Kapitel 3 Lineare Regression: Schätzverfahren

Einkommen und Konsum, Forts. PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion AWM-Datenbasis C: Privater Konsum (PCR) Y: Verfügbares Einkommen der Haushalte (PYR) OLS-Schätzer: bei einfacher Regression Anstieg Interzept bei multipler Regression Yt = x t‘b + u t b = (X‘X)-1X‘y Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie OLS-Schätzer OLS-Schätzer b des k-Vektors b von ergab sich zu OLS-Schätzer sind Linearkombinationen der Yt, somit Zufallsvariable Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Eigenschaften von Schätzern Erwartungstreue: Schätzer b für Parameter b ist erwartungstreu, wenn E{b} = b Effizienz: Schätzer b für Parameter b ist effizienter als b*, wenn Var{b} < Var{b*}; b ist effizient, wenn seine Varianz geringer als die jedes anderen Schätzers (aus einer Klasse von Schätzern) ist Konsistenz: Schätzer bn für Parameter b ist konsistent, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung von bn für n->∞ im Punkt b kollabiert Hackl, Einführung in die Ökonometrie

OLS-Schätzer: Erwartungstreue OLS-Schätzer sind Linearkombinationen der Yt, somit Zufallsvariable Seien Elemente der Matrix X der Regressoren nicht-stochastische (fixe) Größen; dann gilt wegen E{u} = 0. Die OLS-Schätzer sind erwartungstreu: E{b} = b Die Verteilung der ut muss als unabhängig von den Regressoren (Spalten von X) vorausgesetzt werden! Für fixe X ist das stets erfüllt. Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Varianz der OLS-Schätzer wegen Var{a+Au} = A Var(u) A‘, wenn Var(u) = s2I vorausgesetzt wird. Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Beispiel: Einfache Regression Yt = a + b Xt + ut Dafür ergibt sich Die Varianzen sind Hackl, Einführung in die Ökonometrie

EViews: Standard-Output Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010708 0.001169 9.156915 0.0000 PYR_D4 0.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared 0.650341 Mean dependent var 0.024451 Adjusted R-squared 0.647652 S.D. dependent var 0.014821 S.E. of regression 0.008797 Akaike info criterion -6.613670 Sum squared resid 0.010061 Schwarz criterion -6.569991 Log likelihood 438.5022 F-statistic 241.7910 Durbin-Watson stat 0.502740 Prob(F-statistic) 0.000000 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

OLS-Schätzer: Effizienz Das Gauss-Markov Theorem sagt: der OLS-Schätzer b ist der beste, lineare, erwartungstreue (BLU) Schätzer für b b hat minimale Varianz unter allen linearen, erwartungstreuen Schätzern b ist effizient gegenüber allen linearen, erwartungstreuen Schätzern Achtung! Die Annahme Var(u) = s2I bedeutet: Homoskedastizität Serielle Unkorreliertheit Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Gauss-Markov Theorem Sei b* = Cy ein erwartungstreuer Schätzer: E{b*} = E{CXb+Cu} = CXb = b also gilt: CX=I; wir erhalten Var{b*} = Var{CXb+Cu} = Cs2IC‘ = CC‘s2 Sei C = (X‘X)-1X‘+D; wegen CX=I gilt DX=0; wir erhalten CC‘ = (X‘X)-1+DD‘ und CC‘ - (X‘X)-1 ≥ 0 b hat minimale Varianz Hackl, Einführung in die Ökonometrie

OLS-Schätzer: Konsistenz hat die Varianz Konvergenz im quadratischen Mittel: E{bn} = b für alle n mit der regulären Matrix Q = lim (Xn‘Xn/n) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Beispiel: Einfache Regression Yt = a + b Xt + ut Dafür ergibt sich Damit Q regulär ist, muss SXt2/n auch bei beliebig großem n endlich bleiben. Achtung! X kann einen Trend enthalten! Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie ML-Schätzer Annahme: normalverteilte Störgrößen, u ~ N(0, s2I) Dichtefunktion der Beobachtungen (X1,Y1), … , (Xn,Yn) Likelihood-Funktion Log-Likelihood-Funktion Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie ML-Schätzer, Forts. Ableitungen: Likelihood-Gleichungen: Nullsetzen der Ableitungen Maximum-Likelihood (ML)-Schätzer: Beachte: ML-Schätzer für b sind identisch mit OLS-Schätzern (wenn Störgrößen normalverteilt sind) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Eigenschaften der ML-Schätzer Schätzer für b erwartungstreu effizient konsistent Schätzer für s2 nicht erwartungstreu! Hackl, Einführung in die Ökonometrie

OLS-Schätzer: Wahrscheinlichkeitsverteilung ML-Schätzer sind asymptotisch normalverteilt OLS- und ML-Schätzer für b sind ident; daher sind auch die OLS-Schätzer asymptotisch normalverteilt Bei endlichem Umfang n: nur bei normalverteilten Störgrößen gilt Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Konfidenzintervall für b Yt = a + b Xt + ut 95%-iges Konfidenzintervall für b: b ± 2 sb mit Beispiel: AWM-Konsumfunktion 95%-iges KI für b: 0.718 ± 0.092; oder 0.626 ≤ b ≤ 0.810 Hackl, Einführung in die Ökonometrie