Vorlesung 23.10.2006: Erste Auswertungen von erfassten Daten: absolute und relative Häufigkeiten; Lage- und Streuungsmaße Vorlesung 30.10.2006:

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1 Vorlesung : Erste Auswertungen von erfassten Daten: absolute und relative Häufigkeiten; Lage- und Streuungsmaße Vorlesung : Gleichzeitige Untersuchung von 2 Merkmalen Mengentheoretische Grundbegriffe

2 Dem ersten Eindruck nicht bedingungslos trauen!
Untersuchung von Datenmengen  geeignete (= aussagekräftige und intuitive) Darstellung finden Aber: Vorsicht beim Lesen von Diagrammen

3 Beeindruckende Ergebnisse – oder?
Tipp: Achten Sie auf die Achsen-beschriftung!

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5 Eine gute graphische Darstellung von statistischen Daten
Eine gute graphische Darstellung von statistischen Daten? Vorsicht beim Lesen!

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8 Lage- und Streuungsparameter für eine gegebene Stichprobe
Beispiel: Clownspiel  meine Würfelserie: Augenzahl H(a) h(a) 1 2 2/15 4 4/15 3 1/15 5 6 Stichprobenumfang Hier: Länge der Würfelserie = 15 Arithmetisches Mittel

9 Arithmetisches Mittel = Schwerpunkt= Unterstützungspunkt für das Gleichgewicht unserer Waage Frage: Wie schwanken, wie streuen die Ausprägungen um den „zentralen Wert“ , d. h. um das arithmetische Mittel?  Berechnung der Standardabweichung

10 Berechnen der Stichprobenvarianz und der Standardabweichung für meine Würfelserie:
 Für meine Serie:  Übergang zur Standardabweichung:  Die gewürfelten Augenzahlen streuen im Bereich (3,46-1,6847 , 3,46 + 1,6847) = (1,7753 , 5,1447)

11 (durchschnittliche Streuung)
Standardabweichung (durchschnittliche Streuung) Streubereich um den Mittelwert 3,46 , in dem die meisten der Ausprägungen der (= meiner konkreten) Stichprobe liegen.

12 Gleichzeitige Untersuchung von zwei Merkmalen
Vorgegeben: eine Gruppe von Merkmalsträgern Wir betrachten für diese Merkmalsträger gleichzeitig zwei Merkmale:  Jedem Merkmalsträger werden gleichzeitig zwei Ausprägungen zugeordnet: seine Ausprägung bezüglich des 1. Merkmals und seine Ausprägung bezüglich des 2. Merkmals Merkmalsträger Nr. j  Zuordnung (x (j), y(j))

13 Datenmatrix:. tabellarische Darstellung, die für jeden Merkmals-
Datenmatrix: tabellarische Darstellung, die für jeden Merkmals- träger der untersuchten Gruppe die zu ihm gehörigen Merkmalsausprägungen enthält Beispiel: Erfassung von Geburtstagsdaten für eine Gruppe von Studierenden Merkmalsträger, durch eine laufende Nummer „benannt“ Geburtsmonat Geburtsjahr 1 März 1985 2 Januar 1986 3 … 49 Oktober

14 Aus der Datenmatrix kann die Tabelle der zugehörigen absoluten (oder relativen ) Häufigkeiten abgelesen werden. laufende Nummer Geburts- monat Geburts- jahr 1 März 1985 2 Januar 1986 3 … 49 Oktober 1985 1986 1987 Januar 2 Februar 4 März 11 1 April 6 Mai Juni Juli August September Oktober 3 November Dezember Tabelle der absoluten Häufigkeiten

15 1985 1986 1987 Januar 2 Februar 4 März 11 1 April 6 Mai Juni Juli August September Oktober 3 November Dezember Darstellung der Merkmalsausprägungskombinationen (Geburtsmonat, Geburtsjahr) für jedes Mitglied unsere Gruppe in einem Punktediagramm: 1 Geb. 11 Geb. Achtung: Für die Monate ist die (willkürliche) Kodierung durch die Zahlen 1,2,…,12 gewählt, für die Jahre die (willkürliche) Kodierung durch 85,86,87. Achtung: hinter manchen dieser Punkte stehen mehrere Merkmalsträger!

