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Veröffentlicht von:Liesel Akes Geändert vor über 10 Jahren
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Quantenphysik aus klassischen Wahrscheinlichkeiten C. Wetterich
Gott würfelt Gott würfelt nicht
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Quanten – Teilchen und klassische Teilchen
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Quanten–Teilchen klassische Teilchen
Teilchen-Welle Dualität Unschärfe keine Trajektorien Tunneln Interferenz bei Doppelspalt Teilchen scharfer Ort und Impuls klassische Trajektorien maximale Energie beschränkt Bewegung nur durch einen Spalt
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Doppelspalt - Experiment
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Doppelspalt - Experiment
Wahrscheinlichkeits – Verteilung ein isoliertes Teilchen ! keine Wechselwirkung zwischen Atomen , die durch Spalt fliegen
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Doppelspalt - Experiment
Kann man klassische Wahrscheinlichkeits – Verteilung im Phasenraum und ein Zeitentwicklungs – Gesetz für diese angeben , die Interferenzmuster beschreibt ?
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Quanten-Teilchen aus klassischen Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsverteilung im Phasenraum für ein Teilchen w(x,p) wie für klassisches Teilchen ! Observablen verschieden von klassischen Observablen Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung verschieden von klassischen Teilchen
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Quantenphysik kann durch klassische Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden !
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Unterschiede zwischen Quantenphysik und klassischen Wahrscheinlichkeiten
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Quanten - Konzepte Wahrscheinlickeits - Amplitude Verschränkung
Interferenz Superposition von Zuständen Fermionen und Bosonen unitäre Zeitentwicklung Übergangsamplitude nicht-kommutierende Operatoren Verletzung der Bell’schen Ungleichung
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Quantenphysik Wahrscheinlichkeit Wellenfunktion Phase
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Kann Quantenphysik durch klassische Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden ?
“ No go “ Theoreme Bell , Clauser , Horne , Shimony , Holt Kochen , Specker
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dennoch : Quantenphysik kann durch klassische Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden !
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Zwitter Keine unterschiedlichen Konzepte für klassische Teilchen und Quanten – Teilchen Kontinuierliche Interpolation zwischen klassischen Teilchen und Quanten – Teilchen möglich
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Quantenteilchen und klassische Wahrscheinlichkeiten
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Quanten–Teilchen klassische Teilchen
Teilchen-Welle Dualität Unschärfe keine Trajektorien Interferenz bei Doppelspalt Tunneln Quanten - Wahrscheinlichkeit Schrödinger-Gleichung Teilchen scharfer Ort und Impuls klassische Trajektorien nur durch einen Spalt maximale Energie beschränkt Bewegung klassische Wahrscheinlichkeit Liouville-Gleichung
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Schritt 1 keine klassischen Trajektorien
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Quanten–Teilchen klassische Teilchen
Teilchen-Welle Dualität Unschärfe keine Trajektorien Interferenz bei Doppelspalt Tunneln Quanten - Wahrscheinlichkeit Schrödinger-Gleichung Teilchen – Welle Dualität scharfer Ort und Impuls klassische Trajektorien nur durch einen Spalt maximale Energie beschränkt Bewegung klassische Wahrscheinlichkeit Liouville-Gleichung
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Quanten–Teilchen klassische Teilchen
Quanten – Wahrscheinlichkeits-Amplitude ψ(x) Schrödinger-Gleichung klassische Wahrscheinlichkeit im Phasenraum w(x,p) Liouville-Gleichung für w ( entspricht Newton Gl. für Trajektorien )
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keine klassischen Trajektorien
auch für klassische Teilchen in der Mikrophysik : Trajektorien mit festem Ort und Impuls zu jedem Zeitpunkt sind inadequate Idealisierung ! aber zumindest formal möglich als Grenzfall
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Schritt 2 Änderung der Liouville Gleichung
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Quanten–Teilchen klassische Teilchen
