Die Herleitung der Lösungsformel für gemischt quadratische Gleichungen Die Lösungsschritte bei quadratischen Gleichungen der Form x² + px + q = 0 lassen sich zu einer Formel zusammenfassen. Beispiel: für p = 8 und q = 7 Allgemein x² + 8x + 7 = 0 x² + px + q = 0 1. Schritt: Die Quadratische Ergänzung x² + 8x + 7 = 0 x² + px + q = 0 | + 4² | + x² + 8x + 16 + 7 = 16 x² + px + + q = 2. Schritt: Umformen ( x + 4 )² + 7 = 16 ( x + )² + q = | - 7 | - q ( x + 4 )² = 9 ( x + )² = - q 3. Schritt: Auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen
x2 = - 4 - 3 = - 7 Die Werte für p und q in die Die Herleitung der Lösungsformel für gemischt quadratischen Gleichungen 3. Schritt: Auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen ( x + 4 )² = 9 ( x + )² = - q x + 4 = + 3 x + = + - q | - 4 | - 4. Schritt: Nach x1 und x2 auflösen x1;2 = - 4 + 3 x1;2 = - + - q x1 = - 4 + 3 = - 1 x2 = - 4 - 3 = - 7 Die Werte für p und q in die Lösungsformel einsetzen!
Die quadratische Ergänzung bei gemischt quadratischen Gleichungen Jetzt können wir quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0 mithilfe der Lösungsformel lösen. Beispiel: x² + 8x + 7 = 0 Wir setzen die Zahlenwerte für p und q in die Lösungsformel ein p = 8 und q = 7 Lösungsformel: Probe für x1 = -1 x² + 8x + 7= 0 Probe für x2 = -7 x² + 8x + 7 = 0 -1² + 8∙-1 + 7 = 0 -7² + 8∙(-7) + 7 = 0 1 - 8 + 7 = 0 49 – 56 + 7 = 0 L ={-1; -7 }