2. Vortag aus Quantentheorie Von Alexander Falger am 26.06.2007

Überblick Einleitung: Das freie Teilchen Die eindimensionale Streuung Das Franck- Hertz- Experiment Das freie Teilchen Die eindimensionale Streuung Potentialstufe Potentialbarriere Der unendlich hohe Potentialtopf

Das Franck- Hertz- Experiment Ein experimenteller Beweis, dass bei Stoßprozessen die Energiequantelung eine Rolle spielt. Versuchsanordnung: Glaskolben mit Hg Dampf gefüllt (10-2 mbar) Kathode (Emission von e-) Metallgitter Anode

Versuchsaufbau

Ergebnis Die Elektronenstoßanregung zeigt, dass Atome Energie nur in bestimmten Energiequanten aufnehmen können, deren Größe von der Struktur des Atoms und vom angeregten Zustand abhängt.

Das freie Teilchen In diesem speziellen Fall vereinfacht sich die stationäre Schrödingergleichung, da V(x)=0 ist. Mit reduziert sich die Gleichung zu:

Die allgemeine Lösung lautet: wir können B=0 setzen und mit dieser speziellen Lösung weiterrechnen. Die zeitabhängige Wellenfunktion: Ergebnis:

Wie gut wird das „Teilchen“ beschrieben? Die Ausbreitungsgeschwindigkeit klassisch: Phasengeschwindigkeit: daraus folgt: Ergebnis: vPh = 0.5vT

Wie gut wird das „Teilchen“ beschrieben? Wir können über den Aufenthaltsort nichts aussagen, da es sich um eine unendlich ausgedehnte Welle handelt. Da sich das „Teilchen“ irgendwo im Raum befindet (W=1) gilt Normierungsbedingung: Diese Lösung kann daher nicht als Teilchen interpretiert werden.

Wellenpakete Dieses erhalten wir, indem wir unendlich viele Lösungen der Schrödingergleichung aufsummieren. (Superpositionsprinzip)

Wie gelangen wir zu dieser Lösung? Die Fouriertransformation Hier werden unendlich viele Wellen als Funktion des Impulses überlagert. Wird als Impuls-Raum Wellenfunktion bezeichnet Die inverse Fouriertransformation liefert:

Also ist 1/α verantwortlich für die Breite des Wellenpaketes. Betrachten wir eine normierte Gaußfunktion mit Erwartungswert p0 so ergibt sich: Beachte: wenn p=p0+1/α oder p=p0-1/α, dann ist |Φ(p)|2 auf 1/e der maximalen Wertes gefallen. Also ist 1/α verantwortlich für die Breite des Wellenpaketes. Sektion8.5

Indem wir Φ(p) in ψ(x) einsetzen und das Integral lösen erhalten wir: Der Satz von Plancherel besagt: Φ(p) normiert  ψ(x) normiert ist. Sektion8.3 und Sektion8.4

Ausbreitungsgeschwindigkeit des Wellenpaketes Gruppengeschwindigkeit des Wellenpakets: aus folgt: Teilchen werden durch Wellenpakete recht gut beschreiben

Streuung an einer Potentialstufe Raumgebiet wird in zwei Bereiche unterteilt: Lösung aus Bereich1 ist bereits Bekannt: Hier ist A die Amplitude der einfallenden Welle und B die an der Potentialstufe reflektierten Welle.

Im Bereich2 lautet die Schrödingergleichung: Mit reduziert sich die Gleichung zu:

Die allgemeine Lösung lautet: Da zwischen –∞  x  ∞ ψ(x) eine Lösung der Schrödingergleichung sein soll, muss sie überall stetig differenzierbar sein.(sonst d2ψ/dx2 nicht def.) Randbedingungen:

Fallunterscheidung A) E < V0: Hieraus folgt: C=0, ansonsten ψ2(x)∞ für x ∞ (nicht mehr normierbar) Ergebnis:

Reflexion: Eindringwahrscheinlichkeit: Teilchen können mit einer von Null verschiedenen Wahrscheinlichkeit eindringen, was klassisch nicht möglich ist.

B) E > V0: Klassisch würden alle Teilchen in den Bereich x>0 eintreten, jedoch langsamer werden. Ekin=E-V0 Im Wellenmodell: Die allgemeine Lösung lautet: Da für x>0 keine Teichen in –x Richtung fließen ist C=0.

Ergebnis:

Aus Teilchenerhaltung gilt: Reflexion: Da die Wellenzahl k in der Optik proportional zum Brechungsindex ist (k=n*k0), kann man R schreiben: Transmission: Aus Teilchenerhaltung gilt: Sektion9.4

Streuung an einer Potentialbarriere In diesem Fall hat Potential nur eine endliche Breite: Lösungen:

Randbedingungen: Transmissionsvermögen für E<V0:

Für große Breiten L der Potentialbarriere kann man sinh(x) durch ½ Für große Breiten L der Potentialbarriere kann man sinh(x) durch ½*ex annähern. Die Transmission hängt also von der Höhe V0, der Breite L der Barriere und von der Energiedifferenz V0-E (Masse m des Teilchens) ab. Sektion9.6 bis Sektion9.9

Der unendlich hohe Potentialtopf Teilchen befindet sich mit Energie E in einem beschränkten Raumgebiet: Kann diese Teilchen beliebige stationäre Energiewerte annehmen? Um diese Frage zu beantworten müssen wir die Schrödingergleichung lösen.

Lösen der Schrödingergleichung Im Bereich 0xL: Bekannte Lösung: Randbedingungen: Dies ergibt:

Die möglichen Wellenfunktionen lauten: Aus Normierung folgt:

Die Energiewerte sind gequantelt, da: Die minimale Energie ist nicht Null, sondern E1, da n=0 nicht erlaubt ist. Je breiter der Potentialtopf ist, desto kleiner wird die Nullpunktsenergie E1 Sektion10.2

Die zeitabhängige Schrödingergleichung Im Bereich 0xL: Mit den Energiewerten En von ψn(x) ergeben sich die Lösungen: Einsetzen von ψn(x) liefert:

Visualisierung Zwei mögliche Wege: Aufspaltung in Real- und Imaginärteil Phasenänderungen mit Farben darstellen Da ψn(x) real ist, ist nur e−iEt/ħ imaginär Daher ist −Ent/ħ = θn(t) ein Vektor Sektion10.4 und Sektion10.8

Darstellung im Impulsraum Φn(p) erhalten wir über die Fouriertransformation Ergebnis:

Die Welle im Impulsraum hat ihre Maxima, wenn δn-=0 und δn+=0. Dies stimmt mit klassischen Überlegungen überein. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist gegeben durch das Absolutquadrat von ψn(x). Sektion10.5

Überlagerung von zwei Wellen Einer der einfachsten nicht trivialen Überlagerungen ist gegeben durch: Die zeitabhängige relative Phase hängt vom Energieunterschied En2-En1 ab. Sektion10.6