Teilchen-Welle Dualität Unschärfe keine Trajektorien Interferenz bei Doppelspalt Tunneln Quanten - Wahrscheinlichkeit Schrödinger-Gleichung Teilchen – Welle Dualität scharfer Ort und Impuls klassische Trajektorien nur durch einen Spalt maximale Energie beschränkt Bewegung klassische Wahrscheinlichkeit Liouville-Gleichung
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Quanten–Teilchen klassische Teilchen
Teilchen-Welle Dualität Unschärfe keine Trajektorien Interferenz bei Doppelspalt Tunneln Quanten - Wahrscheinlichkeit Schrödinger-Gleichung Teilchen – Welle Dualität scharfer Ort und Impuls klassische Trajektorien nur durch einen Spalt ? maximale Energie beschränkt Bewegung ? klassische Wahrscheinlichkeit modifizierte Evolutionsgleichung
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Evolutionsgleichung Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte muss als Gesetz vorgegeben werden nicht a priori bekannt Newton’s Gleichung mit Trajektorien muss nur in geeignetem Grenzfall folgen
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Zwitter gleicher Formalismus für Quantenteilchen und klassische Teilchen unterschiedliche Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung Zwitter : zwischen Quanten und klassischen Teilchen – kontinuierliche Interpolation der Zeitentwicklungs - Gleichung
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Schritt 3 modifizierte Observablen
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Quanten–Teilchen klassische Teilchen
Teilchen – Welle Dualität scharfer Ort und Impuls klassische Trajektorien nur durch einen Spalt ? maximale Energie beschränkt Bewegung ? klassische Wahrscheinlichkeit modifizierte Evolutionsgleichung Teilchen-Welle Dualität Unschärfe keine Trajektorien Interferenz bei Doppelspalt Tunneln Quanten - Wahrscheinlichkeit Schrödinger-Gleichung Einschränkung der möglichen Information unvollständige Statistik
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Orts - Observable verschiedene Observablen je nach experimenteller Situation geeignete Observable für Mikrophysik muss gefunden werden klassische Ortsobservable : Idealisierung einer unendlich präzisen Auflösung Quanten – Observable auch mit ausgedünnter Information noch berechenbar 15
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klassische Wahrscheinlichkeiten – keine deterministische klassische Theorie
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Probabilistischer Realismus
Physikalische Theorien und Gesetze beschreiben immer nur Wahrscheinlichkeiten
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Physik beschreibt nur Wahrscheinlichkeiten
Gott würfelt
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Physik beschreibt nur Wahrscheinlichkeiten
Gott würfelt Gott würfelt nicht
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Physik beschreibt nur Wahrscheinlichkeiten
Gott würfelt Gott würfelt nicht Mensch kann nur Wahrscheinlichkeiten erkennen
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Probabilistische Physik
Es gibt eine Realität Diese kann nur durch Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden ein Tröpfchen Wasser … 1020 Teilchen elektromagnetisches Feld exponentielles Anwachsen der Entfernung zwischen zwei benachbarten Trajektorien
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Probabilistischer Realismus
Die Grundlage der Physik sind Wahrscheinlichkeiten zur Vorhersage von reellen Ereignissen
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Gesetze basieren auf Wahrscheinlichkeiten
Determinismus als Spezialfall : Wahrscheinlichkeit für Ereignis = 1 oder 0 Gesetz der großen Zahl eindeutiger Grundzustand …
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bedingte Wahrscheinlichkeit
Sequenzen von Ereignissen ( Messungen ) werden durch bedingte Wahrscheinlichkeiten beschrieben sowohl in klassischer Statistik als auch in Quantenstatistik
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w(t1) : nicht besonders geeignet für Aussage , ob hier und jetzt ein Geldstück herunterfällt
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Schrödingers Katze bedingte Wahrscheinlichkeit : wenn Kern zerfallen
dann Katze tot mit wc = 1 (Reduktion der Wellenfunktion)
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Teilchen – Welle Dualität
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Quanten–Teilchen klassische Teilchen
Teilchen-Welle Dualität Unschärfe keine Trajektorien Interferenz bei Doppelspalt Tunneln Quanten - Wahrscheinlichkeit Schrödinger-Gleichung Teilchen – Welle Dualität scharfer Ort und Impuls klassische Trajektorien nur durch einen Spalt maximale Energie beschränkt Bewegung klassische Wahrscheinlichkeit Liouville-Gleichung
