Modellieren und offene Aufgaben

Präsentation zum Thema: "Modellieren und offene Aufgaben"—  Präsentation transkript:

1 Modellieren und offene Aufgaben
Eine lohnende (aber schwierige) Öffnung für den Mathematikunterricht Matthias Ludwig PH Weingarten Waldfischbach

2 Googlen nach: Matthias Ludwig
Infos zum Vortrag: Googlen nach: Matthias Ludwig Matthias Ludwig Pirmasens

3 Struktur Kurze theoretische Einführung Fermiaufgaben
Kleine Modellierungsaufgaben Forschung zu den Modellierungsaufgaben Weitere Vorschläge Zusammenfassung Matthias Ludwig Pirmasens

4 Erzeugen einer a-didaktischen Situation (Brousseau1997)
„Unsere mathematischen Begriffe, Strukturen und Vorstellungen sind erfunden worden als Werkzeuge, um die Phänomene der natürlichen, sozialen und geistigen Welt zu ordnen.“ (Freudenthal 1983) Erzeugen einer a-didaktischen Situation (Brousseau1997) Matthias Ludwig Pirmasens

5 Grundbildung nach PISA
Mathematische Begriffe sind Werkzeuge zur Erschließung der „Welt“. Ziele mathematischer Grundbildung sind begriffliches Verstehen und funktionales Verwenden von Mathematik, nicht nur „technische“ Fertigkeiten und Kenntnisse. Zur Lösung einer typischen (hochbepunkteten) PISA-Aufgabe gehört vor allem das Modellieren außer- und innermathematischer Problemsituationen. Matthias Ludwig Pirmasens

6 Mathematisches Modellieren im Sinne von:
Beschreibung realer funktionaler Zusammenhänge (Flugbahn) Nachbauen, bzw. Nachbilden Finden einer Erklärung Vorhersagen treffen (Wetter/ Fußballergebnisse, Sonnenfinsternisse) Vorschreiben (Tarife) Matthias Ludwig Pirmasens

7 Modellieren aus dem Blickwinkel von Lehrenden und Lernenden:
Rechnen mit dem was man weiß und kann. Sich irgendwie durchschlängeln. Ob´s richtig ist ,weiß der Lehrer ja auch nicht immer. Das ist alles so diffus. Matthias Ludwig Pirmasens

8 Fermiaufgaben Klavierstimmer Tankstellen Friseure
Todesfälle pro Tag (Anzahl der Bestatter) Infos: Matthias Ludwig Pirmasens

9 Der Elfmeter Kann man mathematisch die Verwandlungshäufigkeit abschätzen? Matthias Ludwig Pirmasens

10 Der Elfmeter Mathematische Modellbildung für Verwandlungshäufigkeit
Genial einfache Idee: Das Tor hat vier Ecken (und eine Mitte) Matthias Ludwig Pirmasens

11 Matthias Ludwig Pirmasens

12 Der Elfmeter Die Flächenidee Tor 8Yard x 8Fuß= 7,32m x 2,44m =ca. 18m2
Torwart 1,6m x1,9m+ 0.5x 0.95m2 x =4,45m2 75% der Torfläche sind nicht abgedeckt . Matthias Ludwig Pirmasens

13 Matthias Ludwig Pirmasens

14 Elfmeter Bayern München 190:245 =>77,5% Frankfurt 143:196 =>73%
Matthias Ludwig Pirmasens

15 Der Elfmeter Matthias Ludwig Pirmasens

16 Theoriebasis Basis ist der klassische idealisierte Modellierungskreislauf (z.B. Blum et al.) Verstehen Vereinfachen Strukturieren Mathematisieren Rechnen Interpretieren Validieren Vermitteln/Erklären Stufe 1 Stufe 2 RM MM Stufe 0 SM RS Stufe 5 ME RE Stufe 3 Stufe 4 Matthias Ludwig Pirmasens

17 Gedanken zum Ball: Wie lange braucht man um einen Fußball zu nähen?
Wie viele Stiche braucht man für einen Fußball? Matthias Ludwig Pirmasens

18 Matthias Ludwig Pirmasens

19 90 Kanten 10 Stiche für jede Kante. 10 Sekunden für jeden Stich
90 Kanten 10 Stiche für jede Kante. 10 Sekunden für jeden Stich Sekunden 2,5 Stunden Matthias Ludwig Pirmasens

20 Sie schreiben Zusammenhangloses auf ihr Arbeitsblatt.
Stufe 0: Die Realsituation wurde nicht erfasst. Es fällt schwer die Aufgabenzeichnungen der SchülerInnen mit der Aufgabenstellung in Verbindung zu bringen. Die SchülerInnen haben also nicht den Einstieg in den Modellierungskreislauf gefunden. Bsp: Die SchülerInnen haben einfach nur geschätzt, wie lange es dauert um einen Fußball zu nähen, ohne genauere Angaben zu machen, wie sie zu dieser Schätzung gekommen sind. Sie schreiben Zusammenhangloses auf ihr Arbeitsblatt. Sie geben ein unbeschriftetes Arbeitsblatt ab. Matthias Ludwig Pirmasens

