t-Test für unabhängige Stichproben Der t-Test Gliederung t-Test für unabhängige Stichproben Beispielrechnung 1: Optimismus und Lebensalter Beispielrechnung 2: Gedächtnisexperiment: „Levels of Processing“ SPSS t-Tests für abhängige Stichproben Was sind abhängige Stichproben? Berechnung des t-Werts Beispielrechnung: Veränderung der Einstellung zur Psychologie Eingruppen t-Test Beispielrechnung: IQ-Test 07_ttest(2) 1

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 Beispielrechnung 1 Fragestellung: Sind ältere Menschen optimistischer als jüngere Menschen? Methode: Mittelwertsvergleich mit einem t-Test für unabhängige Stichproben Zwei kleine Stichproben:5 junge Erwachsene und 5 ältere Erwachsene 07_ttest(2) 2

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Hypothesen gerichtet oder ungerichtet? Bisherige Studien geben Hinweise auf „positives Denken“ bei älteren Erwachsen Also: Gerichtete Hypothese! Inhaltliche Formulierung: „Ältere Erwachsene sind optimistischer als jüngere Erwachsene.“ Formale Schreibweise: H0: μalt ≤ μjung H1: μalt > μjung 07_ttest(2) 3

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Operationalisierung Das gemessene Merkmal wird als abhängige Variable (AV) bezeichnet In diesem Fall wird der Life Orientation Test (LOT) als AV verwendet. Wertebereich 6 (pessimistisch) bis 30 (optimistisch) Die AV muss intervallskaliert und normalverteilt sein. Die Gruppenvariable wird als unabhängige Variable (UV) bezeichnet. Die UV gibt die Gruppenzugehörigkeit an: „jung“: 20-25 Jahre „alt“: 60-65 Jahre Die UV ist nominalskaliert Es wird nun überprüft, ob die AV von der UV abhängt. 07_ttest(2) 4

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Erfassung des Merkmals Mittelwerte jung alt 13 20 15 14 17 11 18 16 07_ttest(2) 5

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Populationsvarianzen jung (x-14)² alt (x-17)² 13 1 20 9 15 14 17 11 18 16 07_ttest(2) 6

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Standardfehler der Mittelwertsdifferenz Was gibt der Standardfehler an? Die Standardabweichung der resultirenden Mittelwertsdifferenzen, wenn immer wieder neue Stichproben gezogen würden. 07_ttest(2) 7

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Der empirische t-Wert Hinweise Bei einer gerichteten Hypothese sollte die Differenz immer so gebildet werden, dass der als kleiner erwartete Wert von größeren Wert subtrahiert wird. Wenn die Hypothese zutrifft, muss der empirische t-Wert dann positiv sein. Bei einer ungerichteten Hypothese spielt die Richtung der Subtraktion keine Rolle. 07_ttest(2) 8

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Der kritische t-Wert 07_ttest(2) 9

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Der kritische t-Wert Auswahl der Spalte: Einseitige Testung: p=.95 Zweiseitige Testung: p=.975 Was tun, wenn die Zeile für die erforderten Freiheitsgrade in der Tabelle fehlt? 1. Möglichkeit: Zeile oberhalb nehmen. Das ist ein konservatives Vorgehen; der Test wird im Zweifel wird der Test weniger schnell signifikant. 2. Möglichkeit: Interpolieren 07_ttest(2) 10

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Ergebnisse: temp(8)=2.13 tkrit(8)=1.86 Fazit: Weil temp > tkrit, wird die H0 verworfen, und die H1 angenommen. Es wurde also gezeigt, dass ältere Menschen optimistischer sind als jüngere. Wie sähe das Ergebnis aus, wenn eine ungerichtete Hypothese formuliert worden wäre? 07_ttest(2) 11

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 Beispielrechnung 2 Fragestellung: Beeinflusst die Verarbeitungstiefe (strukturell vs. semantisch) die Erinnerungsleistung? Methode: Stichprobe: Ihr Semester Anzahl korrekt erinnerter Wörter im Free Recall Test. Mittelwertsvergleich mit einem t-Test für unabhängige Stichproben 07_ttest(2) 12