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Quanten Formalismus für klassisches Teilchen
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Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein klassisches Teilchen
klassische Wahrscheinlichkeits – verteilung im Phasenraum
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Wellenfunktion für klassisches Teilchen
klassische Wahrscheinlichkeits – verteilung im Phasenraum Wellenfunktion für klassisches Teilchen C ( hängt von Ort und Impuls ab ) C
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Wellenfunktion für ein klassisches Teilchen
reell hängt von Ort und Impuls ab Quadrat ergibt Wahrscheinlichkeit
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Quantengesetze für Observable
C C
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y ψ pz<0 pz>0 x
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Liouville - Gleichung beschreibt klassische Zeitentwicklung der
klassischen Wahrscheinlichkeitsverteilung für Teilchen in Potenzial V(x)
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Zeitentwicklung der klassischen Wellenfunktion
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Wellengleichung C C modifizierte Schrödinger - Gleichung
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Wellengleichung C C fundamenale Gleichung für klassisches Teilchen in Potenzial V(x) ersetzt Newton Gleichung
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Teilchen – Welle Dualität
Welleneigenschaften der Teilchen : kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung
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Teilchen – Welle Dualität
Experiment ob Teilchen an Ort x - ja oder nein : diskrete Alternative Wahrscheinlichkeitsverteilung , Teilchen an Ort x anzutreffen : kontinuierlich 1 1
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Teilchen – Welle Dualität
Alle statistischen Eigenschaften klassischer Teilchen könnnen im Quanten – Formalismus beschrieben werden ! noch keine Quanten - Teilchen
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Quanten – Observable und klassische Observable
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Welche Observablen wählen ?
Impuls: p oder ? Ort : x oder ? Verschiedene Möglichkeiten , im Prinzip der Messanordnung angepasst
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Quanten - Observablen … kommutieren nicht Observablen für klassischen
Ort und Impuls Observablen für Quanten - Ort und Impuls … kommutieren nicht
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Unschärfe Heisenberg’sche Unschärfe-Relation
Quanten – Observablen enthalten statistischen Anteil ( ähnlich Entropie , Temperatur )
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verwende Quanten – Observablen zur Beschreibung von Orts- und Impuls- Messungen von Teilchen
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Quanten - Zeitentwicklung
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Quanten–Teilchen klassische Teilchen
Teilchen-Welle Dualität Unschärfe keine Trajektorien Interferenz bei Doppelspalt Tunneln Quanten - Wahrscheinlichkeit Schrödinger-Gleichung Teilchen – Welle Dualität scharfer Ort und Impuls klassische Trajektorien nur durch einen Spalt maximale Energie beschränkt Bewegung klassische Wahrscheinlichkeit Liouville-Gleichung
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Quanten–Teilchen klassische Teilchen
Teilchen-Welle Dualität Unschärfe keine Trajektorien Interferenz bei Doppelspalt Tunneln Quanten - Wahrscheinlichkeit Schrödinger-Gleichung Teilchen – Welle Dualität scharfer Ort und Impuls klassische Trajektorien nur durch einen Spalt ? maximale Energie beschränkt Bewegung ? klassische Wahrscheinlichkeit modifizierte Evolutionsgleichung
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Modifikation der Evolution für klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung
HW HW
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Quantenteilchen Evolutionsgleichung fundamenale Gleichung für Quanten -Teilchen in Potenzial V ersetzt Newton Gleichung C C C
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Quantenteilchen mit Evolutionsgleichung Quanten – Observablen erfüllen alle Vorhersagen der Quantenmechanik für Teilchen in Potenzial V C C C
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Quantenphysik kann durch klassische Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden !
