STATISIK LV Nr.: 1852 WS 2005/06 1.Dezember 2005

Inhalt Deskriptive Statistik: Einfache Kennzahlen Lagemaße Streuungsmaße Konzentrationsmaße Verhältniszahlen Indexzahlen

Maßzahlen Parameter, Kollektivmaßzahlen Lageparameter (Mittelwerte) Streuungsparameter (Variabilitätsmaße, Variationsmaße) Schiefe Wölbung

Lagemaße und Mittelwerte Eigenschaften: Liegen zwischen Minimum und Maximum der Daten Wenn alle Daten derselben linearen Transformation unterworfen werden, macht auch das Lagemaß diese Transformation mit

Lagemaße und Mittelwerte Arithmetisches Mittel Median Modus Geometrisches Mittel Harmonisches Mittel Quantile

Arithmetisches Mittel Mittelwert, durchschnittlicher Wert. Für metrisch skalierte Merkmale. a1,...,an beobachtete Merkmalswerte eines Merkmals X

Arithmetisches Mittel Bsp. Merkmal X: Körpergröße in cm Merkmalswerte (a1,...,an, n = 5): 162, 170, 155, 187, 179 ā = 1/5 · (162+170+155+187+179) = 170,6

Arithmetisches Mittel Eigenschaften (Betrachte Einzelwerte ai, i=1,...,n): Summe der Abweichungen der Einzelwerte von ihrem arithmetischen Mittel = 0 Summe der quadrierten Abweichungen der Einzelwerte von ihrem arithmetischen Mittel ist kleiner als von einem beliebigen anderen Wert

Arithmetisches Mittel Das arithmetische Mittel unterliegt der gleichen linearen Transformation wie die Einzelwerte Lineare Transformation: Bsp. Körpergröße: ai* = 0,01·ai Transformierte Werte: 1,62; 1,70; 1,55; 1,87; 1,79 ā* = 1/5 · (1,62+1,70+1,55+1,87+1,79) = 1,706 ā* = 0,01 · ā = 0,01 · 170,6 = 1,706

Arithmetisches Mittel Arithmetische Mittel von zwei oder mehr Teilgesamtheiten: Bsp. Körpergröße: 2 Stpr. mit n1=n2=5 Stpr. 1: 162, 170, 155, 187, 179 mit ā1 = 170,6 Stpr. 2: 172, 159, 193, 184, 168 mit ā2 = 175,2 ā = 1/(5+5) · (853+876) = 172,9 = (5·170,6+5·175,2) / (5+5) = 172,9

Arithmetisches Mittel Gewogenes (gewichtetes) arithmetische Mittel Gewichte w1, ..., wn mit 0wi1 und Σiwi=1 Für w1 = ... = wn = 1/n ergibt sich das gewöhnliche arithmetische Mittel

Median Median (Zentralwert): mindestens 50% der Beobachtungen ai nehmen eine Wert größer oder gleich bzw. kleiner oder gleich dem Median an. Sind x1... xn der Größe nach geordnet, ist der Median x̃0,5: x((n+1)/2) n ungerade x̃0,5 = ½(x(n/2)+x(n/2+1)) n gerade

Median Häufigkeitsverteilung: Median ist diejenige Merkmalsausprägung, bei der die Summenhäufigkeitsfunktion den Wert 0,5 überschreitet. Klassifizierte Daten: Der Median liegt in der Klasse, in der die Summenhäufigkeitsfunktion den Wert 0,5 erreicht.

Median Bsp. Körpergröße in cm: n = 10, Bsp. Körpergröße in cm: n = 9, Merkmalswerte der Größe nach geordnet: 155, 159, 162, 168, 170, 172, 179, 184, 187, 193 Median: x̃0,5 = ½(x(n/2)+x(n/2+1)) = ½(x5+x6) = ½(170+172) = 171 Bsp. Körpergröße in cm: n = 9, 155, 159, 162, 168, 170, 172, 179, 184, 187 Median: x̃0,5 = x((n+1)/2) = x5 = 170

