Ausgleichungsrechnung II Datumsproblematik Mathematisches Problem Standardverfahren S-Transformation Bemerkungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Datumsproblematik Bedingung bisher immer: Normalgleichungsmatrix ist regulär Problem: Bei Relativbeobachtungen ist das nicht immer der Fall Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Problem der Relativmessungen Strecken, Richtungen, Winkel, Höhen-differenzen definieren nur die innere Geometrie 3 Winkel gemessen: Maßstab, Ort und Ori- entierung unbestimmt Lösung bisher: Festhalten von Koordinaten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Was ist die Datumsfestlegung? Eindeutiger Bezug zwischen der Geometrie des Netzverbundes (innerer Geometrie) und dem Koordinatenrahmen ohne die innere Geometrie zu zerstören (Niemeier 2002, S. 230) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ursachen für Singularität Unbestimmtheit des geodätischen Datums Konfigurationsdefekt – das Beispiel ist nicht lösbar, wenn die Pfeile Streckenbeobachtungen darstellen Konfigurationsdefekte werden hier nicht behandelt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Mathematisches Problem Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen: v=Ax-l (n,u)-Matrix A mit n>u regulär, also rkA=u Daher N=ATA regulär weil rkN=u Somit eindeutige Qxx=N-1 Was passiert bei Rangdefizit? Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Beispiel Gemessen 3 Höhenunterschiede Alle Höhen Unbekannte dh12=H2-H1 dh23=H3-H2 dh31=H1-H3 Summe der Zeilen gibt Nullvektor  linear abhängig Rangdefizit d = 1 Lösung: generalisierte Inverse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Direkte Lösung singulärer Gleichungssysteme Über generalisierte Inverse möglich Beispiel Bjerhammar‘sche Inverse Ausgangspunkt Cy = x mit rechteckiger Matrix mCn mit m ≤ n und r ≤ m Lösung gegeben durch y = CT(CCT)-1x Lösungsvektor hat minimale Länge yTy=min Bedingte Ausgleichung: r = m Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Bjerhammar‘sche Normalinverse (1) Definiert als CT(CCT)-1 Angewendet auf singuläres System Nx = n mit C = CT = N erhalten wir x = N(NN)-1n mit xTx=min Als Funktion von l können wir schreiben x = N(NN)-1ATl = Dl Für die Kofaktormatrix folgt Q = DDT = N(NN)-1ATA(NN)-1N, also Q = N(NN)-1N(NN)-1N Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Bjerhammar‘sche Normalinverse (2) Q heißt stochastische Ringinverse von N Eigenschaften: Quadratisch Symmetrisch Singulär x=Qn tr Q = min tr Q = tr [N(NN)-1] Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Pragmatische Lösung Höhennetz Problem: Datumsdefekt 1, Netz kann beliebig entlang der z-Achse verschoben werden Lösung: Festhalten eines Punktes Frage: Welchen Punkt festhalten? Unterschiedliche Resultate! Weitere Lösungen: zusätzliche Bedingung Für die Punkthöhen z.B. Mittlere Höhe gleich Null Für die Zuschläge zu den Näherungswerten z.B. Summe der Zuschläge Null (aus xTx = min) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Allgemeine Lösung Singuläre Matrix um den Eigenvektor zum Eigenwert l=0 ergänzen n-facher Eigenwert – n Vektoren Berechnung: Spektralzerlegung Funktioniert auch, wenn Datumsdefekt nicht bekannt Nicht anwendbar bei singulärer Kofaktor-matrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Geometrische Interpretation 2D-Netz: Netz kann gedreht, skaliert und in 2 Richtungen verschoben werden – 4 Datumsparameter 3D-Netz: Netz kann um 3 Achsen gedreht, skliert und in 3 Richtungen verschoben werden – 7 Datumsparameter Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Datumsdefekte/freie Parameter Dim. Netztyp max. Anzahl d. Datumsdefekte freie Datumsparameter 1D Höhennetz Schwerenetz 1 Translation z 2D Lagenetz 4 Transl. x,y Rotation z Maßstab 3D 3D-Netz 7 Translation x, y, z Rotation x, y, z Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Datumsbestimmende Anteile von Beobachtungen Elimination von Datumsparametern durch geeignete Beobachtungen Maßstab – Strecke Rotation um z – Azimut Rotationen um x und y bei 3D-Netzen – Zenitdistanzen Translationen – GPS Problem: Willkürliche Festlegung! