Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz.

Präsentation zum Thema: "Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz."—  Präsentation transkript:

1 Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz

2 Der diskrete unendliche Fall Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz Erwartungswert und Varianz II

3 Der stetige Fall f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz Erwartungswert und Varianz III

4 Gegeben seien n Zufallsvariablen Dann gilt immer: Wenn gilt dann hat man auch Gleichheit von Bienaymé

5 Ein Tetraeder wird dreimal geworfen. Auf den 4 Flächen des Tetraeders sind die Zahlen 1, 2, 3 und 4 aufgetragen. Jede Seite erscheint mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Die Zufallsvariable X gebe die Differenz zwischen der Summe der Augenzahlen der beiden ersten Würfe und der Augen- zahl des dritten Wurfes an. Wir groß sind Erwartungswert und Varianz von X? 1 2 3

6 Die Binomialverteilung

7 Erwartungswert Varianz

8 Die Poisson-Verteilung

9 Erwartungswert Varianz

10 II. Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

11 Insekteneier N : Anzahl der Eier, die ein bestimmtes Insekt legt M : Anzahl der Eier, die sich entwickeln N - M : Anzahl der Eier, die unentwickelt bleiben Annahmen Die Wahrscheinlichkeit, dass das Insekt genau n Eier legt, beträgt d. h. Jedes Ei entwickelt sich mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p Die Eier beeinflussen sich nicht in ihrer Entwicklung

12 Dann gilt: 1 2 3

13 Beispiele Poisson-verteilter Zufallsvariablen Anzahl der pro Zeiteinheit abgestrahlten Teilchen eines radioaktiven Präparats Anzahl der pro Zeiteinheit an einer Tankstelle tankenden PKW Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto Anzahl der pro Jahr von einer Versicherung zu regulierenden Schadensfälle Anzahl der innerhalb eines Tages geborenen Kinder

14 Brösel Bäckerei Brösel X : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr n : Anzahl der betrachteten Haushalte Annahmen Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Haushalt zu der Zeit bei Brösel einkauft, ist bei allen Haushalten gleich Die Haushalte entscheiden unab- hängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht

15 Dann gilt: d. h.

16 Nun wird die Anzahl n der betrachteten Haushalte vergrößert. Die Einkaufswahrscheinlichkeit p hänge dabei so von n ab, dass gilt: Dann konvergiert die Verteilung von X gegen eine Poisson-Verteilung. Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich:

17 Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) (Gaußsche Glockenkurve)

18 Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

19 Erwartungswert Varianz

20 Der Zentrale Grenzwertsatz

21 Simulation unter http://illusion.fel.tno.nl/erwin/cenlim/cenlim.html

22 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

23 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von

24 Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man