Kapitel 7 Lineare Restriktionen

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1 Kapitel 7 Lineare Restriktionen

2 Cobb-Douglas Produktionsfunktion
Q(K, L) = A Ka Lb Q: Output (value added) K: eingesetzter Kapitalbestand (capital stock) L: geleistete Arbeit (labor input) Funktion f(x) heißt homogen vom Grad r, wenn f(px) = pr f(x) Produktion mit konstanten Skalenerträgen Q(pK, pL) = A (pK)a (pL)b = pa+b Q(K, L) = p Q(K, L) d.h., die Produktionsfunktion ist homogen vom Grad 1 Die Parameter erfüllen die Beziehung (lineare Restriktion) a + b = 1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

3 Produktionsfunktion: Daten
Nach Hildebrand & Liu (1957), Aigner et al. (1977) LOGQ: log(Q) LOGK: log(K) LOGL: log(L) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

4 Lineare Restriktionen: Fragen
Wenn die Annahme unterstellt wird, dass eine Restriktion, beispielsweise a + b = 1, zutrifft, wie können wir die Koeffizienten, a und b, schätzen, so dass auch die Schätzer diese Restriktion erfüllen? Wie können wir überprüfen, ob eine vermutete Restriktion auch tatsächlich zutrifft? Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

5 Produktionsfunktion, Forts.
OLS-Anpassung von Q * = log Q = g + a log K + b log L + u (mit g = log A) gibt Für die Summe der Koeffizienten ergibt sich a + b = = 0.979 95%-iges Konfidenzintervall: 0.850 ≤ a + b ≤ 1.108 Deutlicher Hinweis auf konstante Skalenerträge! Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

6 Produktionsfunktion, Forts.
Dependent Variable: Q Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:09 Sample(adjusted): 1 27 Included observations: 27 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C L K R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

7 Lineare Restriktionen: Notation
Spezifiziertes Modell: y = Xb + u g lineare Restriktion: Hb = h Die Matrix H hat Ordnung gxk, h ist g -Vektor Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)
Beispiel Die Koeffizienten sollen erfüllen b1 + b2 = 0 b3 = 1 Matrixform: Hß = h mit Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)
Beispiel Vergleich von [X: nx(k-g), Z: nxg ] y = Xb + u und y = Xb + Zg + v Restriktion g = 0 oder mit Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

10 Restringierte Schätzer
Restringierte Schätzer erfüllen die Restriktionen Methoden: Substitutionsmethode: Berücksichtigen der Restriktionen durch Eliminieren von Regressionskoeffizienten Lagrange-Methode: Erweitern der Summe der Fehlerquadrate zur Lagrange-Funktion, Minimieren der Lagrange-Funktion Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

11 Produktionsfunktion, Forts.
Berücksichtigen der Restriktion a + b = 1 durch Eliminieren von b: Einsetzen von b = 1 – a gibt Anpassen von Q * = log Q – log L = g + a (logK-logL) + u Restringierte Schätzer aR = (vergl.: a = 0.376) und bR = = (vergl.: b = 0.603) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

12 Produktionsfunktion, Forts.
Dependent Variable: Q_ST Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:17 Sample(adjusted): 1 27 Included observations: 27 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C K_ST R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)
Lagrange-Methode Gesucht sind Schätzer für b aus y = Xb + u mit Hb = h Minimieren der Lagrange-Funktion liefert die restringierten OLS-Schätzer Je schlechter die nicht-restringierten Schätzer die Restriktionen erfüllen, umso größer ist die Abweichung zwischen dem nicht-restringierten und dem restringierten Schätzer (die Korrektur)! Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

14 Konsequenzen von Restriktionen
Irrtümlich restringierter OLS-Schätzer Schätzer verzerrt Minimale Varianz des Schätzers Überschätzte Varianz der Störgrößen Irrtümlich nicht restringierter OLS-Schätzer Schätzer unverzerrt Varianz des Schätzers zu groß Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

15 Test von Restriktionen
Prüft, ob eine vermutete Restriktion auch zutrifft; Test von H0: Hb = h 1. Wald‘sche Teststatistik: auf Basis von d = Hb-h mit nicht-restringiertem OLS-Schätzer b: Unter H0 sollte einen kleinen Wert haben; unter H0 gilt näherungsweise: d ~ N[0,s2H(X’X)-1H’] 2. Modellvergleich mittels F-Test (siehe Kapitel 6: „Variablenauswahl und Missspezifikation“) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)
Wald-Test Test von H0: Hb = h mittels Wald‘scher Teststatistik Die Chi-Quadrat-Verteilung gilt unter H0 näherungsweise (großes n) Wegen kann W auch geschrieben werden als Die Teststatistik F = W/g ist näherungsweise F-verteilt mit g und n-k Freiheitsgraden Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)
Modellvergleich Test durch Vergleich des restringierten Modells mit dem nicht-restringierten Modell Die F-Verteilung gilt unter H0 näherungsweise (großes n) Ausführen der Tests: Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von S = e'e Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln von SR = eR'eR Einsetzen in F Wald‘sche Teststatistik kann man berechnen als W = gF Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)
Berechnung von W und F Berechnen von Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von S = e'e Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln von SR = eR'eR Einsetzen in F Wald‘sche Teststatistik wird berechnet nach W = gF Beispiel Produktionsfunktion: Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)
Asymptotische Tests Wald-Test: überprüft, inwieweit die nicht-restringierten Schätzer die Restriktionen erfüllen Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test): untersucht, ob die Ableitung der Likelihood-Funktion (die score-Funktion), an der Stelle der restringierten Schätzer einen Wert nahe bei Null hat Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test): untersucht, ob das logarithmierte Verhältnis der Likelihood-Funktionen, die sich an der Stelle der restringierten und der nicht-restringierten Schätzer ergeben, nahe bei Null liegt Die Teststatistiken aller drei Tests folgen unter H0 näherungsweise (großes n) der Chi-Quadrat-Verteilung mit g Freiheitsgraden Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)
Asymptotische Tests g(b) = 0: Restriktion logL: Log-likelihood Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

21 Asymptotische Tests: Berechnung
Wald-Test: W = gF (siehe oben) Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test): Re2: Bestimmtheitsmaß der Regression der restringierten Residuen eR auf X Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test): Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

22 Lagrange-Multiplier-Test
Teststatistik des LM-Tests Re2: Bestimmtheitsmaß der Regression der restringierten Residuen eR auf X Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln der Residuen eR Regression der Residuen eR auf die Regressoren des nicht-restringierten Problems, Ermitteln von Re2 Einsetzen in LM Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

23 Likelihood-Quotienten-Test
Teststatistik des LR-Tests Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von e'e Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln von eR'eR Einsetzen in LR Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

24 Produktionsfunktion, Forts.
Asymptotische Tests von H0: a+b = 1 Wald-Test p-Wert: 0.734 Lagrange-Multiplier-Test Re2 = , LM = 27x = , p-Wert: 0.719 Likelihood-Quotienten-Test LR = 27xlog( / ) = , p-Wert: 0.812 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)