Kapitel 19 Kointegration

Integrierte Zeitreihen Regression als Modell einer nicht-stationären Variablen t -Werte zu groß R2 zu groß Kriterien für Anpassung zeigen zu gute Werte (spurious regression) Stochastischer Trend! Eliminieren des Trends durch Bilden von Differenzen Integration von stochastischen Prozessen (Zeitreihen): Ein stochastischer Prozess Yt heißt integriert von der Ordnung d, wenn seine d-fachen Differenzen DdYt ein stationärer Prozess sind; Yt ~ I(d) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Beispiel: Random-walk-Prozess X sei ein random-walk: Xt = Xt-1 + ut mit u: Weißes Rauschen, u ~ I(0) Dann gilt: X ~ I(1) (“X ist integriert von der Ordnung 1“): DXt = Xt – Xt-1 = ut ~ I(1) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Integrierte stochastische Prozesse Viele ökonomische Zeitreihen zeigen stochastische Trends; aus der AWM-Datendasis: d: Ordnung der Integration Beispiel: PCR = b1 + b2PYR + u ist vermutlich spurious regression; besser Modell in Änderungen (oder Zuwachsraten) Variable d YER Brutto-Inlandsprodukt, real 1 PCR Privater Konsum, real 1-2 PYR Verf. Einkommen der HH, real PCD Konsumdeflator 2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Differenzen vs. Niveauwerten Analysieren von Differenzen Vermeidet Konsequenzen von spurious regression Information über Entwicklung der Niveauwerte (langfristiges Verhalten, Trends, Verhalten im Gleichgewicht) geht verloren Ökonomische Theorien sind meist Aussagen über Zusammenhänge im Gleichgewichts-Zustand! Vermeiden von spurious regression durch Modell auf Basis von Differenzen durch Ausnützen von Kointegration EViews: n=100; series y1 = nrnd; y2 = y2(-1)+y1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Beispiel: Kointegrierte Variable Nicht-stationäre Variable X: X ~ I(1) Y = b1 + b2X + u mit u: Weißes Rauschen Dann gilt Y ~ I(1) X, Y zeigen den gleichen stochastischen Trend Y – b2X = b1 + u ~ I(0) Y – b2X ist eine stationäre Linearkombination der nicht-stationären Variablen! X, Y sind kointegrierte Variable! Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19) Kointegration X, Y sind integrierte Variable: X ~ I(1), Y ~ I(1) X, Y heißen kointegriert, wenn sich ein b2 finden lässt, so dass Y – b2X ~ I(0) Für kointegrierte I(1)-Variable X, Y gilt also Y – b2X ~ I(0); es existiert eine Beziehung Y = b1 + b2X + u mit u ~ I(0) oder Weißem Rauschen u Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Kointegration: Interpretation Interpretation des Begriffs Kointegration Wegen Y – b2X ~ I(0) befinden sich X und Y in einer Gleichgewichts-Beziehung; es gibt nur stationäre Abweichungen Beispiel: Saldo-Bestände der ein- und verkauften Warenmengen bilden einen stationären Prozess: sie sind kointegriert Einkünfte und Ausgaben der Haushalte sind kointegriert Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Kointegration: Definition Komponenten des k-Vektors x seien integriert vom Grad d : x ~ I(d) existiert ein Vektor l und eine Zahl b > 0 mit z = l‘x ~ I(d – b) so heißen die Komponenten von x kointegriert vom Grad (d, b); k-Vektor l heißt kointegrierender Vektor Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Fehlerkorrektur-Modell Adäquate Darstellung ökonomischer Prozesse berücksichtigt Gleichgewichts-Beziehung Short-run Dynamik (Kompensation von Abweichungen vom Gleichgewicht) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

