18 5. Präsentationsform Damit ist nicht die Präsentation der Lösung sondern die Präsentation der Aufgabe gemeint, also die Frage nach der Visualisierung eines Problems. Welche Möglichkeiten habe ich eine Aufgabe zu stellen und welche Motivation steckt dahinter? Leuders: 2001, S. 137 ff

19 Beispiele: - Zufallsexperimente vorführen, durchführen oder entwickeln lassen. - Experimentieren bei Volumen durch Umfüllen Leuders: 2001, S. 137 ff

20 6. Innermathematische Eigenschaften - Fundamentalität - Ästhetischer Charakter - Existenz eines unerwarteten Lösungswegs Beispiele: - Ist o,9999999… das selbe wie 1 - Gibt es einen Dezimalbruch, der nie periodisch wird? Leuders: 2001, S. 139 f

21 Herget, Jahnke und Kroll: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I. Berlin: Cornelsen Scriptor 2001, S. 3, S.10f Leuders: Qualität im Mathematikunterricht. Berlin: Cornelsen Scriptor 2001, S. 121-140