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Hypothesen gerichtet oder ungerichtet? Gerichtete Hypothese: Besserer Erinnerung bei semantischer Verarbeitung Formale Schreibweise: H0: μsem ≤ μstruk H1: μsem > μstruk 07_ttest(2) 13

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Operationalisierung Abhängige Variable (AV) Anzahl korrekt erinnerter Wörter minus Anzahl falsch erinnerter Wörter Unabhängige Variable (UV) semantische Verarbeitung: Bildhaftigkeit beurteilen strukturelle Verarbeitung: Vokale zählen 07_ttest(2) 14

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Erfassung des Merkmals sem. struk 9 1 13 12 11 8 2 … Bedingung N Mittelwert Varianz emotionaler Gehalt mem 28 9,8214 29,115 Gültige Werte (Listenweise) mentales Bild 26 11,9615 24,438 Vokale 23 5,2609 16,202 07_ttest(2) 15

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Standardfehler der Mittelwertsdifferenz 07_ttest(2) 16

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Der empirische t-Wert 07_ttest(2) 17

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Der kritische t-Wert 07_ttest(2) 18

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2 Formulierung der Hypothesen Operationalisierung Erfassung des Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben Berechnung der Mit-telwerte Schätzung der Populations-varianzen Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz Berechnung des empirischen t-Werts Bestimmung des kritischen t-Werts Entscheidung über H0 und H1 Ergebnisse: temp(47) = 5.22 tkrit(47) = 1.68 Fazit: Weil temp > tkrit, wird die H0 verworfen, und die H1 angenommen. Es wurde also gezeigt, dass die semantische Verarbeitung die Erinnerungsleistung steigert Wie sähe das Ergebnis aus, wenn eine ungerichtete Hypothese formuliert worden wäre? 07_ttest(2) 19

Der t-Test für unabhängige Stichproben in SPSS SPSS Datensatz Der t-Test für unabhängige Stichproben in SPSS 07_ttest(2) 20

Mittelwerte vergleichen T-Test bei unabhängigen Stichproben SPSS Befehl Menu-Befehl: Analysieren Mittelwerte vergleichen T-Test bei unabhängigen Stichproben 07_ttest(2) 21

Testvariable (AV) aus- wählen Gruppenvariable (UV) auswählen SPSS Befehl Menu-Befehl: Testvariable (AV) aus- wählen Gruppenvariable (UV) auswählen Gruppen definieren OK 07_ttest(2) 22

Syntax-Befehl: Befehl: test groups UV: Gruppe AV: lot SPSS Befehl test groups Gruppe (1,2) /var lot. 07_ttest(2) 23

Standardfehler des Mittelwertes SPSS Ausgabe Im Ausgabefenster werden zunächst deskriptive Statistiken für beide Gruppen ausgegeben. Gruppenstatistiken Alter N Mittelwert Standardabweichung Standardfehler des Mittelwertes Optimismus Jung 5 14,0000 2,23607 1,00000 Alt 17,0000 07_ttest(2) 24

Test bei unabhängigen Stichproben SPSS Ausgabe Es wird immer die Voraussetzung der Varianzhomogenität überprüft (Levene-Test) H0: Varianzen sind gleich H1: Varianzen sind unterschiedlich Bei Signifikanz wird die errechnete Wahrscheinlichkeit angezeigt Es gilt: bei p<.05 wird die H0 verworfen Test bei unabhängigen Stichproben Levene-Test der Varianzgleichheit T-Test für die Mittelwertgleichheit F Signifikanz T df Sig. (2-seitig) Mittlere Differenz Standardfehler der Differenz 95% Konfidenzintervall der Differenz Untere Obere Optimismus Varianzen sind gleich ,000 1,000 -2,121 8 ,067 -3,00000 1,41421 -6,26118 ,26118 Varianzen sind nicht gleich 8,000 07_ttest(2) 25