16 Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung zur gegebenen Datenmatrix:
Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung zur gegebenen Datenmatrix: für jede Ausprägungskombination wird die zugehörige absolute (oder relative) Auftrittshäufigkeit aufgetragen Hier: Verteilung der absoluten Häufigkeiten der Ausprägungskombinationen (Geburtsmonat, Geburtsjahr)

17 Frage:. Bestehen Zusammenhänge zwischen den beiden uns
Frage: Bestehen Zusammenhänge zwischen den beiden uns interessierenden Merkmalen?  Lassen sich aus unseren Daten statistische Zusammenhänge zwischen den beiden Merkmalen vermuten? Vorgehen: n Merkmalsträger, jeweils bezüglich beider Merkmale befragt Merkmal 1: Merkmalsausprägungen x1, … , xn werden notiert, Merkmal 2: Merkmalsausprägungen y1, … , yn werden notiert, Die arithmetischen Mittel und werden berechnet, die Stichprobenvarianzen s2(Merkmal 1) und s2(Merkmal 2) werden berechnet.

18 Korrelationskoeffizient der beiden Merkmale bezüglich der untersuchten Stichprobe
EXCEL-Befehle zur Berechnung der Standardabweichung und des Korrelationskoeffizienten für Datenreihen von Merkmalsausprägungspaaren: STABWN(A1:A49) , STABWN(B1:B49) KORREL(A1:A49;B1:B49)

19 Geburtstagsbeispiel:
Monatsnummer 1985 1986 1987 1 (=Januar) 2 2 (=Februar) 4 3 (=März) 11 1 4 (=April) 6 5 (=Mai) 6 (=Juni) 7 (=Juli) 8 (=August) 9 (=September) 10 (=Oktober) 3 11 (=November) 12 (=Dezember) Geburtstagsbeispiel: = …

20 Berechnung von Zähler und Nenner der Formel für den Korrelationskoeffizienten
Mögl. Merkmals-ausprägung Abweichung vom Mittelwert Quadratische Abweichung vom Mittelwert 1 1 - 6,16 = -5,16 (1 – 6,16) 2= 5,162 = 26,63 2 2 - 6,16 = -4,16 (2 – 6,16) 2= 4,162 =17,31 3 3 - 6,16 = -3,16 (3 – 6,16) 2= 3,162 =9,98 … 12 12 - 6,16 = 5,84 (12 – 6,16) 2= 5,842 =34,11 Achtung: Unter den 49 Merkmalsträgern kommen manche xj-Werte mehrmals vor!

21 yj Entsprechend für das 2. Merkmal: 85 85 - 85,78 = -0,78
( ,78)2 = 0,782 = 0,61 86 ,78 = 0,22 ( ,78)2 = 0,222 = 0,048 87 87 – 85,78 = 1,22 (87 – 85,78)2 = 1,222 = 1,49 Achtung: Die 3 Ausprägungen treten sämtlich mehrmals für die Gruppe unserer 49 Merkmalsträger auf!

22 Daraus Berechnung des Korrelationskoeffizienten für unsere Stichprobe:
laufende Nummer Geburts- monat Geburts- jahr 1 März 1985 2 Januar 1986 3 … 49 Oktober . . .  Interpretation: Es gilt für unsere Stichprobe r= 0,396925 Also besteht - gemäß unserer Stichprobe - nur ein niedriger Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen.

23 r = 0 kein (linearer ) Zusammenhang
0 < ,4 niedriger Zusammenhang 0,4 < ,7 mittlerer Zusammenhang 0,7 < < 1 starker Zusammenhang = 1 linearer Zusammenhang

24 Eigenschaften: Der Korrelationskoeffizient stellt ein Maß für die Abweichung des Zusammenhangs der beiden Merkmale vom strikt linearen Zusammenhang dar: r nimmt nur Werte zwischen -1 und +1 (jeweils einschließlilch) an. r=-1 oder r=+1 bedeutet, dass die beiden Merkmale linear voneinander abhängen. r nahe bei -1 oder nahe bei +1 bedeutet annähernd linearen Zusammenhang. Wenn beide Merkmale sich im gleichen Sinn verändern, ist r positiv. Wenn beide Merkmale sich im entgegengesetzten Sinn verändern, ist r negativ. Achtung: r = 0 bedeutet nicht, dass gar kein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht! Wir können ihn nur nicht mit unserer Datenmenge nachweisen!