Quantile Geordnete Beobachtungsreihe x(1)...x(n) α-Quantil x(k) falls n·α keine ganze Zahl (k ist die auf n·α folgende ganze Zahl) x̃α= 1/2 (x(k)+x(k+1)) falls n·α ganze Zahl k=n·α Spezielle Quantile: Median = 0,5-Quantil Unteres Quartil = 0,25-Quantil Oberes Quartil = 0,75-Quantil

Quantile Bsp. Körpergröße in cm: Merkmalswerte der Größe nach geordnet (n=10): 155, 159, 162, 168, 170, 172, 179, 184, 187, 193 Unteres Quartil = 0,25-Quantil, n · 0,25 = 2,5 also: x̃0,25 = x(k) = x(3) = 162 Oberes Quartil = 0,75-Quantil, n · 0,75 = 7,5 also: x̃0,75 = x(k) = x(8) = 184

Modalwert Modalwert (Modus, häufigster Wert, dichtester Wert): Gibt die Ausprägung an, die die größte Häufigkeit in der Beobachtungsreihe besitzt. Für nominal skalierte Daten geeignet. Es gilt: h(xmod)  h(xi) für alle Merkmalsausprägungen xi,...,xk. Klassifizierte Daten: Modalwert ist definiert als Klassenmitte der am dichtesten besetzten Klasse.

Geometrisches Mittel Voraussetzung: Daten verhältnisskaliert n Einzelwerte a1, ..., an Merkmalsausprägungen relative Änderungen (z.B. Lohnerhöhung in %) Geometrisches Mittel:

Geometrisches Mittel Bsp. Produktionssteigerung eines Betriebes pro Jahr 4 Jahre mit Produktionssteigerungen von: 2%, 11%, 4%, 7% Durchschnittliche Steigerung: Durchschnittliche Produktionssteigerung: ~6%

Geometrisches Mittel Gewogenes (gewichtetes) geometrische Mittel Gewichte w1, ..., wn mit 0wi1 und Σiwi=1 Für w1=...= wn=1/n ergibt sich das gewöhnliche geometrische Mittel

Harmonisches Mittel Nur positive od. negative Beobachtungswerte a1,...,an Gewogenes harmonisches Mittel: Gewichte w1,...,wn mit 0wi1 und Σiwi=1 Für w1=...= wn=1/n ergibt sich das gewöhnliche harmonische Mittel

Harmonisches Mittel Bsp. Hat man etwa die Beziehung U = P · M und gilt ui = xi·mi und ist ui = U und mi = M, ergibt sich P = U / M P ist das mit wi gewogene harmonische Mittel der xi U = Gesamtumsatz, ui = Einzelumsatz des i-ten Gutes P = durchschnittlicher Preis pro Mengeneinheit, xi = Einzelpreis pro Mengeneinheit des i-ten Gutes M = Gesamtmenge, mi = umgesetzte Menge des i-ten Gutes

Mittel Vergleich arithmetische- geometrisches- und harmonisches Mittel: Bei positiven Beobachtungswerten a1,...,an gilt stets die Beziehung Bei identischen Beobachtungen a1=...=an sind die Mittel gleich.

Streuungsmaße Varianz Standardabweichung Variationskoeffizient Mittlere absolute Abweichung Spannweite Quartilsabstand Schiefe Wölbung

Varianz Beobachtungswerte a1,...,an (metrisch skaliert) Streuungsmaß: Arithmetische Mittel der Abweichungsquadrate der Einzelwerte ai von ihrem arithmetischen Mittel Varianz (Mittlere quadratische Abweichung)

Varianz Bsp. Körpergröße von 5 Personen: 162, 170, 155, 187, 179 Arithmetisches Mittel = 170,6 Varianz (Mittlere quadratische Abweichung) σ² = 1/5 · [(162-170,6)² + … + (179-170,6)² ] σ² = 131,44

Streuungsmaß Streuungsmaß: Summe der quadrierten Abweichungen - nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm. Mittel, da gilt: Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M

Varianz Verschiebungssatz (Beziehung zw. MQ(M) und Varianz): Das bedeutet: MQ(M)  Varianz MQ(M) = σ² wenn M = arithm. Mittel Minimumeigenschaft des arithm. Mittels.