Test bei unabhängigen Stichproben SPSS Ausgabe Wenn der Levene Test nicht signifikant ist (p≥.05), wird das Ergebnis des t-Tests aus der obere Zeile abgelesen. Bei einem signifikanten Ergebnis (p<.05) wird die untere Zeile verwendet. Hier wird der Test „korrigiert“ Test bei unabhängigen Stichproben Levene-Test der Varianzgleichheit T-Test für die Mittelwertgleichheit F Signifikanz T df Sig. (2-seitig) Mittlere Differenz Standardfehler der Differenz 95% Konfidenzintervall der Differenz Untere Obere Optimismus Varianzen sind gleich ,000 1,000 -2,121 8 ,067 -3,00000 1,41421 -6,26118 ,26118 Varianzen sind nicht gleich 8,000 07_ttest(2) 26

Die Spalte „T“ zeigt den empirischen t-Wert SPSS Ausgabe Die Spalte „T“ zeigt den empirischen t-Wert Ein kritischer t-Wert wird nicht angezeigt. Stattdessen wird (bei Sig. (2-seitig)) exakt angegeben, wie viel Prozent der t-Verteilung außerhalb des empirischen t-Werts liegen. temp -temp p/2 1-p 07_ttest(2) 27

Beim 2-seitigen Test (ungerichtete H1) gilt: SPSS Ausgabe Beim 2-seitigen Test (ungerichtete H1) gilt: Wenn p≤.05 (bzw. p<α), ist das Ergebnis signifikant, die H0 wird verworfen Wenn p>.05 (bzw. p>α), ist das Ergebnis nicht signifikant, die H0 wird beibehalten. Beim 1-seitigen Test (gerichtete H1) muss p umgerechnet werden: Da nur noch die rechte Fläche interessiert, die Ergebnis-Wahrscheinlichkeit nun p/2 temp -temp p/2 1-p 07_ttest(2) 28

Daher gilt beim 1-seitigen Test: SPSS Ausgabe Daher gilt beim 1-seitigen Test: Wenn p≤.10 (bzw. p/2 < α) und die Mittelwertsdifferenz in die erwartete Richtung weist, ist das Ergebnis signifikant, die H0 wird verworfen Wenn p>.10 (bzw. p/2>α), ist das Ergebnis nicht signifikant, die H0 wird beibehalten. Weil wir eine gerichtete Hypothese hatten, ist das vorliegende Ergebnis also signifikant. Bei zweiseitiger Testung wäre es nicht signifikant. 07_ttest(2) 29

SPSS Ausgabe Beispiel: Gedächtnisleistung bei semantischer vs. struktureller Verarbeitung Gruppenstatistiken Bedingung N Mittelwert Standardabweichung Standardfehler des Mittelwertes mem mentales Bild 26 11,9615 4,94353 ,96951 Vokale 23 5,2609 4,02512 ,83930 Levene-Test der Varianzgleichheit T-Test für die Mittelwertgleichheit F Signifikanz T df Sig. (2-seitig) Mittlere Differenz Standardfehler der Differenz 95% Konfidenzintervall der Differenz Untere Obere mem Varianzen sind gleich ,915 ,344 5,160 47 ,000 6,70067 1,29868 4,08807 9,31327 Varianzen sind nicht gleich 5,225 46,704 1,28232 4,12053 9,28081 07_ttest(2) 30

Test bei unabhängigen Stichproben SPSS Ausgabe Beispiel: Gedächtnisleistung bei bildhafter vs. emotionaler Verarbeitung Gruppenstatistiken Bedingung N Mittelwert Standardabweichung Standardfehler des Mittelwertes mem emotionaler Gehalt 28 9,8214 5,39584 1,01972 mentales Bild 26 11,9615 4,94353 ,96951 Test bei unabhängigen Stichproben Levene-Test der Varianzgleichheit T-Test für die Mittelwertgleichheit F Signifikanz T df Sig. (2-seitig) Mittlere Differenz Standardfehler der Differenz 95% Konfidenzintervall der Differenz Untere Obere mem Varianzen sind gleich ,029 ,866 -1,516 52 ,136 -2,14011 1,41169 -4,97287 ,69265 Varianzen sind nicht gleich -1,521 51,993 ,134 1,40704 -4,96355 ,68333 07_ttest(2) 31