ADL(1,1)-Modell: Fehlerkorrektur-Form Ausgangspunkt: ADL(1,1)-Modell Yt = a + jYt-1 + b0Xt + b1Xt-1 + ut mit X ~ I(1), |j| < 1; dann gilt: Y ~ I(1) Gleichgewichts-Beziehung zwischen X und Y: Yt = m0 + m1Xt + et Wie hängen ADL-Modell und Gleichgewichts-Beziehung zusammen? Subtrahieren und Addieren von Yt-1 und b0Xt und Umformen gibt DYt = – (1 – j)[Yt-1 – m0 – m1Xt-1] + b0DXt + ut mit m0 = a/(1 – j) und m1 = (b0+ b1)/(1 – j) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Fehlerkorrektur-Form und Gleichgewicht Aus Yt-1 – m0 – m1Xt-1 = et = – [1/(1 – j)] (DYt – b0DXt – ut) ergibt sich: der Gleichgewichts-Fehler et ist eine Linearkombination der I(0)-Variablen DY, DX und u und et ~ I(0) Es folgt: Yt-1 – m0 – m1Xt-1 ist eine Gleichgewichts-Beziehung Y und X sind kointegriert Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Fehlerkorrektur-Modell: Interpretation Das Modell Yt-1 = m0 + m1Xt-1 + et-1 beschreibt die langfristige Beziehung zwischen X und Y Das Modell DYt = – (1 – j)[Yt-1 – m0 – m1Xt-1] + b0DXt + ut = – j0 [Yt-1 – m0 – m1Xt-1] + b0DXt + ut beschreibt die kurzfristige Dynamik, das Anpassen von Y an Änderungen von X und die Korrektur von Gleichgewichts-Fehlern der Vorperiode Achtung! Das Vorzeichen von j0 = (1 – j) muss positiv sein, wenn das Modell die Kompensation von Gleichgewichts-Fehlern beschreiben soll Achtung! Gleiche Ordnung der Integration der Variablen ist Voraussetzung für kointegrierende Beziehung Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19) Modell für Importe Importgleichung des AW-Modells: log(MTR/FDD) = m1log(MTD/YED) + m2TIME + e MTR: reale Ausgaben für Importe von Gütern und Dienstleistungen, FDD: gesamte Nachfrage, MTD: Deflator zu MTR, YED: Deflator des BIP, TIME: Trendvariable MTR/FDD: Anteil der Importe an gesamter Nachfrage (Mp), MTD/YED: Verhältnis der Deflatoren (RD); beide sind I(1) Angepasstes Modell: log(Mp) = – 1.956 – 0.255 log(RD) + 0.0044TIME mit t-Statistiken 8.383 (für m1) und 30.518 (m2), R2 = 0.966, Durbin-Watson d = 0.120 Mp, RD und TIME sind kointegriert, wenn Residuen I(0) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Modell für Importe, Forts. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Test auf Kointegration I(1)-Variable Y und X seien nicht kointegriert Dann sind die e = Y – m0 – m1X eine I(1)-Variable; der unit-root-Test sollte nicht-stationäres Verhalten anzeigen Engle-Granger-Test auf Kointegration: OLS-Anpassung der potentiellen Gleichgewichts-Beziehung Y = m0 + m1X + e Anwenden eines unit-root-Tests zum Überprüfen der Nullhypothese, dass die Residuen eine I(1)-Variable sind wird die Nullhypothese verworfen: e sind I(0)-Variable Y und X sind kointegriert Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Engle-Granger-Verfahren zum Anpassen des Fehlerkorrektur-Modells Ausgangspunkt: ADL(1,1)-Modell DYt = –j0 [Yt-1 – m0 – m1Xt-1] + b0DXt + ut Verfahren von Engle-Granger: Prüfen der Integrations-Ordnung; X und Y müssen gleiche Ordnung haben; es gelte: X und Y sind I(1)-Variable Schätzung der Gleichgewichts-Beziehung Y = m0 + m1X + e liefert Schätzer für m0 und m1 sowie Residuen Test auf Kointegration: unit-root-Test zum überprüfen, ob die Residuen ein stationärer Prozess sind; wenn ja, Schätzen des Fehlerkorrektur-Modells Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)

Engle-Granger-Verfahren: Schätzen der Parameter Schätzen des Fehlerkorrektur-Modells: Es gibt zwei Möglichkeiten: OLS-Schätzer für j0 und b0 aus DYt = – j0 + b0DXt + ut OLS-Schätzer für a, j0 und b0 aus DYt = a – j0 [Yt-1 – m1Xt-1] + b0DXt + ut Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)