Anhang A: Binährzahlen 3. Oktober 2007 Anhang A: Binährzahlen A.1 Zahlen mit endlicher Genauigkeit A.2 Basiszahlensysteme A.3 Umwandlung von einer Basis in eine andere A.4 Negative Binärzahlen In dieser Vorlesung nur angedeutet: A.5 Binärarithmetik Anhang B: Gleitkommazahlen B.1 Grundlagen der Gleitkommaarithmetik B.2 IEEE-Standard 754 für Gleitkommaarithmetik nfnfdnfnfn

A.1 Zahlen mit endlicher Genauigkeit Computer benutzen andere Arithmetik als Menschen Die Physiker sagen: Es gibt 10 hoch 78 Elektronen im Universum… Die Chemiker sagen: … Die Philosophen sagen: … Die Mathematiker sagen: … Die Sportreporter sagen: … Die Computer sagen (mindestens die heutige hardware…): ich benötige Zahlen mit endlicher Genauigkeit (32 bit, 64 bit oder was auch immer) Beispiel: Menge der positiven drei Dezimalziffern Die Menge hat genau 100 Mitgliedern: 000, 001, …, 999 Bestimmte Zahlenarten können nicht ausgedrückt werden: Zahlen, die grösser sind als 999 Negative Zahlen … Die Arithmetik ist nicht geschlossen: 600 + 600 = 1200 (zu gross) 003 - 005 = -2 (negativ) Auch die Algebra ist anders: a + (b - c) = (a + b) - c (mit a=700, b=400, c=300 ist a+b zu gross, nicht aber a+(b-c)) nfnfdnfnfn

A.2 Basiszahlensysteme (1/3) • Natürliche Basiszahl führ viele Menschen: 10 • Natürliche Basiszahl führ heutige Computer: 2, 8, 16, …: 01 01234567 0123456789ABCDEF … nfnfdnfnfn

A.2 Basiszahlensysteme (2/3) nfnfdnfnfn

A.2 Basiszahlensysteme (3/3) nfnfdnfnfn

A.3 Umwandlung von einer Basis in eine andere (1/2) nfnfdnfnfn

A.3 Umwandlung von einer Basis in eine andere (2/2) nfnfdnfnfn

A.4 Negative Binährzahlen (1/5) Grössendarstellung mit Vorzeichen (Signed Magnitude) Das 1. Bit ist das Vorzeichen (0=positiv, 1=negativ) Einerkomplement (one’s complement) Alle 1 werden durch 0 ersetzt und alle 0 durch 1 » Zweierkomplement (two’s complement) Alle 1 werden durch 0 ersetzt und alle 0 durch 1 Anschliessend wird 1 zum Ergebniss addiert 2m-1 Ueberschuss (excess 2m-1) Die Zahl wird als « sich selbst + 2m-1 » gespeichert Bemerkungen (1) und (2) haben zwei Darstellungen für das 0 ! (3) und (4) haben nicht gleichviele positive wie negative Zahlen ! (3) und (4) sind identisch, bis zum Vorzeichenbit das umgedreht ist ! Bei allen Darstellungen ist das 1. Bit das Vorzeichen nfnfdnfnfn

A.4 Negative Binährzahlen (2/5) 1 2 3 000 100 001 101 110 111 010 011 -0 -1 -2 -3 Grössendarstellung mit Vorzeichen 1 2 3 000 100 001 101 110 111 010 011 -3 -2 -1 -0 Einerkomplement nfnfdnfnfn

A.4 Negative Binährzahlen (3/5) 000 100 001 101 110 111 010 011 1 2 3 -4 -1 -2 -3 Zweierkomplement nfnfdnfnfn

A.4 Negative Binährzahlen (4/5) 000 111 001 -4 -3 -2 -1 3 2 1 110 010 101 011 100 2m-1 Ueberschuss nfnfdnfnfn

A.4 Negative Binährzahlen (5/5) nfnfdnfnfn

A.5 Binärarthmetik nfnfdnfnfn

A.5 Binärarthmetik nfnfdnfnfn

B.1 Grundlagen der Gleitkommaarithmetik (1/3) nfnfdnfnfn

B.2 IEEE-Standard 754 für Gleitkommaarithmetik (1/3) n = f * 10e mit 0.1 ≤ |f| < 1 nfnfdnfnfn