Abhängige Stichproben Der t-Test für abhängige Stichproben Stichproben werden als abhängig bezeichnet, wenn die Ziehung eines Merkmalsträgers in die erste Stichprobe die Zugehörigkeit eines Merkmalsträgers zur zweiten Stichprobe beeinflusst. Bei abhängigen Stichproben sind die Werte zweier Stichproben sich einander paarweise zugeordnet. Bei abhängigen Stichproben sind beide Teilstichproben immer gleich groß! Abhängige Stichproben ergeben sich durch Messwiederholung oder Parallelisierung bzw. Matching. 07_ttest(2) 32

Abhängige Stichproben Messwiederholung liegt dann vor, wenn das gleiche Merkmal zweimal (oder mehrmals) bei den gleichen Personen erhoben wird. Beispiele Vergleich der Gedächtnisleistung in zwei Lernbedingungen Bestimmung der psychischen Gesundheit vor und nach einer Therapie Bestimmung der Kommunikationsfähigkeit vor und nach einem Training. 07_ttest(2) 33

Abhängige Stichproben Beim Matching wird jeder Person der Stichprobe 1 einer Person der Stichprobe 2 zugeordnet. Beispiele Vergleich der Persönlichkeit von Ehepartnern Vergleich der Schulleistung von älteren vs. jüngeren Geschwistern. Vergleich der Arbeitszufriedenheit zwischen zwei Abteilungen Bei der Parallelisierung werden Jeweils 2 Personen, die sich ähnlich sind einander zugeordnet. Warum parallelisiert man Stichproben? Ein Test für abhängige Stichproben hat eine höhere Power (Teststärke), d.h. es ist wahrscheinlicher, dass ein bestehender Unterschied nachgewiesen werden kann! Dies gilt aber nur, wenn die Paare wirklich jeweils ähnliche Werte aufweisen 07_ttest(2) 34

Abhängige Stichproben Beispielrechnung: Verändert sich die Einstellung zum Studienfach Psychologie innerhalb der ersten 6 Wochen des Studiums? AV: Einstellung zum Studium Psychologie (Wertebereich 5 bis 25) UV: Messzeitpunkt (1. Woche vs. 6. Woche) Vp 1. Woche 6. Woche 1 16 20 2 18 19 3 23 4 14 … mean 19.67 18.98 07_ttest(2) 35

Abhängige Stichproben Für jede Person kann die Differenz der Messwerte berechnet werden (Einstellungsänderung) Vp 1. Woche 6. Woche D=x2-x1 1 16 20 4 2 18 19 3 23 14 -2 … mean 19.67 18.98 .68 07_ttest(2) 36

Ungerichtete Hypothese: Hypothesen Die statistischen Hypothesen des t-Test für abhängige Stichproben beziehen sich auf den Mittelwert der Differenzen aller Personen Vorteil: Es ist nun unerheblich, ob innerhalb der Messzeitpunkte große Varianz gegeben ist. Ungerichtete Hypothese: H0: μd = 0 H1: μd ≠ 0 Gerichtet Hypothese (1): H0: μd ≤ 0 H1: μd > 0 Gerichtet Hypothese (2): H0: μd ≥ 0 H1: μd < 0 07_ttest(2) 37

Standardfehler und t-Wert Um die empirisch gefundene Differenz beurteilen zu können, wird der Standardfehler benötigt Mit dem Standardfehler kann nun ein empirischer t-Wert berechnet werden: 07_ttest(2) 38

Standardfehler und t-Wert Im Beispieldatensatz: Es ergibt sich : 07_ttest(2) 39

Kritischer t-Wert & Interpretation temp(59) = 1.89 tkrit(59) = ? Offene Fragestellung  zweiseitiger Test α = .05 Interpretation: temp< tkrit Also: Kein bedeutsamer Unterschied! 07_ttest(2) 40