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Doppelspalt - Experiment
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Quantenformalismus aus klassischen Wahrscheinlichkeiten
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reiner Zustand Zeitentwicklung beschrieben durch
wird beschrieben durch komplexe quantenmechanische Wellenfunktion realisiert für klassische Wahrschein- lichkeiten der Form Zeitentwicklung beschrieben durch Schrödinger – Gleichung
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Dichte – Matrix und Wigner-transform
Wigner – transformierte Dichtematrix in der Quantenmechanik erlaubt einfache Berechnung der Erwartungswerte quanten- mechanischer Observablen kann aus Wellenfunktion für klassisches Teilchen konstruiert werden ! C C
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Quanten – Observablen und klassische Observablen
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Zwitter Unterschied zwischen Quanten – Teilchen und klassischen Teilchen nur durch unterschiedliche Zeitentwicklung CL kontinuierliche Interpolation HW QM
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Zwitter - Hamiltonian auch andere Interpolationen möglich !
γ=0 : Quanten – Teilchen γ=π/2 : klassisches Teilchen auch andere Interpolationen möglich !
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Wie gut ist Quantenmechanik ?
Kleiner Parameter γ kann experimentell getestet werden Zwitter : keine erhaltene Energie mikroskopisch ( ist erhalten ) Statischer Zustand: oder
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Grundzustand für Zwitter
statischer Zustand mit niedrigstem Eigenzustände für Quantenenergie Zwitter – Grundzustand hat Beimischung von angeregten Niveaus der Quantenenergie Quanten - Energie
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Energie – Unschärfe des Zwitter - Grundzustands
auch winzige Energieveschiebung
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Experimente zur Bestimmung oder Einschänkung des Zwitter – parameters γ ?
fast entartete Energieniveaus …? ΔE≠0
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Grenzen für Zwitter – Parameter γ ?
Lebensdauer nuklearer Spin-Zustände > 60 h ( Heil et al.) : γ < 10-14
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Quantenteilchen und klassische Statistik
Gemeinsame Konzepte und gemeinsamer Formalismus für Quanten- und klassische Teilchen : klassische Wahrscheinlichkeits-verteilung , Wellenfunktion Unterschiedliche Zeitentwicklung , unterschiedliche Hamilton- Operatoren Kontinuierliche Interpolation zwischen Quanten- und klassischen Teilchen möglich - Zwitter
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Nicht – Kommutativität in der klassischen Statistik
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Untersystem und Umgebung: unvollständige Statistik
typische Quantensysteme sind Untersysteme von klassischen Ensembles mit unendlich vielen Freiheitsgraden ( Umgebung ) probabilistische Observablen für Untersysteme : Wahrscheinlichkeitsverteilung für Messwerte in Quantenzustand
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Was ist ein Atom ? Quantenmechanik : isoliertes Objekt
Quantenfeldtheorie : Anregung eines komplizierten Vakuums Klassische Statistik : Untersystem eines Ensembles mit unendlich vielen Freiheitsgraden
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Mikrophysikalisches Ensemble
Zustände τ entsprechen Sequenzen von Bestungszahlen oder Bits ns = 0 or 1 τ = [ ns ] = [0,0,1,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,0,…] etc. Wahrscheinlichkeiten pτ > 0
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Funktions -Observable
85
Funktions - Observable
normalisierte Differenz zwischen besetzten und leeren Bits im Intervall s I(x1) I(x2) I(x3) I(x4)
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Teilchen - Position klassische Observable :
fester Wert für jeden Zustand τ
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Teilchen Impuls klassische Observable :
Ableitungs – Observable : involviert zwei Funktions - Observablen klassische Observable : fester Wert für jeden Zustand τ
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komplexe Struktur
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Dichtematrix und Ausdünnen der Information ( “ coarse graining “ )
Position und Impuls benötigen nur kleinen Teil der Information in pτ Relevanter Teil kann durchDichtematrix beschrieben werden Untersystem wird durch Information beschrieben , die in Dichtematrix enthalten ist “ coarse graining of information “
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Quantum - Dichtematrix
alle Eigenschaften der Dichtematrix in der Quantenmechanik Positivität
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Quantum Operatoren
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Quanten - Produkt von Observablen
Das Produkt ist mit dem “coarse graining” kompatibel und kann durch Operatorprodukt dargestellt werden
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Unvollständige Statisitk
klassisches Produkt kann nicht aus der Information berechnet werden , die für das Untersystem verfügbar ist ! kann nicht für Messungen im Untersystem verwendet werden !