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Datumsfreies Konzept Relative Beobachtungen: datumsfrei Beobachtungen mit absolutem Bezug: datumsbestimmende Informationen Problem: Wie weit kann der datums-bestimmende Anteil verwendet werden? Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Datumsbestimmende Anteile Messgröße Datumsbestimmende Information Strecken Maßstab des Netzes Azimute Orientierung um z-Achse Mind. 2 Zenitdistanzen Rotation um x- und y-Achse Höhendifferenzen Maßstab der Höhen GPS-Koordinaten für mind. 2 Punkte 3 Translationen, 3 Rotationen, Maßstab GPS-Koordinatendifferenzen für mind. 2 Punkte 3 Rotationen, Maßstab Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Zusatzparameter Bisherige Behandlung: Verwendung des datumsbestimmenden Anteiles für die Datumsfestlegung Frage: Wie kann der datumsbestimmende Anteil eliminiert werden? Lösung: Einführen von Zusatzparametern Dadurch wird die ursprüngliche Bewegungsfreiheit wiederhergestellt Auch möglich: Nur einen Teil freigeben Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Typische Zusatzparameter Strecken: Maßstab als (1 + m) Azimut: Gemeinsame Orientierung für alle Azimute (oder getrennt nach Geräten) GPS-Datensätze: 4-Parameter-Transformation für den gesamten Koordinatensatz Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II GPS-Beobachtungen XYZ-Koordinaten geozentrisch  müssen umgewandelt werden Transformation über bekannte Parameter Lokale Transformationsparameter über Passpunkte Nichtlineare Verbesserungsgleichungen für 2D-Fall mit Parametern Translationen in x und y, Rotation und Maßstab (Niemeier 2002) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Standardverfahren Zwangsfreie Lagerung Freie Ausgleichung Gezwängte Ausgleichung (auch: hierarchische Ausgleichung) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Zwangsfreie Lagerung (1) Datumsdefekt d d geeignete Koordinaten festgehalten Entsprechende Spalten in A gestrichen  Zeilen/Spalten in Qxx fallen weg Keine Varianzinformation für gestrichene Koordinaten, daher zero-variance computational base Nicht alle Kombinationen löst Rangdefizit Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Zwangsfreie Lagerung (2) Datum festgelegt durch Datumspunkte Varianz der berechneten Punkte hängt von der Wahl der Datumspunkte ab!  Auswahl der Datumspunkte muss sorgfältig geschehen! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Freie Ausgleichung Innere Geometrie soll durch die Lagerung nicht beeinflusst werden Datumspunkte sollen an der Ausgleichung teilnehmen  Varianzen für Datumspunkte Ansatz: Bedingungen für Unbekannten-zuschläge einführen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Lagenetz (1) Datumsdefekt 4 Bedingung xTx = min Ableiten und Null setzen: ‚Einschwimmen‘ auf Näherungskoordinaten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Lagenetz (2) Bedingungen zwischen Unbekannten dargestellt als Bedingungsmatrix Parameter in Reihenfolge y, x Widerspruch Anfangs Null Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Lagenetz (3) Erweitertes Normalgleichungssystem Rechnung wie bei Ausgleichung vermit-telnder Beobachtungen mit Bedingungen Auflösung liefert Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Lagenetz (4) Anzahl der Freiheitsgrade: n – u + d Varianz der Gewichtseinheit a posteriori: Das Verfahren heißt auch: Ränderung mit Ränderungsmatrix G G: Eigenvektoren zum d-fachen Eigenwert l=0 von N  Spektralzerlegung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II 3D-Netz Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Gesamtspurminimierung Erstellung einer Ränderungsmatrix G Koordinaten in Abhängigkeit von allen teilnehmenden Unbekannten berechnet G muss das Rangdefizit ausgleichen Varianzinformation für alle Unbekannten Resultierende Genauigkeit ist innere Genauigkeit Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Teilspurminimierung Bedingungen wie bei Gesamtspurminimierung Nicht alle Punkte in den Bedingungen berücksichtigt Anwendungsfälle: Verdichtung, auf übergeordneten Punkten gelagert Unterschiedliche Qualität von Näherungskoordinaten Grundmodell: Gi = EiG mit Auswahlmatrix Ei Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Gezwängte Ausgleichung Übergeordnete Punkte mit festen Koordinaten z.B. EP-Netz in KT-Feld Auch: Ausgleichung