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26 Darstellung der Merkmalsausprägungskombinationen
Darstellung der Merkmalsausprägungskombinationen (Geburtsmonat, Geburtsjahr) für jedes Mitglied unsere Gruppe in einem Punktediagramm  Versuch, eine „möglichst gut passende“ Gerade durch die Wolke zu legen: Also: Niedriger Zusammenhang! Die Geraden „passen nicht richtig“: viele Punkte liegen ober- und unterhalb.

27 Wichtige Grundbegriffe der Mengentheorie
Die Sprache der Mathematik ist wie ein Code. Auf diese Weise kann man mathematische Gedanken sehr kurz fassen. Aus: K. Dahl, S. Nordquist: Zahlen, Spiralen und magische Quadrate

28 Menge: Familie von Objekten,. Zusammenstellung bestimmter Objekte,
Menge: Familie von Objekten, Zusammenstellung bestimmter Objekte, Familie von Objekten, die eine bestimmte gemeinsame Eigenschaft haben  Menge der Merkmalsträger = Grundgesamtheit  Menge aller Studierenden, die jetzt in diesem Hörsaal sind Teilmenge  Menge der Merkmalsträger, die für eine bestimmter Stichprobe herangezogen werden Element einer Menge: jedes einzelne Objekt der Menge  jeder einzelne Merkmalsträger Das Element x ist enthalten in der Teilmenge A der Menge G.

29 A B Vereinigungsmenge, Vereinigung von zwei Mengen:
Menge aller Objekte, die zu A oder zu B gehören A B Die Elemente aus der Vereinigungsmenge von A und B gehören jeweils zu mindestens einer der beiden Mengen A oder B. Menge A: Menge aller Studentinnen, die jetzt in diesem Hörsaal sind. Menge B: Menge aller Studierenden des Jahrgangs 1985, die jetzt im Hörsaal sind A B: Menge aller Studierenden im Hörsaal, die weiblich sind oder im Jahr 1985 geboren wurden

30 A B Durchschnittsmenge, Durchschnitt von zwei Mengen:
Menge aller Objekte, die zu A und zu B gehören A B Die Elemente aus der Durchschnittsmenge von A und B gehören sowohl zu der beiden Menge A als auch zu der Menge B. Menge A: Menge aller Studentinnen, die jetzt in diesem Hörsaal sind. Menge B: Menge aller Studierenden des Jahrgangs 1985, die jetzt im Hörsaal sind A B: Menge aller Studierenden im Hörsaal, die sowohl weiblich sind als auch im Jahr 1985 geboren wurden

31 Differenzmengemenge, Differenz A - B:
Menge aller Objekte, die zu A, aber nicht gleichzeitig auch zu B gehören Rein gelber Bereich: A-B Rein grüner Bereich: B-A Menge A: Menge aller Studentinnen, die jetzt in diesem Hörsaal sind. Menge B: Menge aller Studierenden des Jahrgangs 1985, die jetzt im Hörsaal sind A-B: Menge aller Studierenden im Hörsaal, die weiblich sind, aber nicht im Jahr 1985 geboren wurden B-A: Menge aller Studierenden im Hörsaal, die im Jahr 1985 geboren wurden, aber nicht weiblich (also männlich) sind.

32 Zum kommenden Montag zu lösende Übungsaufgaben:. Aufgabe Nr
Zum kommenden Montag zu lösende Übungsaufgaben: Aufgabe Nr. 13 und Aufgabe Nr. 16 aus dem Skript

33 Wichtige Begriffe aus der heutigen Vorlesung:
Arithmetisches Mittel (= „Durchschnittswert“ = erwarteter Wert einer Stichprobe) Standardabweichung vom erwarteten Wert einer Stichprobe Zwei Merkmale für ein und dieselbe Klasse von Merkmalsträgern Korrelationskoeffizient: Stärke (Ausmaß) des Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen Mengentheoretische Grundbegriffe: Menge, Element, Teilmenge, Vereinigung, Durchschnitt, Differenz