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coarse graining von fundamentalen Fermionen an der Planck Skala zu Atomen an der Bohr Skala
p([ns]) ρ(x , x´)
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Verallgemeinerungen 50
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Quantenmechanik aus klassischen Wahrscheinlichkeiten
klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung kann explizit angegeben werden für : quantenmechanisches Zwei-Zustands-System Quantencomputer : Hadamard gate Vier-Zustands-System ( CNOT gate ) verschränkte Quantenzustände Interferenz
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Bell’sche Ungleichungen
werden verletzt durch bedingte Korrelationen Bedingte Korrelationen für zwei Ereignisse oder Messungen reflektieren bedingte Wahrscheinlichkeiten Unterschied zu klassischen Korrelationen ( Klassische Korrelationen werden implizit zur Herleitung der Bell’schen Ungleichungen verwandt. ) Bedingte Dreipunkt- Korrelation nicht kommutativ
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Realität Korrelationen sind physikalische Realität , nicht nur Erwartungswerte oder Messwerte einzelner Observablen Korrelationen können nicht-lokal sein ( auch in klassischer Statistik ) ; kausale Prozesse zur Herstellung nicht-lokaler Korrelationen erforderlich Korrelierte Untersysteme sind nicht separabel in unabhängige Teilsysteme – Ganzes mehr als Summe der Teile
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EPR - Paradoxon Korrelation zwischen zwei Spins wird bei Teilchenzerfall hergestellt Kein Widerspruch zu Kausalität oder Realismus wenn Korrelationen als Teil der Realität verstanden werden ( hat mal nicht Recht )
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Essenz des Quanten - Formalismus
Beschreibung geeigneter Untersysteme von klassischen statistischen Ensembles 1) Äquivalenz - Klassen von probabilistischen Observablen 2) Unvollständige Statistik 3) Korrelation zwischen Messungen oder Ereignissen basieren auf bedingten Wahrscheinlichkeiten 4) Unitäre Zeitentwicklung für isolierte Untersysteme
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Zusammenfassung Quantenstatistik entsteht aus klassischer Statistik
Quantenzustand, Superposition , Interferenz , Verschränkung , Wahrscheinlichkeits-Amplitude Unitäre Zeitentwicklung in der Quantenmechanik beschreibbar durch Zeitentwicklung klassischer Wahrscheinlichkeiten Bedingte Korrelationen für Messungen sowohl in Quantensystem als auch klassischer Statistik
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Experimentelle Herausforderung
Teste quantitativ , wie gut die Vorhersagen der Quantenmechanik erfüllt sind Zwitter Geschärfte Observablen Kleine Parameter : “fast Quantenmechanik “
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Ende
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Geschärfte Observablen – zwischen Quantum und klassisch
ß=0 : Quantenobservablen , ß=1 : klassische Observablen
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Abschwächung der Unschärferelation
Experiment ?
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generalized function observable
normalization classical expectation value several species α
107
classical product of position and momentum observables
commutes !
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different products of observables
differs from classical product
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classical and quantum dispersion
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subsystem probabilities
in contrast :
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squared momentum quantum product between classical observables :
maps to product of quantum operators
112
non – commutativity in classical statistics
commutator depends on choice of product !
113
measurement correlation
correlation between measurements of positon and momentum is given by quantum product this correlation is compatible with information contained in subsystem
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