unter Anschlusszwang Formal wie zwangsfreie Ausgleichung Innere Geometrie wird verzerrt, Spannungen werden übertragen Keine Genauigkeit für Anschlusspunkte Genauigkeitsmaße von der Wahl der Festpunkte abhängig Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II S-Transformation (1) Similarity Transformation = differentielle Helmert-Transformation für Parameter und Kovarianzmatrizen (Baarda, 1973) Bisher: Festlegung von Datum i durch Einführung von d Gleichungen Erweitertes Normalgleichungssystem: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II S-Transformation (2) Lösungsvektor: mit Dabei stammt Qi aus der Gesamtinversion des erweiterten Systems Index i weil spezielle Lösung abhängig von gewähltem Datum Lösungsvektor und Kofaktormatrix sind datumsabhängig Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II S-Transformation (3) Multiplikation der Normalgleichungsmatrix mit ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix Einzelprodukte ergeben Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II S-Transformation (4) Eigenvektoren von Nx=n in orthonormaler (u,d)-Eigenvektormatrix E Es gilt AE=0, ETAT=0 Nun von links mit ET multipliziert: Also: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II S-Transformation (5) Bedingungsmatrix Gi besteht aus d linear unabhängigen Zeilen Zusätzlich linear unabhängig von Design-matrix A (beheben Datumsdefekt!) Somit Gi und E im selben Vektorraum und ETGi ist regulär, also Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II S-Transformation (6) Eingesetzt in ursprüngliche Gleichung gibt Einfache Umformungen liefern Transponierte Form dieser Matrix wird als Si-Matrix bezeichnet Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II S-Transformation (7) Andere Datumsfestlegung k: Qk, Gk Qk mit S-Matrix von links und rechts multipliziert liefert Qk ist eine beliebige verallgemeinerte Inverse von N, daher gilt NQkN=N  Somit ist jederzeit ein Datumswechsel möglich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II S-Transformation (8) Transformation des Lösungsvektors: von links mit Qi multipliziert liefert Dabei ist x ein beliebiger Lösungsvektor – auch der vom Datum k ist möglich, daher Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II S-Transformation (9) Transformation der Lösung (xk,Qk) im Datum k auf Datum i erfolgt über Somit kann a priori festgelegtes Datum geändert werden ohne neu auszugleichen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Abschließende Bemerkungen Weiche Lagerung Netze in der Landesvermessung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Weiche Lagerung (1) Verwendung stochastischer Vor-information über Anschlusspunkte Gruppierung in Neu- und Anschlusspunkte Zusätzlich soll gelten Zusammen ergibt sich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Weiche Lagerung (2) ‚Beobachtungsvektor‘ lA enthält die Koordinaten der Anschlusspunkte als Beobachtungen Reguläres Problem, wenn Anzahl der ein-geführten Koordinaten größer als Rang-defizit und Koordinaten lösen Rangdefizit Kovarianzinformation SAA for lA Stochastisches Modell: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Weiche Lagerung (3) Minimumsforderung vTPv angewendet auf gesamten Verbesserungsvektor gibt Hybride Minimumsforderung Änderung der Netzgeometrie! Über unterschiedliche Varianzen der Gewichtseinheit für SAA und Sll Steuerungsinstrument für Einpassung von GPS-Beobachtungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Netze der Landesvermessung (1) Früher: Triangulationen mit wenigen Strecken (Invardraht-Basen) Weiträumiges Netz, dann verfeinert (Kataster-Triangulierung I. – V. Ordnung) Nicht komplett streng ausgeglichen, daher Klaffungen (auch wegen Punktver-schiebungen und Genauigkeitssteigerung bei Messgeräten) Art der Ausgleichung: Bedingt! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Netze der Landesvermessung (2) Problem: Erde ist nicht stabil Untersuchung des BEV in Vorarlberg : 7% der untersuchten Festpunkte bewegen sich Was bedeutet das für die abgeleiteten Daten? Wie geht man sinnvoller Weise bei der Homogenisierung vor? Noch keine Antworten – Themen für weitere Arbeiten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil