Analyse der Modellstruktur

Präsentation zum Thema: "Analyse der Modellstruktur"—  Präsentation transkript:

1 Analyse der Modellstruktur
Ökonometrie II Analyse der Modellstruktur

2 Fragestellungen Annahme A1: Modell ist Linearkombination der Regressoren mit fixen Gewichten; stabile, zeitlich invariante Modellstruktur In der Realität: Strukturbrüche, zB Ölpreisschock Gleitende Strukturänderungen, zB Nachfrage nach Telekommunikationsdiensten Verfahren zum Identifizieren von Strukturänderungen Testen auf eine bestimmte, vermutete Änderung Unspezifisches Testen Ökonometrie II

3 Verfahren Graphische Darstellung der lokal oder für Teilbereiche geschätzten Regressionskoeffizienten Modellierung der vermuteten Nichtkonstanz und Test durch Modellvergleich; Dummy-Variable Prognosetest, Chow-Test zum Testen auf Strukturbruch Unspezifisches Testen, zB mittels CUSUM-Test auf Basis von rekursiven Residuen Ökonometrie II

4 Rekursive OLS-Schätzung
Spezifiziertes Modell: y = Xb + u y, u: n-Vektoren; X: Ordnung nxk, b: k-Vektor Frage: Sind die Regressionskoeffizienten im gesamten Beobachtungsbereich konstant? Rekursiv geschätzte Parameter bt: aus den Beobachtungen {(xi, Yi), i=1,...,t} mittels OLS geschätzt, wobei für t die Werte k+1, ..., n genommen werden Ökonometrie II

5 Rekursive OLS-Schätzung, Forts.
bt: OLS-Schätzer für b aus Beobachtungen {(xi, Yi), i=1,...,t} bt = (Xt’Xt)-1 Xt’yt, t=k+1,...,n mit Xt: Ordnung txk, yt: t-Vektor Rekursive Beziehung zum Berechnen der bt Var{bt} = s2 (Xt’Xt)-1 Ökonometrie II

6 Konsumfunktion OLS-Anpassung an Österreichische Jahres-Daten 1954 bis 1999: rekursiv geschätzte marginale Konsum- neigung und Kon- fidenzband (g=0.95) Ökonometrie II

7 Dummy-Variable Regressor, der das Zutreffen eines bestimmen Umstandes anzeigt; er hat den Wert 1 in Perioden, in denen der Umstand zutrifft, sonst den Wert 0 Beispiele: Konjunktur/Stagnation Zeit vor/nach Ölpreis-Schock Regionen (Stadt/Land) Saisonen des Jahres Ökonometrie II

8 Dummy-Variable für Saisonen
Für die Saisonen sind definiert: Frühlings-Dummy Q1t hat den Wert 1 in jedem ersten Quartal; analog das Sommer-Dummy (i=2), etc. Beachte: Für jede Periode (t=1,…,n) gilt Q1t + Q2t + Q3t + Q4t = 1 Ökonometrie II

9 Modelle für Quartalsdaten
Das Modell Y = a + b X + u berücksichtigt keine saisonalen Effekte Modell mit saisonspezifischem Interzept und Anstieg: Yt = a1 + b1 Xt + ut Yt = a2 + b2 Xt + ut Yt = a3 + b3 Xt + ut Yt = a4 + b4 Xt + ut Schreibweise mit Saison-Dummyvariablen Qit: Yt = Siai Qit + Si bi Qit Xt + ut oder Yt = a1+d2Q2t+d3Q3t+d4Q4t + b1 Xt+g2 Q2t Xt+g3 Q3t Xt+g4 Q4t Xt + ut mit di = ai-a1, gi = bi-b1, i=2,3,4. Ökonometrie II

10 Modelle für Quartalsdaten, Forts.
Modell mit saisonspezifischem Interzept, aber gemeinsamem Anstieg Yt = Siai Qit + b1 Xt + ut = a1 + Sidi Qit + b1 Xt + ut Modell mit gemeinsamem Interzept, aber saisonspezifischem Anstieg Yt = a1 + Si bi Qit Xt + ut Ökonometrie II

11 Konsumfunktion (AWM) Dependent Variable: PCR_DL Method: Least Squares
Date: 03/23/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_DL R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Ökonometrie II

12 Konsumfunktion (AWM), Forts.
Dependent Variable: PCR_DL Method: Least Squares Date: 03/23/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_DL D D D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Ökonometrie II

13 Konsumfunktion (AWM), Forts.
Konsumfunktion mit Saison-Dummyvariablen Ct = a1 + d2 Q2t + d3 Q3t + d4 Q4t + b1 Yt + ut Modellvergleich: Test von H0: d2 = d3 = d4 = 0 mittels F-Test: mit p-Wert 0.99 Ökonometrie II