Varianz Rechenvereinfachung: Liegt eine Häufigkeitsverteilung vor: k Merkmalswerte x1,...,xk mit abs. Häufigkeiten hi bzw. rel. Häufigkeiten fi (i=1,...,k) Varianz:

Varianz Varianz einer Grundgesamtheit, die aus 2 Teilgesamtheiten (n1, n2) besteht: mit

Varianz Klassifizierte Daten: Häufigkeitsverteilung Varianz näherungsweise berechnen, statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xi´ verwendet:

Varianz Bei unimodalen Verteilungen, ist die Varianz, die aus den klassifizierten Daten berechnet wird, größer als die Varianz, die aus den Einzelwerten berechnet wird. Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx): Sheppardsche Korrektur: σ² ... die aus den klassifizierten Daten näherungsweise bestimmte Varianz

Varianz Dimension: Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen Eigenschaft: Varianz immer  0 Ist Varianz = 0, liegt keine Streuung vor, alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel.

Standardabweichung Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz

Varianz & Standardabweichung Eigenschaften: Lineare Transformation der Einzelwerte ai: ai* = α + βai (i=1,...,n) Dann: Varianz: σ*² = β²σ² Standardabweichung: σ* = |β| σ Sonderfall: β=1, Transformation ai* = α + ai σ*² = σ² und σ* = σ

Standardisierung Standardisierung: Arithm. Mittel der zi immer 0, Spezielle lineare Transformation Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte Werte zi, indem von jedem ai das arithm. Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird. Arithm. Mittel der zi immer 0, Varianz der zi immer 1.

Variationskoeffizient Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen Relatives Streuungsmaß (für verhältnis-skalierte Merkmale mit ausschließlich positiven Merkmalswerten), bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaß) auf das arithm. Mittel μ.

MAD Mittlere absolute Abw. Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (z.B. arithm. Mittel oder Median) Minimumeigenschaft des Medians: M beliebiger Wert

MAD Häufigkeitsverteilung der Daten MAD bezogen auf Mittelwert μ MAD aus Häufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten: Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xi´ ersetzen.

Spannweite (Range) Abstand zw. dem größten und dem kleinsten Wert Einzelwerte der Größe nach ordnen: a[1],…,a[n] R = a[n] - a[1] Häufigkeitsverteilung von k Merkmalsausprägungen: R = xk - x1 Häufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten: R = xko - x1u Spannweite ist instabil gegenüber Ausreißern

Quartilsabstand Quartile Q1, Q2 (=Median), Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich große Teile. α-Quantil: a(k) falls n·α keine ganze Zahl (k die auf n·α folgende ganze Zahl) ãα= 1/2 (a(k)+a(k+1)) falls n·α ganze Zahl k=n·α Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50% mittleren Werte: QA = Q3 – Q1 Eigenschaft: stabil gegenüber Ausreißern

Box-Plot Box-Plot: grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

Box-Plot Box-Plot für Vergleich von 2 Messreihen:

Box-Plot Box-Plot Box: beinhaltet 50% der Daten (Grenzen: 1. und 3. Quartil), Darstellung des Medians. Whiskers: maximal 1,5-mal die Länge der Box. Ausreißer: Werte außerhalb der Whiskers. Ausreißer Krasse Ausreißer

Schiefe Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Größenordnung der Schiefe einer unimodalen Häufigkeitsverteilung an. < 0 linksschiefe g1 = 0 symmetrisch > 0 rechtsschiefe Kein direkter Streuungsparameter

Schiefe Schiefe einer Häufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen): Verwendung der Klassenmittel od. der Klassenmitten Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen führen.

Schiefe Linksschiefe Verteilung: g1 < 0

Schiefe Symmetrische Verteilung: g1 = 0

Schiefe Rechtschiefe Verteilung: g1 > 0

Wölbung Wölbung od. Kurtosis od. Exzeß: Maßzahl für unimodale Häufigkeitsverteilungen Gibt an, ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Häufigkeitsvt. größer als bei der Dichte der Normalvt. ist.

Wölbung < 0 abs. Max. kleiner als bei N-Vt. g2 = 0 Normalverteilung > 0 abs. Max. größer als bei N-Vt. Wölbung einer Häufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen): Verwendung der Klassenmittel od. der Klassenmitten