21 Sie versuchen einen Fußball aufzuzeichnen.
Stufe 1: Die SchülerInnen haben die reale Situation erkannt und versuchen diese zu strukturieren um ein mathematisches Modell zu finden, letztendlich mündet dies aber in keiner weiterführenden Idee. Bsp: Sie versuchen, die einzelnen Panels zu zählen, erkennen aber nicht, dass der Ball aus 5- und 6-Ecken besteht. Sie versuchen einen Fußball aufzuzeichnen. Matthias Ludwig Pirmasens

22 Stufe 2: Die SchülerInnen äußern eine sinnvolle Vermutung und sind in der Lage ein mathematisches Modell vorzuschlagen, aber dieses Modell wurde nicht konsequent mathematisiert. Bsp: Sie zählen die 5- und 6-Ecke des Balls. Anschließend versuchen sie die Anzahl der Kanten herauszubekommen, erkennen aber nicht, dass eine Nahtstelle aus zwei Kanten besteht. Matthias Ludwig Pirmasens

23 Ergebnisse Signifikante Unterschiede zwischen den Jahrgangstufen 5, 6/7 und 8 Matthias Ludwig Pirmasens

24 Ergebnisse Keine signifikanten Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen. Matthias Ludwig Pirmasens

25 Ergebnisse Matthias Ludwig Pirmasens

26 Die Ananasaufgabe Matthias Ludwig Pirmasens

27 Matthias Ludwig Pirmasens

28 Matthias Ludwig Pirmasens

29 Matthias Ludwig Pirmasens

30 Matthias Ludwig Pirmasens

31 Film Film Matthias Ludwig Pirmasens

32 Eine Lösungsmöglichkeit
Matthias Ludwig Pirmasens

33 Matthias Ludwig Pirmasens

34 Stoff der Klasse 9 Matthias Ludwig Pirmasens

35 Konsekutive Stufen Durchlauf nicht immer konsekutiv .(Boromeo Ferri)
Jede Stufe stellt aber eine kognitive Hürde dar (Blum/ Leiß). Je weiter im Kreislauf desto mehr Stufen musste man (kognitiv) überwinden. Matthias Ludwig Pirmasens

36 Forschungsfragen Ergeben sich bei der Lösung der Modellierungsaufgabe Unterschiede bzgl. der Jahrgangstufe, der Kulturen und des Geschlechts? Welches Niveau wird erreicht? Welche Hürden bilden besondere Schwierigkeiten? Matthias Ludwig Pirmasens

37 Stufe 0 Matthias Ludwig Pirmasens

38 Stufe 4 Matthias Ludwig Pirmasens

39 Stufe 5 Stufe 5 Matthias Ludwig Pirmasens

40 Matthias Ludwig Pirmasens

41 Ergebnisse Insgesamt geringes Niveau.
Kaum Unterschiede zwischen den Kulturen in der Gesamtperformance. Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen (Performance & Level) . Nach jeder Jahrgangstufe (hoch-) signifikante Leistungsunterschiede. Verschiedene Barrierestufen. Matthias Ludwig Pirmasens

42 Ergebnisse Kl. 9 Kl. 10 Kl. 11 N  SD C (676) 206 1,41 1,25 249 1,67
1,12 221 2,18 1,40 D (428). 145 1,59 147 1,43 136 2,16 1,38 Matthias Ludwig Pirmasens

43 „Entwicklung“ der Jungs und Mädchen
Matthias Ludwig Pirmasens

44 Differentielle Analyse
Deutsche Mädchen: keine signifikanten Unterschiede zwischen den Jahrgangsstufen Deutsche Jungs. hochsignifikante Zuwächse 11 gegen 10 und 9 (p<.005) Effektstärke (0,49) Keine statistisch signifikanten Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen in Klasse11. In den Kl. 9 und 10 sind diese Unterschiede größer aber auch nicht signifikant. Matthias Ludwig Pirmasens

45 Unterschiede Auffallend: Level 5 wird nur von Jungs erreicht.
Level 4 scheint für Mädchen eine Barriere zu sein. Matthias Ludwig Pirmasens

46 Probleme beim Modellieren (Blum et al.)
Alle Schritte des Kreislaufes sind potentielle kognitive Hürden Schüler benutzen keine bewussten Lösungsstrategien Schüler dürfen nicht alleine arbeiten Lehrende geben zu viele Inhaltliche Hilfen. Matthias Ludwig Pirmasens

47 Ideales Stundenskript
Vorstellung der Aufgabe im Plenum Zunächst Einzelarbeit Gruppenarbeit Individuelles Aufschreiben der Lösungen Präsentation von Lösungen im Plenum Vergleich der Lösungen und reflektierender Rückblick Matthias Ludwig Pirmasens

48 Weitere Beispiele Das Schullotto
Entwerft ein geeignetes Lotto für ein Schulfest. Matthias Ludwig Pirmasens