Knoten- und Maschenregel Analyse von Schaltungen mit vernetzen Bauteilen

Inhalt Maschen- und Knotenregel Anwendung auf Parallel- und Hintereinandergeschaltete Widerstände „Kirchhoffsche Regeln“

Kirchhoffsche „Maschenregel“ In statischen Feldern sind die Potentiale vom Weg unabhängig Deshalb ist die Summe über alle Spannungen auf einem beliebigen geschlossenen Weg innerhalb einer Schaltung Null N Anzahl der Spannungsquellen in der „Masche“, der Bezeichnung für einen „geschlossenen Weg“

Anleitung zur Kirchhoffschen „Maschenregel“ Von einem beliebigen Punkt ausgehend bewegt man sich auf einem geschlossenen Weg in gleich bleibendem Umlaufsinn, und summiert die Spannungen über allen Bauteilen auf diesem Weg (Spulen, Kondensatoren, ohmschen Widerständen) Induzierte Spannungen werden als Spannungsquellen - wie Batterien- behandelt Den Weg wählt man z.B. in Richtung des technischen Stromflusses von Plus nach Minus zwischen zwei Bauteilen, Spannungen aus Spannungsquellen, die von Minus nach Plus durchlaufen werden, erhalten ein negatives Vorzeichen

Kirchhoffsche „Knotenregel“ In Verzweigungen ist die Summe aller in den Zweigen fließenden Ströme Null  Äquivalent zur „Kontinuitätsgleichung“ in der Strömungslehre N Anzahl der Zweige, die sich im Konten treffen

Anwendung (1): Die Kirchhoffsche Regel für parallele Widerstände Strom I2 R2 Strom I1 R1 Strom I0 Spannung U0 1 I2· R2 = U0 1 V Masche R2, U0 2 I1· R1 = U0 Masche R1, U0 3 I1 + I2 = I0 1 A Ströme im Knoten

Kirchhoffsche Regel für parallele Widerstände Strom I2 R2 R0 Strom I1 R1 Strom I0 Strom I0 Spannung U0 Spannung U0 1 I2= U0 / R2 1 V Strom durch R2 2 I1= U0 / R1 Strom durch R1 3 I1 + I2 = I0 1 A Ströme im Knoten 4 I0 = U0 / R0 Gesamt Widerstand R0 1 / R0 = 1 / R1 +1 / R2 1/Ω Gesamt Widerstand R0 von zwei parallel geschalteten Widerständen R1 und R2

(2) Kirchhoffsche Regel für hintereinander geschaltete Widerstände Strom I0 Spannung U0 1 I0· R1 + I0· R2 = U0 1 V Masche R1, R2, U0

Kirchhoffsche Regel für hintereinander geschaltete Widerstände Strom I0 Strom I0 Spannung U0 Spannung U0 1 I0· R1 + I0· R2 = U0 1 V Masche R1, R2, U0 2 I0 · R0 = U0 Gesamt Widerstand R0 I0· R1 + I0· R2 = I0· R0 Gleichung 1 und 2 gleichgesetzt R1 + R2 = R0 1 Ω Gesamt Widerstand R0 von zwei hintereinander geschalteten Widerständen R1 und R2

Zusammenfassung Maschenregel: Die Summe über alle Spannungen auf einem beliebigen geschlossenen Weg (einer „Masche“) innerhalb einer Schaltung ist Null Knotenregel: bei Verzweigungen bleibt die Summe der Ströme konstant Mithilfe von Knoten- und Maschenregel sammelt man Gleichungen mit den elektrischen Eigenschaften der Bauteile, den Spannungen und Strömen. Die Lösung dieses Gleichungssystems zeigt die gesuchten Größen Zwei parallel geschaltete Widerstände R1 und R2 verhalten sich wie ein Widerstand R0 mit 1 / R0 = 1 / R1 +1 / R2 Zwei hintereinander geschaltete Widerstände R1 und R2 verhalten sich wie ein Widerstand R0 mit R0 = R1 + R2

Gesamt Widerstand R0 von 1 / R0 = 1 / R1 +1 / R2 1/Ω finis R2 R1 R2 Strom I1 R1 Strom I0 Strom I0 Spannung U0 Spannung U0 Gesamt Widerstand R0 von 1 / R0 = 1 / R1 +1 / R2 1/Ω zwei parallel geschalteten Widerständen R1 und R2 R0 = R1 + R2 1 Ω zwei hintereinander geschalteten Widerständen R1 und R2