In jeder Zeile MÜSSEN die Werte der selben VP stehen! SPSS Datensatz Beim t-Test für abhängige Stich- proben gibt es 2 abhängige Variablen (psycho1 und psycho2). In jeder Zeile MÜSSEN die Werte der selben VP stehen! Dafür habe ich den Code auf den Fragebögen verwendet 07_ttest(2) 41

Mittelwerte vergleichen T-Test bei verbundenen Stichproben SPSS Befehl Menu-Befehl: Analysieren Mittelwerte vergleichen T-Test bei verbundenen Stichproben 07_ttest(2) 42

Als Variablenpaar anwählen OK SPSS Befehl Menu-Befehl: Beide AVs aus- wählen Als Variablenpaar anwählen OK 07_ttest(2) 43

Syntax-Befehl: Befehl: test paired AVs: psycho1 und psycho2 SPSS Befehl Syntax-Befehl: Befehl: test paired AVs: psycho1 und psycho2 test paired psycho1 with psycho2. 07_ttest(2) 44

Statistik bei gepaarten Stichproben SPSS Ausgabe Im Ausgabefenster werden zunächst deskriptive Statistiken für beide Variablen ausgegeben. Die Tabelle zu den Korrelationen können Sie zunächst ignorieren Statistik bei gepaarten Stichproben Mittelwert N Standardabweichung Standardfehler des Mittelwertes Paaren 1 psycho1 19,6667 60 2,99529 ,38669 psycho2 18,9833 3,24425 ,41883 N Korrelation Signifikanz Paaren 1 psycho1 & psycho2 60 ,606 ,000 07_ttest(2) 45

Test bei gepaarten Stichproben SPSS Ausgabe Die dritte Tabelle enthält das Testergebnis: Bei 2-seitigen Tests gilt: Wenn p≤α wird die H0 verworfen Wenn p>α wird die H0 beibehalten Bei 1-seitigen Tests gilt: Wenn p/2 ≤ α wird die H0 verworfen Wenn p/2 >α wird die H0 beibehalten Test bei gepaarten Stichproben Gepaarte Differenzen Mittelwert Standardabweichung Standardfehler des Mittelwertes 95% Konfidenzintervall der Differenz T df Sig. (2-seitig) Untere Obere Paaren 1 psycho1 - psycho2 ,68333 2,77697 ,35851 -,03403 1,40070 1,906 59 ,062 07_ttest(2) 46

Eingruppen t-Test Der Eingruppe t-Test Ziel: Vergleich des Mittelwerts einer Stichprobe mit einem vorgegebenen (konstanten) Wert. Beispiele: Es wir überprüft, ob eine bestimmte Personengruppe sich in ihrer Intelligenz vom Populationsmittelwert (100) unterscheidet. Es wird überprüft, ob sich die tatsächliche Studiendauer von der Regelstudienzeit unterscheidet. Es wird überprüft, ob sich die Differenz von Reaktionszeiten in zwei Bedingungen von Null unterscheidet. 07_ttest(2) 47

Normalverteilung des Merkmals Intervalskalenniveau des Merkmals Eingruppen t-Test Voraussetzungen Normalverteilung des Merkmals Intervalskalenniveau des Merkmals Es handelt sich um eine Zufallsstichprobe 07_ttest(2) 48

Statistische Hypothesen Ungerichtete Hypothese: Eingruppen t-Test Statistische Hypothesen Ungerichtete Hypothese: H0: μ = c H1: μ ≠ c Gerichtet Hypothese (1): H0: μ ≤ c H1: μ > c Gerichtet Hypothese (2): H0: μ ≥ c H1: μ < c 07_ttest(2) 49

Standardfehler und t-Wert Berechnung des Standardfehlers Berechnung des t-Werts 07_ttest(2) 50