14 Strukturbruch Strukturbruch: Der datengenerierende Prozess kann in Teilbereichen des Beobachtungszeitraums durch das gleiche Modell beschrieben werden; den Teilbereichen entsprechen aber unterschiedliche Werte einiger oder aller Regressionskoeffizienten Den Teilbereichen (Regimen) entsprechen unterschiedliche Strukturen Strukturbruch-Analyse: Gibt es Teilbereiche mit unterschiedlichen Strukturen? Wann hat der Strukturbruch stattgefunden; Schätzung des Zeitpunktes des Strukturbruchs (change point) Ökonometrie II

15 Chow-Test Voraussetzungen:
Chow-Test: Zum Entscheiden, ob unterschiedliche Strukturen vermutet werden müssen oder nicht Voraussetzungen: Teilbereiche mit konstanter Struktur können identifiziert werden bekannter Zeitpunkt, zu dem der Übergang zwischen den Regimen stattgefunden hat ausreichende Anzahl von Beobachtungen aus jedem Regime, so dass das Modell an die Daten jedes einzelnen Regimes angepasst werden und die Residuen bestimmen werden können Dummyvariable erlauben das Modellieren von Regimen Ökonometrie II

16 Chow-Test, Forts. Vermutung: der datengenerierende Prozess läuft in mehreren Regimen ab; das Modell muss hinsichtlich seiner Koeffizienten regimespezifisch angepasst werden Nullhypothese: die Regressionskoeffizienten sind in allen Teilbereichen des Beobachtungszeitraums die gleichen Alternative: zu bestimmten Zeitpunkten ändern das Interzept und einige oder alle anderen Regressionskoeffizienten ihren Wert Ökonometrie II

17 Chow-Test, Forts. Modell mit zwei Regimen:
die partitionierten Größen y, X, b, und u entsprechen den Beobachtungen vor und nach dem Strukturbruch Nullhypothese (kein Strukturbruch) H0: b1 = b2 kann mittels F-Test überprüft werden: S: Summe der Fehlerquadrate im Modell mit Strukturbruch SR: Summe der Fehlerquadrate im Modell unter H0 Ökonometrie II

18 Chow-Test, Forts. Die F-Statistik folgt bei Zutreffen von H0
der F-Verteilung F(k,n-2k) bei normalverteilten Störgrößen näherungsweise der Chiquadrat-Verteilung c2(k) bei großem n Ökonometrie II

19 Konsumfunktion, Forts. OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen
1954 bis 1971: b = 0.817, S1 = 1972 bis 1999: b = 0.824, S2 = F-Statistik: p-Wert: 0.004 Ökonometrie II

20 Chow-Test für m Regime Verallgemeinerung: m Regime H0: b1 = … = bm
F-Statistik Si: Summe der Fehlerquadrate im Modell für i-tes Regime (i=1,…,m) Verteilungen F(k,n-mk) oder c2([m-1]k) Ökonometrie II

21 Chow‘s Prognosetest Änderung der Struktur gegen Ende des Beobachtungszeitraums, nach der Änderung p<k Beobachtungen: Der Chow-Test ist nicht anwendbar Anpassen des Modells y = Xb + u an Beobachtungen t=1,…,n-p gibt OLS-Schätzer b Prognose ŷf=Xfb für Beobachtungen t = n-p+1,…,n Der Prognosetest prüft die Nullhypothese, dass das Modell auch im Prognosebereich gültig ist: H0: yf = Xfb + u F-Statistik (mit Prognosefehlern ef‘) Ökonometrie II

22 Prognosetest: Berechnung von F
Anpassen des Modells an die n-p Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD Anpassen des Modells an alle n Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD+F Einsetzen in F-Statistik gibt Ökonometrie II

23 Konsumfunktion, Forts. Chow‘s Prognosetest
OLS-Anpassung des Modells an Daten 1954 bis 1999: , SD+F = 1954 bis 1995: , SD = F-Statistik: p-Wert: Ökonometrie II

24 Rekursive Residuen Modell: y = Xb + u
Rekursive Residuen sind definiert als 1-Schritt Prognosefehler: bt ist OLS-Schätzer von b auf Basis der Beobachtungen {(xi, Yi), i=1,...,t} Der (n-k)-Vektor w folgt (bei normalverteilten Störgrößen) w ~ N(0, s2I) Gut geeignet für Konstruktion von Tests zur Strukturstabilität Ökonometrie II

25 Konsumfunktion, Forts. Rekursive Residuen Ökonometrie II

26 Tests zur Strukturstabilität
Tests, die auf Basis der rekursiven Residuen konstruiert sind: CUSUM Test MOSUM Test CUSUM-SQ Test CUSUM Test: Kritische Schranken nach Brown et al. (1975) Ökonometrie II

27 Konsumfunktion, Forts. CUSUM Test Ökonometrie II