Kosten / Nutzen-Optimierung komplexer Floating-Point- Berechnungen unter Ausnutzung variabler Präzision Programming Language Design and Implementation Daniel Weber, Tobias Ickler
Darstellung von Gleitkommazahlen x = (-1) s m β ez.B. 3, x = + 3, mit m = d 0, d 1 d 2 d 3 … d p-1 (mit 0 d i < β) s є { 0, 1 }, β : Basis, e : Exponent
IEEE 754 PräzisionMantisseExponentZahlenbereich (dezimal) 32 Bit single precision 23 Bits8 Bit -127 e , bis 3, Bit double precision 52 Bits11 Bits e , bis 1,
Rundungsfehler x 1 = 0,03214 β = 10, p = 3 x 2 = 3, ,4 ulps (units in the last place) Fehler
Fehler Absoluter Fehler in einer Gleitkommaoperation: ½ β –p ½ ulps ½ β 1 - p Maximaler relativer Fehler: ε = ½ β 1 – p
Computational Graphs
Variable Präzision Geht man davon aus, dass in jeder Operation mit einer unterschiedlichen Präzision gerechnet wird, gilt ε p = ½ β 1 – p mit ε p-1 = 2 ε p
Problemstellung Lösung für das Problem bei variabler Präzision mit minimalen Kosten einen vorgegebenen Fehlerwert nicht zu überschreiten, wobei die Kosten durch die Anzahl der Operationen und deren Präzision bestimmt wird. Kostenfunktion:
Verbindung zu Programmiersprachen Hardwarebeschreibungssprachen FPGAs Günstige Produktion oder zeitkritische Anwendung Beispiele für mögliche Funktionsaufrufe: x = a + 24 b x = opt 16 ( (a + b / 4) b, a = [a 1, a 2 ], b = (b 1, b 2 ])
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