Stichprobenkennwerte bei N=10: Beispiel Liegt der IQ der Kinder, die als hochbegabten klassifiziert werden, wirklich über dem Populationsmittelwert (100)? Hypothesen: H0: μ ≤ 100 H1: μ > 100 Stichprobenkennwerte bei N=10: Mittelwert: 108.50 Standardabweichung: 14.35 07_ttest(2) 51

temp(9) = 1.87 tkrit(9) = ? Interpretation: Beispiel Gerichtete Fragestellung  einseitiger Test α = .05 Interpretation: temp> tkrit Die H0 wird verworfen 07_ttest(2) 52

Der Eingruppen t-Test in SPSS SPSS Datensatz Der Eingruppen t-Test in SPSS 07_ttest(2) 53

Mittelwerte vergleichen T-Test bei einer Stichprobe SPSS Befehl Menu-Befehl: Analysieren Mittelwerte vergleichen T-Test bei einer Stichprobe 07_ttest(2) 54

Testvariable (AV) aus- wählen Vergleichswert (Test- wert) eingeben. OK SPSS Befehl Menu-Befehl: Testvariable (AV) aus- wählen Vergleichswert (Test- wert) eingeben. OK 07_ttest(2) 55

Befehl: test testvalue Testwert: 100 AV: IQ SPSS Befehl Syntax-Befehl: Befehl: test testvalue Testwert: 100 AV: IQ test testvalue = 1000 /var IQ. 07_ttest(2) 56

Statistik bei einer Stichprobe Test bei einer Sichprobe SPSS Ausgabe Im Ausgabefenster werden zunächst deskriptive Statistiken ausgegeben. Die zweite Tabelle enthält das Testergebnis: Bei gerichteten Hypothesen darf der p-Wert wie immer halbiert werden Also p/2<α  Die H0 wird verworfen. Statistik bei einer Stichprobe N Mittelwert Standardabweichung Standardfehler des Mittelwertes IQ 10 108,5000 14,34689 4,53689 Test bei einer Sichprobe Testwert = 100 T df Sig. (2-seitig) Mittlere Differenz 95% Konfidenzintervall der Differenz Untere Obere IQ 1,874 9 ,094 8,50000 -1,7631 18,7631 07_ttest(2) 57

Zusammenfassung Der t-Test für unabhängige Stichproben dient dazu, die mittlere Ausprägung eines intervallskalierten Merkmals zwischen zwei Gruppen zu vergleichen. Aus dem Standardfehler der Mittelwertsdifferenz wird ein empirischer t-Wert bestimmt. empirische Dieser t-Wert wird entweder mit einem kritischen t-Wert verglichen… … oder es wird direkt eine zugehörige Wahrscheinlichkeit errechnet (SPSS). Die Wahrscheinlichkeit des t-Wertes (SPSS) darf halbiert werden, wenn eine gerichtete Hypothese formuliert wurde (einseitiges Testen). 07_ttest(2) 58

Zusammenfassung Voraussetzungen für den t-Wert für unabhängige Stichproben sind die Normalverteilung des Merkmals, die Varianzhomogenität und die Unabhängigkeit der Stichproben. Wenn die Normalverteilungsannahme verletzt ist, und kleine oder ungleiche Stichproben verwendet werden, sollte ein nicht-parametrisches Verfahren verwendet werden. Wenn die Varianzhomogenität verletzt ist, müssen die Freiheitsgrade korrigiert werden. Wenn die Stichproben nicht unabhängig sind, wird der t-Test für abhängige Stichproben verwendet. 07_ttest(2) 59

Zusammenfassung Bei abhängigen Stichproben sind die Messwerte jeweils paarweise einander zugeordnet. Abhängige Stichproben entstehen durch Messwiederholung oder eine Parallelisierung der Stichproben. Der t-Test für abhängige Stichproben beruht auf der Verteilung der Mittelwerte der Differenzen (x1-x2). Der t-Test für abhängige Stichproben hat eine höhere Teststärke als der t-Test für unabhängige Stichproben. Der t-Test für eine Stichprobe vergleicht einen Stichprobenmittelwert mit einem vorgegebenen Testwert. 07_ttest(2) 60